Диссипация энергии. Удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Если на твердое (недеформируемое) тело действуют и консервативные, и неконсервативные силы, например, силы трения, сопротивления, то полная их работа А₁₂ + А₁₂^ идет на приращение Е_к кинетической энергии тела:

Е_к = Е_к2 - Е_к1 = А₁₂ + А₁₂^ = Е_п1 - Е_п2 + А₁₂^  Е_к2 + Е_п2 - Е_к1 - Е_п1 = А₁₂^ или Е = Е₂ - Е₁ = А₁₂^

Изменение кинетической энергии тела в условиях смешанных взаимодействий (консервативных и неконсервативных) осуществляется за счёт убыли его потенциальной энергии и за счёт работы неконсервативных сил. Изменение же полной механической энергии Е равно работе А₁₂^ неконсервативных сил, переводящих механическую энергию в иные, немеханические виды энергии, обычно во внутреннюю энергию, которую в механике называют тепловой или просто теплотой Q: Е = А₁₂^= Q. Об этом процессе говорят как о диссипации (рассеянии) механической энергии.

Законы сохранения двух мер движения - импульса и энергии - позволяют решать основную задачу механики в ситуациях, когда неизвестен характер сил, а часто и облегчить ее решение при известном характере сил, действующих на тело.

Рассмотрим для примера упругое соударение двух свободных тел с массами m₁ и m₂, обладающих до удара скоростями ₁ и ₂. По определению, при упругом ударе сохраняются как полный импульс замкну­той системы, так и её механическая энергия; при неупругом ударе сохра­няется лишь импульс. При абсолютно неупругом ударе тела слипаются, т. е. имеют после удара одинаковую скорость. Запишем законы сохранения импульса и энергии (кинетической) для свободного тела при лобовом (центральном) столкновении:

m₁₁ + m₂₂ = m₁u₁ +m₂u₂  m₁(₁ - u₁) = m₂(₂ – u₂)

m₁₁²2 + m₂₂²2 = m₁u₁²2 + m₂u₂²2  m₁(₁² - u₁²) = m₂(₂² – u₂²)

Поделив второе уравнение на первое, получим:

₁ + u₁ = ₂ + u₂  u₂ = ₁ + u₁ - ₂

Подставляя выражение для u₂ в первое уравнение, выразим скорость u₁ первого тела после соударения:

m₁₁ + m₂₂ = m₁u₁ +m₂₁ +m₂u₁ - m₂u₂  u₁ = [(m₁ – m₂)₁ + 2m₂₂](m₁ + m₂)

Скорость u₂ второго тела, соответственно, равна:

u₂ = ₁ + u₁ - ₂ = (m₁₁ + m₂₁ - m₁₂ - m₁₁ + m₁₁ - m₂₁ + 2m₂₂)(m₁ + m₂) = [2m₁₁ + (m₂ – m₁)₂](m₁ + m₂)

Элементы теории поля. Сила как антиградиент потенциальной энергии. Потенциальные кривые. Равновесие и его устойчивость.

Силы, которые зависят только от координат¹⁴, могут быть заданы с помощью поля сил - области пространства, в каждой точке которого на тело действует определённая сила. Примерами силовых полей являются гравитационное поле и, в частности, поле силы тяжести, электростатическое поле и др.

Силы (и поля), работа А₁₂ которых на пути между двумя любыми точками 1 и 2 не зависит от формы траектории между ними, называются потенциальными, а если они стационарны, их называют консервативными. Потенциальными являются все однородные поля (в каждой точ­ке таких полей сила неизменна), а также поля центральных сил (они зависят только от расстояния между взаимодействующими точками и направлены вдоль прямой, их соединяющей).

Получим формулу взаимосвязи силы таких полей с потенциальной энергией. Из взаимосвязи работы с потенциальной энергией А₁₂ = Fdr = Е_п1 - Е_п2 , или, для элементарной работы: А = Fdr = - dЕ­_п. Имея в виду, что Fdr = F_sds, где ds = dr - элементарный путь /перемеще­ние/, а F_r = Fcos  - проекция вектора F на перемещение dr, запишем: F_rds = - dЕ­_п, где - dЕ­_п - есть убыль потенциальной энергии в направлении перемещения dr. Отсюда F_r = - Е_пr; частная производная r берется по некоторому заданному направлению.

