Матан / семестр1 для фби студ / формулы приложения определённого интеграла

Вычисление площадей плоских фигур.

Если фигура на плоскости xOy ограничена прямыми x=a, y=b(a < b) и графиками функций y =( x), y =( x), причём, j( x)≤ y( x) (a≤x≤b), то её площадь вычисляется по формуле

S=.

В полярных координатах площадь сектора, ограниченного дугой кривой r= r() и лучами j= и j= (a ≤ b), вычисляется по формуле

S=.

Если граница задана параметрическими уравнениями x=(t), y=(t), то площадь фигуры вычисляется по одной из формул:

S=, S=, S=где  и  - значения параметра t, соответствующие началу и концу обхода контура в положительном направлении, при котором фигура остаётся слева.

Вычисление длины кривой.

Если плоская кривая задана как график функции y = f(x), a≤x≤b, и производная y = f (x) нпрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом

l==.

Если кривая задана параметрически x = x(t), y = y(t),  ≤ t ≤ , и производные x (t) и y (t) непрерывны на отрезке [a,b], то длина дуги кривой выражается интегралом

l=.

Если кривая задана уравнением r = r(), a ≤j ≤ b, в полярных координатах и r (j) непрерывна на отрезке [a,b], то длина l дуги кривой выражается интегралом

l=.

Вычисление объёмов .

Пусть S(x) - площадь сечения тела V плоскостью, перпендикулярной к оси Ox в точке с абсциссой x, a и b - левая и правая границы изменения x. Тогда объём тела V выражается интегралом

V =.

Если тело V образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x)≥0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объём тела V вычисляется по формуле

V ==.

Если тело образовано вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, образованной под графиком функции x = g(y), c≤ y ≤d (g(y)≥0), то объём тела выражается интегралом

V ==.

Если вокруг оси Oy вращается криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции y = f(x)≥0, a ≤ x ≤ b, осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, то объём получившегося тела выражается интегралом

V ==.

Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то следует сделать соответствующую замену переменных в указанных выше формулах.

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги Г кривой y = f(x), a ≤ x ≤ b, где f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерывную производную , выражается интегралом

S ==.

Поскольку - дифференциал длины дуги, то формулу можно записать в виде

S =.

Пусть кривая задана параметрически, x = x(t), y = y(t),  ≤ t ≤ , где функции x(t) и y(t) имеют на отрезке [a,b] непрерывные производные x(t) и y(t). Площадь S поверхности, образованной при вращении данной кривой вокруг оси Ox равна

S ==.

Задание кривой с помощью полярных координат r = r(),  ≤ j ≤ , есть частный случай параметрического задания, так как в этом случае

x = r(j) cosj, y = r(j) sinj.

Примеры

1.Найти площадь области, ограниченной кривыми y=, y=.

Найдём точки пересечения графиков :=, x²+3 x-4=0, x₁=-4, x₂=1.

S====.

2. Найти площадь области, ограниченной кривой r = a cos3j.. Функция имеет период T=. r= a cos3j ≥0, откуда:≤ j ≤, k=0, ±1, ±2,…. При k = 0 имеем первый лепесток, где -≤ j ≤. При k = 1,2 - два других.

Достаточно найти площадь одного из них и затем утроить.

S==3a²===.

При вычислении интеграла мы учли чётность функции cos²3j .

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Пусть функция f(x) определена для всех x а и интегрируема на любом отрезке [a,b]. Если существует , то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) на луче [a,b) и обозначается . В этом случае несобственный интеграл сходится.

Если предел при b   не существует, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(x), x(-,b], с нижним бесконечным пределом интегрирования: =.

Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования функции f(x), xÎ (-¥,), определяется следующим образом:

=+, где c - некоторое число.

Предполагается, что на любом отрезке [A,B](-¥,¥) существует интеграл в собственном, обычном смысле. Если интеграл существует для некоторого c(-¥,¥), то он существует и для любого другого cÎ(-¥,¥) и в этом случае

=+.

Формула Ньютона-Лейбница. Если функция f(x), a ≤ x < , непрерывна и F(x) - какая либо её первообразная, то ==F(+¥)-F(a),гдеF(+¥)=.

Примеры

1. ===.

2 ====.

3. =+.

Интеграл в левой части равенства сходится только в том случае, если сходятся оба интеграла в правой части. Если хоть один интеграл расходится, то и наш интеграл расходится. Рассмотрим второй интеграл в сумме.

===-=.

Следовательно, интеграл в левой части равенства расходится.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция f(x) определена на [a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,η] [a,b). Если существует ,то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [a,b) и обозначается гоиорят- интеграл сходится. Если предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл функции f(x) на промежутке (a,b]:

=.

Пусть c(a,b) и функция f(x) в окрестности точки c неограниченна , Тогда несобственным интегралом f(x) на отрезке [a,b] называется сумма

= + , если существуют оба предела, то несобственный интегралсходится, если не существует хотя бы один предел - то расходится.

Формула Ньютона-Лейбница. Если функция f(x) непрерывна на [a,b) и F(x), x[a,b) - какая - либо её первообразная, то == F(b-0)- F(a), где F(b-0)=.

Признаки сходимости.

а) Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) определены на луче [a,b), неотрицательны и интегрируемы в собственном смысле на любом отрезке [a,b], b> a, и f(x)≤ g(x) для всех x[a,b). Тогда, если сходится интеграл , то сходится и интеграл . Если расходится интеграл , то расходится и интеграл

б) Предельный признак сравнения. Пусть f(x)0, g(x) ³0 при a ≤ x < , и функции f и g интегрируемы на отрезке [a,b] при любом b > a. Тогда, если существует предел , причём, 0, , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Для функций, не сохраняющих знак на луче [a,b), признаки сравнения не применимы. Для таких функций можно попробовать получить оценку | f(x)|≤ g(x).

Если интеграл сходится, то будет сходиться и интеграл .

Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл