Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ГОУ ВПО "Дальневосточный государственный

университет путей сообщения"

Н.А. Кравцова, Д.С. Фалеев

Электромагнетизм Сборник задач по физике

 Рекомендовано

методическим советом ДВГУПС

в качестве учебного пособия

Хабаровск Центр дистанционного образования 2010

1. Постоянное магнитное поле в вакууме

1.1. Закон Био-Савара-Лапласа, его применение к расчету магнитных полей. Закон полного тока. Магнитное поле соленоида и тороида

Основные формулы

     Закон Био-Савара-Лапласа: вектор индукции магнитного поля, созданного элементом проводника , по которому течет ток , имеет вид:

 

  ,                                      (1)

где – радиус-вектор, проведенный от элемента  до той точки, в которой определяется индукция поля;  – магнитная постоянная.

     В скалярной форме

,                                             (2)

где – угол между векторами  и .

     Индукция магнитного поля в произвольной точке А, созданного отрезком проводника с током конечной длины,

,                                (3)

где  – расстояние от т. А до проводника;  – углы, образованные радиус-вектором, проведенном в т.А соответственно из начала и конца проводника, с направлением тока.

     Магнитная индукция поля в центре кругового тока радиусом R

.                                                (4)

     Индукция магнитного поля в произвольной т. А, созданного бесконечно длинным прямым проводником с током,

,                                                 (5)

где  – расстояние от т. А до проводника.

     Закон полного тока (теорема о циркуляции вектора ): циркуляция вектора  по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной  на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром

,                                    (6)

где  – вектор элементарной длины контура, направленный вдоль обхода контура;  – индукция магнитного поля;  – проекция вектора на направление касательной к контуру;  – угол между векторами  и .

     Магнитная индукция поля внутри соленоида

,                                       (7)

где  – магнитная постоянная;  – длина соленоида; – число витков соленоида;  – число витков соленоида на единице его длины.

     Магнитная индукция поля внутри тороида

,                                           (8)

где  – радиус оси тороида.

     Принцип суперпозиции магнитных полей: магнитная индукция  в любой точке магнитного поля проводника с током равна векторной сумме магнитных индукций , созданных в этой точке всеми элементами  проводника с током, т. е.

,                                            (9)

     Напряженность магнитного поля в вакууме

.                                           (10)

Методические рекомендации

1. Вектор магнитной индукции – основная характеристика магнитного поля, которую можно найти по формулам (3) – (5), (7), (8).

При заданном распределении токов расчет магнитных полей производят с помощью закона Био-Савара-Лапласа (1), (2) и принципа суперпозиции полей (9). Формулой (9) пользуются в том случае, если воспользоваться соотношениями (3)–(5), (7), (8) нельзя.

Из принципа суперпозиции также следует, что если в какой-то точке магнитное поле создано несколькими проводниками с током, то вектор результирующего поля равен векторной сумме магнитных индукций, созданных в этой точке каждым током в отдельности, т. е.

 

,                                           (11)

где – число проводников с током.

2. Для применения формул (9) и (11) нужно знать направления складываемых векторов . Помните, что вектор  всегда нормален к плоскости, в которой расположены векторы  и . В случае, если точка, в которой определяется вектор , и проводник с током находятся в одной плоскости, то векторное сложение заменяется алгебраическим, так как все элементарные векторы  направлены вдоль одной прямой.

Если элементарные векторы  не направлены вдоль одной прямой, то вектор  представляют в виде геометрической суммы его составляющих вдоль осей 0x и 0y:

,

а вектор  будет следующий:

 

3. Теорема о циркуляции вектора магнитного поля позволяет значительно упростить расчеты симметричных магнитных полей. В этом случае через точку, в которой определяется вектор , проводят замкнутый контур так, чтобы он совпадал с магнитной линией поля, для всех точек которого выполняется условие . Тогда формула (6) примет вид:

.

 

4. При решении задач на расчет магнитных полей, созданных в какой-либо точке пространства одним или несколькими проводниками с током, установите, прежде всего, какой формы проводник с током создал магнитное поле, и выберете формулу, по которой можно определить индукцию поля, созданного данной конфигурацией проводника. Если ни одна из формул не подходит, то выполните чертёж, на котором изобразите проводник с током в выбранной системе координат и выберете элементарный участок , совпадающий по направлению с током, проведите радиус-вектор элемента тока . Укажите на чертеже угол  между векторами и воспользуйтесь законом Био-Савара-Лапласа и принципом суперпозиции полей.