В векторной форме полученную дифференциальную взаимосвязь силы с потен­циальной энергией можно записать в следующем виде:

F = -(iЕ_пх + jЕ_пу + kЕ_пz) = - grad Е_п = - Е_п, где символический векторный оператор  (векторная сумма первых частных производных по пространственным координатам) называется оператором Набла или градиентом скалярной функции (в данном случае - потенциальной энергии).

И

так, сила F = - grad Е_п = - Е_п в потенциальном поле есть антиградиент /градиент со знаком минус/ потенциальной энергии, или, иначе – пространственная производная, быстрота убыли потенциальной энер­гии в пространстве в некотором направлении.

Смысл градиента можно прояснить, введя понятие эквипотенциальной поверхности - во всех точках которой потенциальная энергия Е_п имеет одно и то же значение, т. е. Е_п = const.

Из формулы F = - Е_п следует, что проекция вектора F на направ­ление касательной к эквипотенци­альной поверхности в любой её точке равна нулю. Это значит, что вектор F нормален к эквипотенциальной поверхности E_п = const.

Если, далее, взять перемещение dr в сторону убыли Е_п, то dЕ_п < 0 и F_r > 0, т. е. вектор F направлен в сторону убыли Е_п. Градиент же от Е_п есть вектор, на­правленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону наибыстрейшего возрастания скалярной функции /здесь - потенциальной энергии/.

На примере гравитационного поля, сила которого прямо пропорциональна массе тела, т. е. F = m₁m₂r², можно считать, что каждое из взаимодействующих тел находится в силовом поле другого: F = mМr² = gm , где g = Fm = Мr² - напряжённость гравитационного поля /удельная сила - в расчёте на единицу массы/, создаваемого телом массой М.

Из связи силы с потенциальной энергией следует:

А = Fdr = mgdr = - dЕ_п  gdr = - dЕ_пm = - d

или  gdr = ₁ - ₂ , где  = Е_п/m - потенциал гравитационного поля, представляющий собой удельную /на единицу массы/ потенциальную энергию.

Или g = - grad  = -  - формула взаимосвязи напряженности и потенциала гравитационного поля; напряженность есть антиградиент потенциала.

Пусть частица движется в одномерном потенциальном поле, профиль которого, то есть зависимость Е_п (х) представлен на рисунке в виде так называемой потен­циальной кривой.

Из закона сохране­ния механической энер­гии: Е = Е_к + Е_п = m²2 + Е_п/х/ = const следует, что в область, где Е_п > Е час­тица попасть не может. Таким образом, если пол­ная энергия Е частицы равна Е₁ /см. рис./, то час­тица может двигаться в области  между коорди­натами х₁ и х₂ (совершает колебания в этой области, называемой потенциальной ямой), или же – в области  - правее координаты х₃. Перейти же из области I в область II или наоборот частица не мо­жет; этому препятствует потенциальный барьер высотой Е_б  Е₁, разделяющий эти области.

Частица с энергией Е₂, большей высоты потенциального барьера (Е₂  Е_б), может двигаться во всей области правее х_о. Кинетическая энергия ее будет возрастать (в области от х_о до х^), затем падать (в области от х^ до х^) и далее опять возрастать в области х  х^.

В точке х имеет место устойчивое положение равновесия; здесь Е_п = Е_{п мин} и F_х = -grad_х Е_п = - Е_пх = 0. При смещении из него тела на dx  0, dЕ_п  0 и на тело действует сила

F_х = - Е_пх  0, носящая характер, возвращающий тело к положению равновесия.

В точке х имеет место неустойчивое равновесие;

здесь Е_п = Е_{п макс} и F = - grad Е_п = - Е_пх = 0. При смещении из него тела на dx  0, dЕ_п  0, и на тело действует сила F_х = - Е_пх  0, носящая характер, отклоняющий тело от положения равновесия.