Потенциальная энергия и закон сохранения механической энергии консервативной системы.

Скалярно энергетический подход в механике особенно плодотворным оказывается в случае так называемых консервативных взаимодействий, в которых работа стационарных сил не зависит от формы траектории, а определяется лишь начальным и конечным положениями тела.

Консервативными являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, но не силы трения и сопротивления. Для консервативных сил можно ввести такую энергетическую характеристику, как потенциальная эне­ргия, которая является однозначной функцией координат (положения) и которая вместе с кинетической энергией - функцией скоростей, образует полную механичес­кую энергию тела (системы).

В отличие от кинетической энергии Е_к = m²2, являющейся однозначной, единообразно выражаемой функцией скоростей и, по смыслу – скалярной динамической мерой движе­ния, потенциальная энергия Е_п - является скалярной мерой консервативных взаимодействий и не имеет единообразного выражения через координаты (положение) тела. Получим её выражение для некоторых видов сил, рассчитав для них работу силы и, показав, что она является однозначной функцией положения, не зависит от формы траектории и равна нулю для замкнутой траектории.

1

) Сила тяжести:

А₁₂ = Fdr = - mgdу = mgh₁ - mgh₂ = Е_п1 - Е_п2 = - Е_п

 Е_п = mgh + const

2

) Сила упругости:

А₁₂ = Fdr = -kхdх = kх₁²2 - kх₂²2 = Е_п1 - Е_п2 = - Е_п,

где Е _п = kх²2 + const

Из приводимых выше формул видно, что, измеряя работу потенциальных сил, можно найти только разность потенциальных энергий, то есть сама потенциальная энергия определяется неоднозначно, а именно - с точностью до константы.

Работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии (энергии взаимодействия) и идёт на приращение кинетической энергии тела (энергии движения):

А₁₂ = Е_к = - Е_п или Е_к2 - Е_к1 = Е_п1 - Е_п2  Е_к1 + Е_п1= Е_к2 + Е_п2

Имеем симметричную форму выражения основной идеи механики – взаимосвязи мер движения и взаимодействия на скалярном, энергетическом уровне.

Полная механическая энергия тела, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, остается при его движении под действием консервативных сил неизменной, т. е. сохраняется. Она может лишь переходить в эквивалентных количествах из одного вида (энергии движения) в другой (энергию взаимо­действия) и наоборот. Это утверждение и представляет собой суть закона сохранения энергии замкнутой консервативной механической системы (ЗСМЭ), являющегося, как и закон сохранения импульса замкнутой системы, проявлением и конкре­тизацией философско-материалистического положения о несотворимости и неуничтожимости материи и её атрибутов (движения и взаимодействия) и тесной взаимосвязи между ними.

Меры движения и взаимодействия могут изменяться лишь взаимосопряжённо. Взаимодействие вызывает изменение состояния движения тела и, по сути, представляет собой передачу и обмен движением. Энергетический подход, в отличие от силового подхода, симметричен. В нем воздействие и движение – одинаково размерны.

Энергия вообще, как универсальная мера движения и взаимодействия тел, оказывается тесно связанной со свойством симметрии времени. Её сохране­ние может быть представлено как следствие такого свойства времени, как его однородность - эквивалентность разных моментов времени (временных точек). Напомним, что рассмотренный ранее закон сохранения такой век­торной меры движения, как импульс, является следствием однородности пространства - эквивалентности его точек. Такая эквивалентность предпо­лагает, что в первом случае законы физики должны быть неизменными в разные моменты времени, а во втором - в разных местах пространства.

Связывая кинетическую и потенциальную энергии, являющиеся функциями координат и скоростей, закон сохранения механической энергии является эффективным методом решения основной задачи механики, т. е. расчета характеристик (положения и скорости) движущегося тела в любой момент времени по известному начальному состоянию движения и характеру консервативных взаимодействий.