КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Ранее были рассмотрены общие способы описания и анализа двух элементарных видов движения - поступательного и вращательного, на которые может быть разложено более сложное реальное движение твёрдого тела. Ниже эти способы будут применены к анализу движений, обусловливаемых действием наиболее распространённых конкретных видов сил и, прежде всего - силы упругости. Такие силы порождают, в частности, колебательное и волновое движения, являющиеся, в силу своего циклически повторяющегося характера, широко распространёнными в природе и используемыми в человеческой практике.

Гармонические колебания и их характеристики. Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

В соответствии с законом Гука, сила упругости F_упр = - kх возникает со стороны упруго деформированного тела; она прямо пропорциональна линей­ной деформации х (изменению длины, линейного размера тела относительно равновесного, недеформированного состояния) и направлена в сторону, про­тивоположную деформации, отклонению линейного размера от равновесного значения. Наличие силы упругости, подчиняющейся закону Гука, часто приводит к колебательному характеру движения, заключающемуся в повторяющихся изменениях положения (или состояния) тела, системы вокруг (относительно) положения ра­вновесия. Примером могут служить колебания струны, груза на пружине, атомов в твёрдом теле, разного рода маятников и т. д. Колебательное дви­жение, будучи циклическим (повторяющимся) во времени и пространственно локализованным /замкнутым, ограниченным/, представляет большой интерес для технических применений.

Рассмотрим способ анализа и основные характеристики такого распростра­нённого вида колебательных движений как гармонические колебания. Гармо­ническими называют колебания, происходящие по закону гармонической фун­кции, т. е. по закону синуса или косинуса. Система, колеблющаяся по гармоническому закону, называется осциллятором, (гармоническим или линейным). Примером осциллятора может служить груз на пружине при небольших откло­нениях от положения равновесия, то есть в области справедливости закона Гука, где F_упр  х.

Используем силовой подход (второй закон Ньютона) применительно к грузу массой m, движущемуся под действием силы упругости пружины с жесткостью k. Вначале пренебрежём разного рода силами сопротивления, трения. Для простоты рассмотрим колебания груза в горизонтальном направлении, например в трубе без трения:

F = mа = mх^; F_упр = - kх; mх^ = - kх;  х^ = - (km)х или х^ + ²х= 0

Полученное уравнение: х" + (km)х = 0, связывающее вторую производную и саму функцию х - смещение груза от положения равновесия, называется дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний (ДУСГК). Такое название объясняется тем, что его решением является гармоническая функция вида:

х = Аcos(t + ) = Asin (t +  + /2), где  = km - циклическая частота свободных гармонических колебаний груза на пружине.

Гармоническая функция специфична тем, что её производные являются также гармоническими функциями, а вторая производная от неё рав­на ей самой с точностью до постоянного множителя. Поэтому она и удов­летворяет уравнению, в котором вторая производная с точностью до постоян­ного множителя приравнивается к самой функции. Разница между синусом и косинусом заключается лишь в сдвиге их началь­ных фаз на 90.

Рассмотрим основные характеристики гармонических колебаний. Для кон­кретности будем рассматривать чётную гармоническую функцию – косинус:

х = А cos(t + ) = А cos Ф, где:

х - текущее смещение, отклонение груза от положения равновесия, изменяющееся по гармоническому закону;

А - амплитуда колебания, представляющая собой максимальное отклонение от положения равновесия (А = х_макс);

Ф = t +  - полная фаза колебания, представляющая собой аргумент гармонической функции, изме­ряемый в угловой мере (в радианах) и определяющий как бы угловой путь, пройденный колеблющимся телом. Фаза определяет мгновенное положение /сос­тояние/ колеблющейся системы, осциллятора;

 = Ф (при t = 0) - начальная фаза колебания (фаза в начальный момент времени), определяющая начальное положение, состояние осциллятора в момент t = 0;



= dФ/dt [радс = с^-1] - быстрота изменения полной фазы /состояния/ осциллятора, называемая циклической или угловой частотой.

Гармоническая функция является периодической. За время равное периоду Т совершается один цикл её изменения (одно колебание); соответственно фаза Ф гармони­ческого колебания изменяется на Ф = 2, т. е.

Ф = Ф(t + Т) - Ф(t) = 2  (t + Т) +  -  t –  = 2;   = 2Т и Т = 2

Обратная периоду величина  = 1Т [1с = Гц] – называется частотой колебания. Численно она равна числу колебаний, совершающихся за одну секунду.

