4. Явление электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла
4.1. Закон электромагнитной индукции. Самоиндукция. Индуктивность
Основные формулы
Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея):
,
(39)
где
–
эдс индукции;
–
полный магнитный поток (потокосцепление).
Магнитный поток, создаваемый током в контуре,
,
(40)
где
–
индуктивность контура;
–
сила тока.
Закон Фарадея применительно к самоиндукции
.
(41)
эдс индукции, возникающая при вращении рамки с током в магнитном поле,
,
(42)
где
–
индукция магнитного поля;
–
площадь рамки;
–
угловая скорость вращения.
Индуктивность соленоида
,
(43)
где
–
магнитная постоянная;
–
магнитная проницаемость вещества;
–
число витков соленоида;
–
площадь сечения витка;
–
длина соленоида.
Сила тока при размыкании цепи
,
(44)
где
–
установившаяся в цепи сила тока;
–
индуктивность контура,
–
сопротивление контура;
–
время размыкания.
Сила тока при замыкании цепи
.
(45)
Время релаксации
.
(46)
Методические рекомендации
1. Формула (39) позволяет определить мгновенное значение эдс индукции. Знак «минус» объясняется правилом Ленца: индукционный ток всегда направлен так, что своим магнитным полем, он противодействует изменению магнитного потока, породившего этот ток.
В
случае если магнитный поток сквозь
контур меняется монотонно,
т. е.
увеличивается или уменьшается равномерно,
формулу (41) можно записать так:
.
В случае если магнитный поток изменяется
неравномерно, то этой формулой можно
воспользоваться для определения средней
эдс индукции.
2.
Если контур, в котором возникает эдс
индукции замкнут, то в нём течет
индукционный ток, определяемый по закону
Ома,
,
где
–
сопротивление контура.
3.
На концах проводника, движущегося в
магнитном поле со скоростью
,
возникает разность
потенциалов.
Эта разность потенциалов обусловлена
явлением электромагнитной индукции и
равна эдс индукции, возникающей в
проводнике
,
где – индукция магнитного поля, – скорость движения проводника; – длина проводника; – угол между векторами и .
4.
Если в контуре течет равномерно
изменяющийся ток, то в нём возникает
эдс самоиндукции, которую можно определить
по формуле
,
где
–
изменение тока за время
.
5.
Во всех случаях вычисления индуктивности
соленоида (тороида) с сердечником по
формуле (43) для определения магнитной
проницаемости (если она не дана в условии
задачи) следует пользоваться графиком
зависимости
от
(прил.
1), а затем формулой
.
Примеры решения задач
Пример 1.
Магнитное
поле изменяется по закону
,
где
=
15 мТл,
.
В магнитное поле помещен круговой
проводящий виток радиусом
=
20 см под углом
к
направлению поля (в начальный момент
времени). Найти эдс индукции, возникающую
в витке в момент времени
=
5 с.
Решение
По
закону электромагнитной индукции
возникающая в витке эдс индукции
,
где
–
магнитный поток, сцепленный в витке.
,
где
–
площадь витка,
;
–
угол между направлением вектора магнитной
индукции
и
нормалью к контуру:
.
.
Подставим
числовые значения:
=
15 мТл,
,
=
20 см = = 0,2 м,
.
Вычисления
дают
.
Пример 2 В однородном магнитном поле с индукцией = 0,2 Тл расположена прямоугольная рамка, подвижная сторона которой длиной = 0,2 м перемещается со скоростью = 25 м/с перпендикулярно линиям индукции поля (рис. 42). Определить эдс индукции, возникающую в контуре. Решение При движении проводника АВ в магнитном поле площадь рамки увеличивается, следовательно, возрастает магнитный поток сквозь рамку и возникает эдс индукции. |
|
По
закону Фарадея
,
где
,
тогда
,
но
,
поэтому
.
Так,
.
Знак «–» показывает, что эдс индукции и индукционный ток направлены против часовой стрелки.
Пример 3
В
однородном магнитном поле индукцией
=
200 мТл находится круговой виток диаметром
=
8 см, изготовленный из медного проводника
диаметром
=
0,5 мм. Плоскость витка перпендикулярна
магнитным линиям. Какой заряд пройдет
через поперечное сечение проводника,
если индукция магнитного поля равномерно
уменьшится до
=
0? Удельное сопротивление меди
.
Решение
При изменении магнитной индукции от значении до 0 изменяется магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную круговым витком, в нём возникает индукционный ток. По закону Ома
,
где – эдс индукции; – сопротивление контура.
По
определению сила тока находится по
формуле
=>
.
По
закону Фарадея
(поток
меняется равномерно),
следовательно,
.
Изменение
магнитного потока
,
где
,
,
так как
;
–
площадь витка;
–
угол между нормалью к плоскости контура
и вектором магнитной индукции.
По
условию
,
.
Получаем
.
Сопротивление
проводника
.
Площадь
сечения проводника
,
длина проводника
,
поэтому
,
тогда для
получаем
.
Подставим числовые значения:
=
200 мТл = 0,2 Тл,
=
8 см = 8∙10–2
м,
d = 0,5 мм = 5∙10–4
м,
.
Вычисления
дают
.
Пример 4
Проводящий
стержень длиной
=
1м равномерно вращается в горизонтальной
плоскости с частотой
вокруг
вертикальной оси, проходящей через
конец стержня (рис. 43). Вертикальная
составляющая индукции магнитного поля
Земли
=
50 мкТл. Найти разность потенциалов
,
возникающую на концах стержня.
Решение
При
повороте на угол
проводник
описывает площадь
Разность потенциалов на концах проводника
|
|
,
при этом он пересекает
линий
магнитной индукции, т. е. магнитный
поток
,
где
–
вертикальная составляющая вектора
магнитной индукции.
,
учитывая,
что
–
угловая скорость,
.
Получаем окончательную формулу
.
Подстановка
числовых данных:
,
=
1м,
Тл
дает следующий результат:
мВ.
Пример 5
Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из медной проволоки радиусом 0,15 мм и площадью поперечного сечения 3 мм2 имеет длину 0,5 м. Сопротивление обмотки 10 Ом. Определите индуктивность соленоида. Удельное сопротивление меди 17 нОм∙м.
Решение
Индуктивность соленоида определяется по формуле
,
(а)
где – магнитная постоянная; – магнитная проницаемость среды; = 1 (соленоид без сердечника); – число витков; – длина соленоида; – площадь сечения витка.
Сопротивление обмотки
,
(б)
где
–
длина провода,
–
площадь сечения провода.
Выразим длину провода
.
(в)
С другой стороны,
,
(г)
где
–
длина одного витка,
следовательно,
,
(д)
откуда следует
.
(е)
Площадь сечения витка соленоида равна
(ж)
Подставим (е) и (ж) в формулу (а):
.
Пример 6 Резистор
сопротивлением
присоединён
к верхним кольцам двух вертикальных
медных стержней, отстоящих на расстоянии
друг
от друга. Стержни замкнуты медной
перемычкой массы
,
которая может без трения скользить
по ним (рис. 44). Вся система находится
в однородном магнитном поле с индукцией
|
|
,
перпендикулярной плоскости, в которой
расположены стержни. Перемычка начинает
падать без нарушения электрического
контакта. Найти установившуюся скорость
перемычки. Принять индуктивность
единицы длины системы стержней равной
. 
Решение
При падении перемычки увеличивается площадь контура и возрастает магнитный поток, следовательно, возникает эдс индукции и индукционный ток.
На
движущийся проводник в магнитном поле
действует сила Ампера:
,
где
–
индукция поля;
–
длина перемычки;
–
сила тока,
–
угол между направлением тока и вектором
.
