2.Точный метод построения ксд. Метод ветвей и границ.

Пусть матрица длин рёбер полного графа, построенная на множестве выводов электрической цепи, имеет вид:

Пусть G₀ – множество всех деревьев, локальные степени вершин которых . Среди элементов множества G₀ необходимо выбрать такое дерево, которое имеет минимальную суммарную длину рёбер.

В соответствии с методом ветвей и границ необходимо получить оценку η, которая заведомо меньше оценки η* любого из деревьев, принадлежащих к множеству допустимых решений G₀.

Для получения такой оценки η снимаем ограничения на величину и строим КСД по алгоритму Прима, суммарная длина рёбер которого не может быть выбрана в качестве оценки η(G₀). КСД имеет вид:

Рисунок 2.

Величина η(G₀) равняется 22.

Рисуем дерево ветвлений, где UT – множество ребер дерева Т. Решение необходимо искать среди деревьев Т₁, Т₂, Т₃ при .

Рисунок 3.

Очевидно, что для того чтобы получить оценку η(G₁) необходимо воспользоваться алгоритмом Прима без ограничения на локальную степень , положив в матрице С элементы С₁₂=С₂₁=∞. Получим матрицу С', из которой может быть построен КСД, приведённое на рис.6.

Рисунок 4.

Рисунок 5.

, . η(G₁)=23.

Для получения оценки η(G₂) полагаем в матрице С элементы С₂₅=С₅₂=∞. Получим матрицу С'', из которой может быть построен КСД, приведённое на рисунке 7.

Рисунок 6.

Рисунок 7.

, . η(G₂)=25.

Для получения оценки η(G₃) полагаем в матрице С элементы С₂₆=С₆₂=∞. Получим матрицу С'', из которой формируется КСД, приведённое на рисунке 9.

Рисунок 8.

Рисунок 9.

, .

Таким образом, дерево G₁, приведённое на рисунке 5, является оптимальным деревом при .

3.Математические модели схем эвс. Гкс

Для описания функционально-логических схем цифровых устройств и принципиальных электрических схем аналоговых устройств используются три основные математические модели (ММ): граф коммутационной схемы (ГКС); гиперграф (ГГ); взвешенный неориентированный граф (ВНГ).

Граф коммутационной схемы (гкс)

Введем следующие обозначения: – множество элементов схемы, причем e₀ соответствует фиктивному элементу, например, разъему. – множество цепей схемы. – множество контактов i-го элемента. – множество контактов всех (n+1) элементов схемы.

ГКС – треххроматический граф с вершинами трех типов («элемент», «контакт», «цепь») и ребрами двух типов W и F («элемент–контакт» – W, «контакт–цепь» – F).

Для примера рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2.1.

Рис. 2.1.

ГКС для схемы рис. 2.1 приведен на рисунке 2.2.

Для описания ГКС можно использовать списковые структуры (динамические массивы). Различают два вида списков: списки элементов по цепям; списки цепей по элементам.

Список элементов по цепям представляется последовательностью пар чисел, первое из которых описывает элемент схемы, подключенный к некоторой цепи, а второе число задает номер контакта этого элемента, при помощи которого он подключен к цепи. Последовательность элементов списка, отделенная знаком “;” (точка с запятой), описывает одну цепь схемы. Список элементов по цепям для схемы рис. 2.1 имеет вид:

Наиболее удобным является список цепей по элементам, из которого сразу видно какие цепи подключены к элементу, а именно: каждая из пар чисел первым числом описывает номер контакта некоторого элемента, а вторым – номер цепи, к которой подключен элемент при помощи данного контакта. Последовательность элементов списка, отделенная знаком “;” (точка с запятой), описывает один элемент схемы. Список цепей по элементам для схемы рис. 2.1 имеет вид:

Рис. 2.2.

ГКС может быть описан с помощью специальных языковых средств: ,

где L – признак элемента; далее, не менее чем через один пробел, следуют номер элемента – 1, тип элемента – 2, а также список цепей, в котором через запятую перечисляются номера цепей, инцидентных данному элементу, с указанием в скобках за номерами цепей, номеров контактов, подключающих цепь к элементу.

Для описания ГКС можно использовать матрицы инцидентности (A и B), определяющих множество ребер типа F («контакт–цепь») и типа W («элемент–контакт»).

ГКС может быть описан с помощью таблицы контактов:

ρ_max – наибольшее число контактов у одного элемента.