Комплексные числа.

Алгебраическая форма.

Пусть x,y - действительные числа, число z = x + i y , где i мнимая единица, называется комплексным в алгебраической форме.

Если y=0, z - действительное число ,

x=0, y0, z - чисто мнимое число.

x- называется действительной частью z -обозначается Rez,

y = Imz - мнимая часть числа z.

Число x - i y называется сопряженным числу z и обозначается z.

Два числа и равны, если x.

Действия с комплексными числами.

1 .Сложение комплексных чисел

.

2. Умножение комплексных чисел

.

Из определения умножения следует:

3. Деление. Сводится к умножению, если умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, получим:

.

Свойства

1. Транзитивность равенства:

если и , то.

2. Коммутативность: z₁+ z₂=z₂+ z₁ и z₁z₂=z₂z₁ .

3. Ассоциативность: (z₁+z₂)+z₃=z₁+(z₂+z₃) и z₁(z₂z₃)=(z₁z₂)z₃.

4. Дистрибутивность.z₁(z₂+z₃)=z₁z₂+z₁z₃.

Свойства операции перехода к сопряженным числам

1. 

2. 

3. 

4. 

Геометрическая интерпретация

Тригонометрическая форма комплексного числа

Если на плоскости введена декартова прямоугольная система координат, то любому комплексному числу z = x + i y может быть поставлена в соответствие

точка M с координатами (x, y), то есть M(x, y).

M(x, y)



o

|z|

y

y

x

x

|z| = |OM| = называется модулем числа z, =Arg z - аргумент z, определяется неоднозначно. Главное значение аргумента, обозначается arg z - это угол, принадлежащий интервалу [0,2) .

Используя |z| и  , x и y можно представить в виде:

x = |z| cos  y = |z| sin, подставим x и y в z = x + i y, получим тригонометрическую форму комплексного числа.

Тригонометрической формой комплексного числа называется его представление в виде:

z = |z| (cos + i sin).

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

1. Умножение. т.е. при умножении модули перемножаются, а аргументы складываются.

2. Возведение в степень. Формула Муавра. , nN.

3. Деление.

4. Извлечение корня n степени. Число w называется корнем n-ой степени из числа z, если wⁿ=z. Пусть z0, тогда имеет n различных значений, которые можно найти по формуле:

, k=0,1,2...n-1. ₀ - главное значение аргумента z

Из формулы видно, что все корни n-ой степени из числа z лежат на одной и той же окружности, радиус которой равен , центр в начале системы координат, и делят ее на n равных частей.

Показательная форма комплексного числа

Формула Эйлера

В дальнейшем будет доказана формула Эйлера:

,

Используя эту формулу, число z можно записать:

z = |z| (cos + i sin) = |z| e^i

Представление комплексного числа в виде z = | z| e^i называется показательной формой .

ПРИМЕРЫ:

1. Построить, представить в различных формах: 1+i, -i , -2+2i , 1-i , 1+i , i , -1.

2. Вычислить: (1+2i)³(1-i)+3i , (1-i)/(1+i) , ((1+i)/(1-i))⁴⁰ , , , , ,