По условию
(
),
значит,
.
Согласно правилу Ленца ток направлен от к , следовательно, сила Ампера направлена вверх, противоположно силе тяжести .
С
ростом скорости увеличивается эдс
индукции, индукционный ток и сила Ампера.
Скорость перестанет возрастать при
условии:
,
т. е.
.
(а)
По
закону Ома
,
где
,
–
эдс индукции, возникающая при изменении
магнитного потока вектора
сквозь
контур
;
–
эдс самоиндукции, возникающая при
изменении сквозь контур магнитного
потока, созданного индукционным током.
,
где
–
переменная величина,
–
длина вертикальных стержней, измеренная
на участке, по которому течет ток.
Тогда
,
если
=
const, то
,
поэтому
.
;
(б)
,
откуда следует
.
(в)
Из
(а) и (в) получаем
,
откуда
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти площадь поперечного сечения катушки, содержащей 100 витков, в которой при уменьшении индукции однородного магнитного поля от = 0,5 Тл до = 0,1 Тл в течение = 2 мс возникает эдс индукции = 8 В. Магнитные силовые линии параллельны оси катушки.
(Ответ:
).
2.
Круговой контур диаметром
=
8 см пересекает магнитный поток,
создаваемый однородным магнитным полем.
Магнитные силовые линии перпендикулярны
плоскости контура. Чему равна напряженность
вихревого
эл.поля, возникающего в контуре при
равномерном уменьшении магнитного
потока с
=
20 мВб до
=
2 мВб за
=
5 мс?
(Ответ: =14,3В/м).
3.
Рамка площадью
равномерно
вращается с частотой
относительно
оси, лежащей в плоскости рамки и
перпендикулярно линиям однородного
магнитного поля (
= 0,2 Тл). Каково среднее значение эдс
индукции за время, в течение которого
магнитный поток, пронизывающий рамку,
изменяется до нуля?
(Ответ:
=
0,16 В).
4.
Проволочный виток радиусом 2 см
пронизывается однородным магнитным
полем, линии индукции которого
перпендикулярны плоскости витка.
Сопротивление витка 1,5 мОм. Индукция
магнитного поля изменяется с постоянной
скоростью
0,05
Тл/с. Какое количество теплоты выделится
в витке за 30 с?
(Ответ:
=
Дж).
5.
Квадратная рамка со стороной 10 см
помещена в магнитное поле, индукция
которого изменяется с течением времени
по закону
.
Плоскость рамки перпендикулярна
магнитным линиям. Определить мгновенное
значение эдс индукции в рамке в момент
времени
1с.
(Ответ: =0,157 В).
6.
Металлическое кольцо диаметром
равномерно
вращается с частотой
в
однородном магнитном поле индукцией
.
При этом ось вращения кольца совпадает
с его диаметром и перпендикулярна линиям
вектора
.
К кольцу присоединены контакты, замкнутые
на реостат сопротивлением
.
Определить максимальную эдс индукции
,
наводимую в кольце.
(Ответ:
).
7. Круговой проводящий контур площадью 200 см2 расположен в однородном магнитном поле индукцией 1 Тл так, что его плоскость перпендикулярна магнитным линиям. Сопротивление проводника, из которого сделан контур, 10 Ом. При повороте контура через поперечное сечение его проводника прошел заряд 4 мКл. На какой угол повернули контур?
(Ответ:
).
8. При изменении магнитного потока за 6 мс с 10 до 2 мВб в катушке с числом витков равным 100 возникло вихревое электрическое поле напряженностью 8 В/м. Найти радиус витка соленоида.
(Ответ:
2,7
см).
9. В однородном магнитном поле, индукция которого равна 0,1Тл, равномерно вращается катушка, состоящая из 100 витков проволоки. Катушка делает 5 об/с. Площадь поперечного сечения катушки 100 см2. Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Найти максимальную эдс индукции во вращающейся катушке.
(Ответ:
).
10. Горизонтальный стержень длиной 1 м вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения параллельна силовым линиям магнитного поля, индукция которого равна 50 мкТл. Разность потенциалов на концах этого стержня равна 1 мВ. Определить частоту вращения стержня.
(Ответ:
6,4
об/с).
11.
Рамка площадью
содержит
витков
провода сопротивлением 
=
12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее
сопротивление
=
20 Ом. Рамка равномерно вращается в
однородном магнитном поле, индукция
которого
=
0,1 Тл, с частотой
.
Определить максимальную мощность
переменного тока в цепи.
(Ответ:
79
Вт).
12.
Короткая катушка, содержащая
= 1000
витков, равномерно вращается в
однородном магнитном поле с индукцией
=
0,04 Тл с угловой скоростью
=
5 рад/с относительно оси, совпадающей с
диаметром катушки и перпендикулярной
линиям индукции поля. Определить
мгновенное значение эдс индукции
для
тех моментов времени, когда плоскость
катушки составляет угол
с
линиями индукции поля. Площадь
катушки
равна 100 см2.
(Ответ:
).
13. На соленоид длиной 144 см и диаметром 5 см надет проволочный виток. Обмотка соленоида имеет 2000 витков и по ней течет ток 2 А. Соленоид имеет железный сердечник. Какая средняя эдс индуцируется в надетом на соленоиде витке, когда ток в соленоиде выключается в течение 0,002 с?
(Ответ:
= 1,57 В).
14. Однослойная обмотка катушки имеет индуктивность 0,001 Гн. Диаметр катушки 4 см, диаметр проволоки 0,6 мм. Из какого числа витков проволоки состоит обмотка катушки?
(Ответ: 380 витков).
15.
Между полюсами электромагнита помещена
катушка, соединенная с баллистическим
гальванометром. Ось катушки параллельна
линиям индукции. Катушка сопротивлением
=
4 Ом имеет
=
15 витков площадью
.
Сопротивление
гальванометра
равно 46 Ом. Когда ток в обмотке
электромагнита выключается, по цепи
гальванометра проходит заряд
=
90 мкКл. Вычислить магнитную индукцию
поля
электромагнита.
(Ответ: = 1,5Тл).
16.
Тонкий медный провод массой
=
1 г согнут в виде квадрата, и концы его
замкнуты. Квадрат помещен в однородное
магнитное поле (
= 0,1 Тл) так, что плоскость перпендикулярна
линиям индукции поля. Определить заряд,
проходящий по проводнику, если квадрат,
потянув за противоположные вершины,
вытянуть в линию. Плотность меди
,
её удельное сопротивление
.
(Ответ:
).
17.
По длинному проводу течет ток. Вблизи
провода расположена квадратная рамка
из тонкого провода сопротивлением
=
0,02 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и
параллелен двум её сторонам,
расстояния
до которых от провода соответственно
равны
=
10 см,
=
20 см. Найти силу тока в проводе, если при
его включении через рамку прошел заряд
=
693 мкКл.
(Ответ:
).
18.
Индуктивность катушки равна 2 мГн. Ток
частотой 50 Гц, протекающий по катушке,
изменяется по синусоидальному закону.
Определить среднюю эдс самоиндукции,
возникающую за интервал времени
,
в течение которого ток в катушке
изменяется от минимального до максимального
значения. Амплитудное значение силы
тока
=
10 А.
(Ответ: = 4 В).
19. Индуктивность соленоида длиной 1 м, намотанного в один слой на магнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь сечения соленоида равна 20 см2. Определить число витков на каждом сантиметре длины соленоида.
(Ответ: = 8 см-1).
20. Сколько витков проволоки диаметром = 0,4 мм с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром = 2 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью = 1 мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу.
(Ответ:
).
21. Определить индуктивность двухпроводной линии на участке длиной = 1 км. Радиус провода равен 1 мм, расстояние между осевыми линиями равно 0,4 м (учесть только внутренний магнитный поток, т. е. поток, пронизывающий контур, ограниченный проводами).
(Ответ:
=
2,4 мГн).
22. Катушка с железным сердечником имеет площадь поперечного сечения 20 см2 и число витков равно 500. Индуктивность катушки с сердечником равна 0,28 Гн при силе тока через обмотку в 5 А. Найти магнитную проницаемость железного сердечника в этих условиях.
(Ответ: = 1400).
23. Имеется катушка, индуктивность которой 0,2 Гн и сопротивление 1,64 Ом. Найти, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через 0,05 с после того, как эдс выключена и катушка замкнута накоротко.
(Ответ: в 1,5 раза).
24. Нужно изготовить соленоид из медного провода диаметром = 0,6 мм и длиной = 20 см. Каков должен быть диаметр соленоида, если его индуктивность = 0,01 Гн?
(Ответ: = 0,13 м).
25.
Для измерения самоиндукции соленоида
через него пропустили ток
=
2 А, а затем через баллистический
гальванометр пропустили экстраток
размыкания. Отклонение гальванометра
было такое же, как и при разрядке через
него конденсатора ёмкостью
=
1 мкФ, заряженного до разности потенциалов
=
10 В. Определить индуктивность соленоида.
Сопротивление контура гальванометра
=
10 Ом.
(Ответ:
Гн).
26.
Короткий отрезок горизонтального
провода длиной
=
10 см перемещается со скоростью
=
0,5 м/с вдоль длинного вертикального
проводника, по которому течет ток
=
20 А. Ближайший конец отрезка находится
на расстоянии
=
5 см от длинного проводника (рис. 45).
Считая, что длина вертикального проводника
намного больше суммы (
),
определить эдс, наводимую между концами
движущегося отрезка, если: а) направление
скорости
совпадает
с направлением тока
;
б) направление скорости
противоположно
направлению тока.
(Ответ: а) 2,2 мкВ; б) 2,2 мкВ (направление меняется на противоположное)).
27.
Решить предыдущую задачу, если короткий
проводник наклонен к току под углом
(рис.
46).
Рис. 45 |
Рис. 46 |
28. Из проволоки длиной = 10 см сделано полукольцо, которое движется со скорость = 0,5 м/с в однородном магнитном поле с индукцией = 10 мТл. Направление движения перпендикулярно магнитному полю и диаметру, соединяющему концы полукольца (рис. 47). Найти разность потенциалов на концах проводника.
(Ответ: = 0,32 мВ).
29.
Из
проволоки длиной
=
10 см сделано полукольцо, которое движется
со скоростью
=
0,5 м/с в однородном магнитном поле с
индукцией
=
10 мТл. Направление движения перпендикулярно
магнитному полю и составляет угол
=
с
диаметром, соединяющим концы полукольца
(рис. 48). Найти разность потенциалов на
концах проводника.
(Ответ: = 0,3мВ).
Рис. 47 |
Рис. 48 |
30. Проводящий стержень перемещается вправо по U-образному проводнику, сопротивление которого пренебрежимо мало, в однородном магнитном поле с индукцией = 0,25 мТл (рис. 49). Силовые линии поля ортогональны плоскости рисунка и направлены к читателю. Стержень имеет длину = 34 см, движется со скоростью = 2,3 м/с и обладает сопротивлением = 25 Ом. Рассчитать: а) эдс индукции; б) силу тока в контуре. (Ответ: (а) = 0,2 мВ; б) = 8 мкА) |
|
31.
Ток в соленоиде индуктивностью 130 мГн
изменяется по синусоидальному закону
,
причём
.
Чему равна эдс индукции в момент, когда
ток: 1) достигает своего максимального
значения; 2) равен нулю?
(Ответ: (1) = 0; 2) = 440 В).