5. Направление магнитных силовых линий связано с направлением тока, который они охватывают правилом правого винта:

– если поступательное движение винта направить по направлению тока в проводнике, то направление вращения головки винта покажет направление силовой линии магнитного поля. Вектор  направлен по касательной к магнитной линии;

– если направление вращения головки винта совпадает с направлением тока в проводнике, то поступательное движение винта показывает направление вектора магнитной индукции (применяется в случае кругового тока).

6. При определении магнитной индукции поля, созданного несколькими проводниками с током, необходимо показать в точке пространства, где определяется вектор , векторы магнитной индукции  полей, созданных каждым проводником с током, после чего сложить эти векторы по правилу векторного сложения.

Для определения модуля вектора  применяют теорему Пифагора или теорему косинусов и формулы тригонометрических функций.

Примеры решения задач

Пример 1. Определите индукцию магнитного поля, созданного токами  и , текущими по бесконечно длинным проводникам в противоположных направлениях, в точке, отстоящей от проводников на расстояниях  и  соответственно . Расстояние между проводниками .

Решение Проведем вокруг проводников с током силовые линии и, пользуясь правилом правого винта, определим направление векторов  и  (рис. 1). По принципу суперпозиции вектор индукции результирующего магнитного поля   . Модуль вектора  определяем по теореме косинусов: .

Из треугольника  также по теореме косинусов имеем:

.

Индукция магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником с током, определяется по формулам:

.

Следовательно, для индукции  получаем

.

 

Пример 2. Два бесконечно длинных проводника с токами 5 и 8 А расположены в воздухе на расстоянии 1 м друг от друга. Во сколько раз индукция магнитного поля этих токов в точке А (на расстоянии 20 см слева от первого проводника) меньше индукции полей в точке В (на расстоянии 10 см справа от второго проводника)? Чему равна индукция поля посередине между проводниками?

Решение

Выполним чертёж и покажем на нём направление векторов магнитной индукции полей, созданных в точках 1, 2, 3 токами  и . Направление векторов магнитной индукции определяется по правилу правого винта (рис. 2).

Рис. 2

По принципу суперпозиции полей вектора результирующего поля в указанных точках будут равны:

,  ,    .                   (а)

Учитывая направление векторов , запишем уравнения (а) в скалярном виде:

, , ,                   (б)

где ; ; ; ;

; .                       (в)

Подставим (в) в (б), получаем:

; ;

.                                           (г)

Подставим в уравнения (г) числовые значения , .

Вычисления дают: , .

Пример 3

Длинный провод с током  изогнут под углом . Определить магнитную индукцию в точке А (рис. 3). Расстояние .

Решение Данный проводник можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. По принципу суперпозиции  магнитных полей индукция результирующего магнитного поля в точке А следующая: , где  и  индукция магнитных полей, созданных проводниками 1 и 2 в точке А.

Из закона Био-Савара-Лапласа следует, что , так как точка А лежит на оси проводника и значит .

Магнитная индукция  отрезка проводника

 

,

где

, так как проводник бесконечно длинный, ,

следовательно ;

 – магнитная постоянная;

.

 

Пример 4

Два кольцевых проводника с токами  и  расположены в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях (рис. 4). Радиусы колец одинаковы и равны 5 см. Определить индукцию поля в центре этих колец.

Решение Индукция результирующего магнитного поля в центре кольца определяется по принципу суперпозиции: , где  и  индукция магнитных полей, созданных круговыми токами  и . Направления векторов  и  определяются по правилу правого винта, так как кольцевые проводники располагаются во взаимно-пер­пен­дикулярных плоскостях, то векторы  и  взаимно-перпендикулярны. Модуль вектора  находится по теореме Пифагора

 

,

индукции  и  в центре кругового тока имеют вид:

так как  по условию, то

.

Тогда   .

Подставим в формулу числовые значения, получаем

^.

 

Пример 5

По тонкому кольцу, радиусом 30 см, течет ток 220 A. Определить магнитную индукцию  на оси кольца в точке А (рис. 5). Угол

Решение Выделим на кольце элемент тока . Он создает в т.А магнитное поле с индукцией . По закону Био-Савара-Лапласа   ; модуль вектора определяется соотношением , где  – магнитная постоянная,  – угол между векторами  и , .

 

Магнитная индукция  поля, созданного всем кольцом в т.А, следующая:

.

Вектор  представим как векторную сумму:

,

где  – оставляющая вектора , перпендикулярная плоскости кольца,  – оставляющая вектора , параллельная плоскости кольца

,

в силу симметрии , следовательно, , т. е. вектор  направлен вдоль оси кольца.

.

Из чертежа видно, что , тогда , после интегрирования, учитывая, что , получаем

.

Вычисления дают

 

Пример 6

По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса  течет ток плотности (рис. 6). Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника.

В данной задаче использовать закон Био-Савара-Лапласа и его следствия нельзя, так как проводник не является тонким. Для решения задачи воспользуемся теоремой о циркуляции вектора : , где  – нормальная составляющая вектора . Рассмотрим две точки: точку А1, расположенную на расстоянии r1 (r1<R) от проводника и точку А2, расположенную на расстоянии r2 > R от оси проводника. Через точки А1 и А2 проведем окружности. В силу симметрии модуль вектора  в каждой точке окружности одинаков, поэтому

 

;

для точки А1: ;

для точки А2: ,  сумма токов , охватываемых контуром (окружностью), равна: ,откуда определяем:

Пример 7

По тороидальной катушке с числом витков  = 1000 течет ток 5 А. Средний  диаметр катушки  = 40 см, радиус витков  = 5 см. Определить напряженность магнитного поля в точках, находящихся от центра тороида на расстояниях,  = 5 см,  = 20 см,  = 23 см.

Решение По теореме о циркуляции вектора . В качестве контуров интегрирования возьмем окружности с центрами в точке О и радиусами . Окружность, проведенная через точку 1, не будет охватывать тока, поэтому , так как , то .

Точка 2 лежит на окружности, радиус которой равен радиусу тороида . Плоскость, охватываемую этим контуром, пересекают витков с током , следовательно,

 или .

Аналогично ;

расчет дает:

                    

Задачи для самостоятельного решения

1.    Напряженность магнитного поля в центре витка радиусом = 8 см равна  = 30 А/м. Определите напряженность магнитного поля: а) на оси витка в точке, расположенной на расстоянии  = 6 см от его центра, б)в центре витка, если ему придать форму квадрата, не изменяя тока в нем.

    (Ответ: а)15,4 А/м; б)38,6 А/м).

2.    Прямой бесконечный провод имеет круговую петлю радиу­сом = 8 см (рис. 8). Определите напряженность поля: а) на оси витка в точке, расположенной на расстоянии  = 6 см от центра; б) в центре витка, если ему придать форму квадрата, не изменяя тока в нем.

(Ответ: ).

3.    Четыре цилиндрических проводника идут параллельно друг другу, причем центры их поперечных сечений образуют квадрат со стороной  = 20 см. По каждому проводу течет ток  = 20 A. Рассмотреть три варианта направления токов. Определить величину и направление вектора в центре квадрата.               

(Ответ:  вектор направлен вверх).

4.    По проводнику в виде тонкого кольца радиусом 10 см течет ток. Чему равна сила тока, если магнитная индукция поля в точке А (рис. 9) равна 1 мкТл? Угол = 10°.

(Ответ: ).

 

Рис. 8

Рис. 9

 

5.    Два длинных параллельных провода находятся на расстоянии = 5 см один от другого. По проводам текут в противоположных направлениях одинаковые токи 10 А каждый. Найти напряженность магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии  = 2 см от одного и  = 3 см от другого провода.                                                               

(Ответ: 132 А/м).

6.  Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом (рис. 10). По проводам текут токи  = 80 A и  = 60 А. Расстояние между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников.       (Ответ: ).

7.    По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом , течет ток  = 50 А. Найти магнитную индукцию в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от его вершины на расстояние = 5 см.    

(Ответ: ).

8.    Бесконечно длинный тонкий проводник с током = 10 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом  = 10 см. Определить в точке О магнитную индукцию поля, создаваемого этим током, в случае, изображенном на рис. 11. (Ответ: ).

9.    Бесконечно длинный тонкий проводник с током  = 10 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом  = 10 см. Определить в точке О магнитную индукцию поля, создаваемого этим током, в случае, изображенном на рис. 12                                                                 

(Ответ: ).

 

Рис. 12

 

10.  По плоскому контуру из тонкого провода течет ток = 100 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке О, в случае, изображенном на рис.13. Радиус  изогнутой части равен 20 см. (Ответ: ).

 

11.По плоскому контуру из тонкого провода течет ток  = 100 А. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого этим током в точке О, в случае, изображенном на рис. 14. Радиус  изогнутой части равен 20 см.    (Ответ: ).  12.             Бесконечный прямолинейный провод согнут в одной точке под прямым углом. По проводу идет ток 100 А. Вычислить магнитную индукцию в точке, находящейся внутри угла на его биссектрисе и удаленной от вершины угла на расстояние  = 10 см. (Ответ: 0,48 мТл).

13.  Чему равна индукция магнитного поля в центре квадратной рамки, по которой циркулирует ток 20 А? Длина стороны рамки  = 15 см.                     

(Ответ: 0,15 мТл).

14.  По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Как изменилась магнитная индукция в центре контура?                                          

(Ответ: увеличилась в 1,15 раз).

15.  Сравните магнитную индукцию в центре витков кольца и квадрата, по которым течет одинаковый ток и они имеют одинаковую площадь.

(Ответ: Индукция поля в центре квадратного контура больше в 1,02 раза).

16.  Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см в точке, расположенной  на расстоянии 25 см от центра кольца, если сила тока, текущего по кольцу, равна 10 А.     

 (Ответ: ).

17.  По прямому, бесконечно длинному проводнику  течет ток  = 3 А. Круговой виток с током  = 5 А и радиусом  = 30 см расположен так, что плоскость витка параллельна проводнику, а перпендикуляр, опущенный на проводник из центра витка, является нормалью к плоскости витка. Определите магнитную индукцию в центре витка, если расстояние от провода до центра витка  = 25 см.

(Ответ: ).

18.  Длинный, прямой соленоид с густотой витков 10 см^-1 намотан на картонный каркас. По его виткам идет ток  = 5 A. Определите индукцию поля: внутри соленоида вблизи его середины и в центре одного из оснований.                                                                    

(Ответ: ).

19.  Обмотка катушки диаметром 10 см состоит из плотно прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определите минимальную длину катушки, при которой напряженность в середине ее отличается от напряженности бесконечно длинного соленоида, содержащего такое же количество витков на единицу длины, не более чем на 0,5 %. Ток, протекающий по обмотке в обоих случаях одинаков.

(Ответ:  = 1 м).

20.  Определите отношение длины  к среднему диаметру обмотки цилиндрической катушки , при котором, не допуская погрешности свыше 1 %, можно для определения напряженности магнитного поля в центре этой катушки пользоваться расчетной формулой для бесконечно длинной катушки.

(Ответ: ).

21.  Индукция магнитного поля в центре соленоида длиной  = 32 см и диаметром = 1,2 см должна составлять = 0,1 Тл. Сколько витков должна иметь обмотка, если сила тока в ней = 11,1 A.

(Ответ: 2,29 ·10³).

22.  Какова индукция магнитного поля в центре соленоида длиной          = 22 см и диаметром = 1,2 см, если обмотка имеет 2500 витков, а протекающий по ней ток = 10 A?                                                       

(Ответ: 1,25 Тл).

23.  Показать, что поле в точке соленоида, находящейся на расстояниях  и  от двух его концов так, что длина соленоида ( ) определяется выражением , где  – диаметр соленоида.

24.  Тороид прямоугольного сечения содержит  500 витков. Наружный диаметр тороида  = 20 см, внутренний  = 10 см. Ток, протекающий по обмотке,  = 2,5 A. Определите максимальное и минимальное значение индукции в тороиде.                                   

(Ответ: = 5·10^-3 Тл, =2,5·10^-3 Тл).

25.  Определить, пользуясь теоремой о циркуляции вектора , индукцию и напряженность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей 100 витков, протекает ток 1 А. Внешний радиус тороида равен 25 см, внутренний – 15 см.

(Ответ: = 0,1мТл; = 79,6 А/м).

26. По сечению проводника равномерно распределен ток плотностью = 2 MA/м². Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом R = 5 мм, проходящей внутри проводника и ориентированной так,  что её плоскость составляет угол  с вектором  плотности тока.  

 (Ответ: ). 

27. Диаметр  тороида без сердечника по средней линии равен 30 см. В сечении тороид имеет  круг радиусом = 5 см. По обмотке тороида, содержащей = 2000 витков, течет ток = 5 A (рис. 15). Пользуясь законом полного тока, определить максимальное и минимальное значение магнитной индукции в тороиде. 28. Требуется получить напряженность магнитного поля   = 1кА/м в соленоиде длиной = 20 см и диаметром = 5 см. Найти число ампер-витков , необходимое для этого соленоида, и разность потенциалов , которую надо приложить к концам обмотки из медной проволоки диаметром = 0,5 мм. Считать поле соленоида однородным. (Ответ:  = 200 А·вит; = 2,7 В). 29. Найти распределение напряженности магнитного поля вдоль оси соленоида, длина которого = 3 см и диаметр  = 2 см. По соленоиду течет ток = 2 A. Катушка имеет = 100 витков. Составить таблицу значений и построить график для значений в интервале см через каждые 0,5 см.

30. Из проволоки диаметром 1 мм надо намотать соленоид, внутри которого напряженность поля должна быть равна 23,9·10³ А/м. Предельная сила тока, которую можно пропускать по проволоке, равна 6 А. Из какого числа слоев будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с её длиной.

(Ответ: из 4-х слоев).