Периодичность гармонических колебаний роднит их с равномерно - вращатель­ным движением. Проекция радиус-вектора равномерно вращающейся точки по окружности радиуса R на любую прямую, проходящую через её центр, например, на горизонтальную ось х, совершает гармоническое колебательное движение: х = Rcos ;  = t + _о; х = Rcos (t + _о).

П

олная фаза Ф гармонического колебания является аналогом углового пути, а циклическая частота  - угловой скорости ( = R) равномерно вращающейся точки. Такая ана­логия позволяет в формально-математическом плане заменять гармонические колебания равномерно вращающимися векторами амплитуды колебаний и, в частности, осуществлять решение дифференциальных колебаний на так назы­ваемой векторной диаграмме, что будет продемонстрировано ниже, при ана­лизе затухающих и вынужденных колебаний и при сложении гармонических колебаний.

Энергетические аспекты гармонического колебательного движения.

Так как сила упругости - консервативная, то полная механическая энергия Е = Е_к + Е_п груза, колеблющегося на пружине, должна, в соответствии с законом сохранения механической энергии, оставаться в процессе колебаний неизменной. Покажем, что для гармонических колебаний это действительно так. Ранее было получено выражение для потенциальной энергии груза на пружине:

Е_п = kх²2 = (kА²2) cos²(t + _о= Е_{п макс} cos²(t + _о), где Е_{п макс} = kА²2.

Е_к = m²2;  = dх/dt = - А sin (t + _о) = А cos (t + _о + 2).

Скорость при гармонических колебаниях опережает на 90 по начальной фазе смещение х.

Е_к = (m²А²2) sin²(t + _о) = Е_{к макс} sin²(t + _о), где Е_{к макс} = m²А²2.

Так как ² = km, то Е_{к макс} = m²А²2 = kА²2 = Е_{п макс}

Полная же энергия гармонических колебаний груза на пружине:

Е = Е_к + Е_п = (kА²2)[cos² (t + _о)+ sin²(t + _о)] = kА²2 = Е_{п макс} = Е_{к макс}.

Так как cos²  = (1 + cos 2)2, a sin²  = (1 - cos 2)2, то кинетическая и потенциальная энергии изменяются по гармоническому за­кону, но с удвоенной, по сравнению со смещением х, частотой и со сдвигом начальных фаз в 180 друг относительно друга, так, что их сумма остается неизменной.

Покажем, как энергетический подход позволяет получить ДУСГК:

Из закона сохранения механической энергии в дифференциальной форме следует: d(Е_к + Е_п) = 0; d[m(х_t^)²2 + kх²2] = 0; mх_t^ + kх = 0  х_t^ + ²х = 0, где ² = km.

С энергетических позиций механизм гармонических колебаний груза на пружине заключается в периодической перекачке механической энергии из кинетической (энергии движения) в потенциальную (энергию взаимодействия) и обратно. В некоторые моменты вся механическая энергия переходит в кинетическую энергию. В эти моменты груз проходит положение равновесия, его ско­рость максимальна и по инерции он проскакивает положение равновесия и, удаляясь от него, запасает всё большую потенциальную энергию, которая оказывается максимальной /и равной полной энергии/ при наибольшем /амплитудном/ удалении груза от положения равновесия.

Приравнивая максимальные значения кинетической и потенциальной энергий, сразу можно получить выражение для угловой частоты  и периода Т = 2 свободных гармонических колебаний груза на пружине:

m²А²2 = kА²2   = km; Т = 2mk

В отличие от амплитуды и начальной фазы, период гармонических колеба­ний определяется не начальными условиями, а собственными динамическими характеристиками колебательной системы. Для груза на пружине ими являются меры упругости и инертности - жёсткость k пружины и масса m груза. Чем боль­ше жёсткость k пружины, тем больше возвращающая сила упругости F_у = kх, тем быс­трее она возвращает груз в положение равновесия, т. е. тем меньше период Т колебаний. Чем больше масса m груза, тем замедленнее будет нарастать ско­рость груза, тем дольше он будет совершать колебательный цикл, т. е. тем больше период колебаний.

Необходимые условия осуществления колебательного движения - упругость, инертность и малое затухание, а гармонического – еще и линейность взаимосвязи отклика и воздействия.