15. Статистические закономерности

15.1. Основные формулы и соотношения

Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле:

при ; (15.1)

 

при и : , (15.2)

 

где – концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от до ; и – масса и энергия электрона; – уровень (или энергия Ферми).

Уровень Ферми в металле при

.                                                       (15.3)

Удельная проводимость собственных полупроводников

,                                                       (15.4)

где – ширина запрещенной зоны; – константа.

Сила тока в р-n переходе

,                                                         (15.5)

где – предельное значение силы обратного тока; – внешнее напряжение, приложенное к р-n переходу; е – заряд электрона.

15.2. Примеры решения задач

Задача 1. Кусок металла объемом 20 см³ находится при температуре . Определить число свободных электронов, импульсы которых отличаются от максимального импульса более чем на 0,1 . Энергия Ферми эВ.

Решение. Для того, чтобы установить распределение свободных электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределением Ферми для свободных электронов при :

.                                                     (15.6)

Так как есть число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале значений от , то оно должно быть равно числу электронов в единице объема, заключенных в интервале значений импульса от р до :

.                                                           (15.7)

При этом должно соблюдаться следующее условие: данной энергии соответствует определенный импульс и интервалу энергии отвечает соответствующий ему интервал импульсов .

Заметив, что , подставим в правую часть равенства (15.7) вместо выражение (15.6) с заменой на р и на в соответствии с полученными соотношениями:

.                                        (15.8)

После сокращений получим искомое распределение свободных электронов в металле по импульсам при

.                                                (15.9)

Число электронов в единице объема, импульсы которых заключены в интервале от до , найдем интегрированием в соответствующих пределах:

, или

.

Учитывая, что максимальный импульс и максимальная энергия электронов в металле (при ) связаны соотношением , найдем искомое число свободных электронов в металле:

или .

Подставив значения величин , , , и и произведя вычисления, получим:

электронов.

Задача 2. Вычислить максимальную энергию (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре . Принять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону.

Решение. Максимальная энергия , которую могут иметь электроны в металле при , связана с концентрацией свободных электронов соотношением:

,                                                     (15.10)

где – постоянная планка ; – масса электрона; – концентрация электронов.

Концентрация электронов по условию задачи концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле:

,                                                            (15.11)

где – плотность меди; – число Авогадро; – молярная масса.

Подставляя выражение в формулу (15.10), получим:

.

Произведем вычисление: