3. Сложение взаимно – перпендикулярных (ортогональных) колебаний

Тело одновременно участвует в двух гармонических колебательных движе­ниях, совершающихся во взаимно-перпендикулярных направлениях (электрон­ный луч на экране осциллографа, атом в твёрдом теле и т. д.). Что же пре­дставляет собой в этом случае результирующее колебание - движение? Проведем сложение двух колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль осей Х и Y. Пусть х = Аcos t и у = Вcos(t + ).

Здесь результирующее колебание задано неявно, точнее, - параметрически, через общий для координат х и у па­раметр - время t. Задача нахождения траектории результирующего движения заключается в исключении этого параметра и связывании напрямую координат у и х.

Разложим cos (t + ) = уВ = cos cos t - sin sin t и подставим в это разложение тригонометрические функции времени из ура­внения для первого колебания: cos t = хА и sin t = (1 – cos² t) = (1 – х²А²)  уВ = (хА)cos  -(1 – х²А²)sin .

И

збавляясь от радикала (перенося x/Acos  влево и возводя обе части равенства в квад­рат), получим:

у²В² – (2хуАВ)cos  + (х²А²)cos²  = sin²  - (х²А²)sin² , или х²А² + у²В² – (2хуАВ)cos  = sin²

- это уравнение эллипса с произвольной ориентацией его осей относительно осей Х и У.

В частных случаях получаются более простые и наглядные решения (траектории):

а)  = 0 (или   2m) - колебания по х и у - синфазны:

(

х/А - у/В)² = 0  х/А = у/В  у = (ВА) х - уравне­ние пря­мой линии, прохо­дящей через начало коор­динат. Точка переме­щается вдоль прямой у = (ВА)х так, что её расстояние от начала координат r = (х² + у²) = (А² + В²)cos t изображается гармони­ческим колебанием с амплитудой (A² + В²) и частотой .

б)  =  (2m + 1) - колебания по х и у противофазны.

Уравнение траектории результирую­щего колебания принимает вид: х/А + у/В = 0  у = - Вх/А; траектория по-прежнему прямая, но прохо­дит через 2-ой и 4-ый квадранты.

с)  = 2 - колебания по х и у фазно - ортогональны. Уравнение траектории: х²А² + у²/В² = 1 - уравнение эллипса приве­дённого к осям координат.

При равенстве амплитуд складывае­мых взаимно-перпендикулярных колебаний результи­рующее движение будет представ­лять собой равномерно вращательное движение (эллипс вырождается в окружность); радиус окружности R = (А² + В²) = А2.

С

лучаи  = /2 и  = - /2 отличаются направлением движения точки по эллипсу или окружности (по или против часовой стрелки).

Таким образом, равномерное вращение по окружности радиуса R с угловой скоростью  может быть представлено как суперпозиция (наложение) двух взаимно перпендикулярных, фазно ортогональных гармонических коле­баний одинаковой частоты  и амплитуды А = R/2.

Если частоты складываемых взаимно - перпендикулярных колебаний не одинаковы, но их отношение выражается рациональным числом рq, где р и q – целые числа, то траектории результирующего движения имеют довольно сложный вид и называются фигурами Лиссажу. При кратности частот траектория становится замкнутой, причём число пересечения ею осей Х и Y повторяет соотношение частот соответствующих коле­баний. Эта особенность используется в методе определения частоты одного из двух колебаний, результирующая траектория которых наблюдается, например, на экране осциллографа. За интервал t = рТ₁ = qТ₂ произойдёт р колебаний по оси Х и q колебаний по оси У. При этом траектория р раз коснётся прямой x = А и q раз - прямой у = B.