14.2. Примеры решения задач

Задача 1. Известно, что высокочастотная модуляция света может быть осуществлена при использовании квадратичного электрооптического эффекта на кристаллах титаната бария в их кубической модификации, то есть при температуре выше верхней точки Кюри (  ⁰С). Рассчитать величину управляющего напряжения пластинки х-среза титаната бария толщиной 0,3 см для света с длиной волны 5460  . В режиме продольного или поперечного эффекта должна работать такая пластинка ?

Примечание: – напряжение, при котором пластинка дает разность хода .

Решение. Кристаллы титаната бария при указанной температуре относятся к классу . Для них уравнение оптической индикатрисы в отсутствие поля . При наложении внешнего поля по [100]   изменения поляризационных констант кристаллов титаната бария согласно равны ; , и уравнение оптической индикатрисы принимает вид:

Как видно из последнего уравнения, под действием поля кристалл становится оптически одноосным с оптической осью, совпадающей с направлением поля; при этом главные оси оптических индикатрис кристалла до и после наложения поля совпадают.

Найдем значения новых главных показателей преломления:

; .

Аналогично .

Поскольку , то при использовании продольного электрооптического эффекта двулучепреломление пластинки х-среза будет нулевым. Пластинка х-среза, как и пластинки - и -срезов, будет работать только в режиме поперечного квадратичного электрооптического эффекта, когда направление поля и направление распространения света взаимно перпендикулярны. Двулучепреломление в этом случае . Разность хода, равная : . Для нашего случая  см;  см; ;  ед.СГСЭ;  кВ.

Задача 2. Для измерения коэффициентов, характеризующих электрооптические свойства кристаллической пластинки -среза кристалла KDP (рис.14.1), в ней наблюдался продольный электрооптический эффект. При использовании монохроматического света с   разность хода, равная , достигалась при напряжении 7,9 кВ. Рассчитать значение электрооптического коэффициента, который может быть получен по данным измерений.

Рис. 14.1

Решение. Для кристаллов KDP матрица коэффициентов линейного электрооптического эффекта имеет три компоненты, отличные от нуля (прил. 3): , , .

В отсутствие поля уравнение оптической индикатрисы записывается в виде: 1, где ; ; и – соответственно показатели преломления обыкновенной и необыкновенной волн.

Поле приложено к граням пластинки -среза, следовательно, , . Отсюда, согласно , . В этом случае уравнение оптической индикатрисы принимает вид:

.

Поскольку свет распространяется в направлении оси , значения показателей преломления равны величинам полуосей сечения оптической индикатрисы, перпендикулярного оси .

Сечение индикатрисы координатной плоскостью – эллипс, полуоси которого не совпадают с кристаллофизическими осями и . Так как уравнение эллипса симметрично относительно перестановки координатных осей и , можно сделать вывод о том, что полуоси эллипса составляют с кристаллофизическими осями координат углы 45⁰ (рис.14.2).

Рис.14.2

Этот результат может быть получен также из принципа Кюри. В отсутствие электрического поля главные оси и кристалла с симметрией совпадают с осями 2. При наложении поля вдоль [001] получаем кристалл с симметрией , главные оси которого совпадают с положениями нормалей к плоскостям , располагающимся под углом 45⁰ по отношению к главным осям кристалла в отсутствие поля.

Вычислим новые главные показатели преломления в плоскости . Для этого приведем уравнение эллипса к главным осям:

.

Очевидно, новые коэффициенты преломления будут иметь значения , .

Отсюда: ; ,

; .

Используем известное соотношение, справедливое для случая малых а . Так как – величина малая, то

,

.

В итоге мы получим двуосный кристалл с главными коэффициентами преломления

, .

Величина двулучепреломления для света, распространяющегося в пластинке -среза перпендикулярно к ее граням, . Следовательно , откуда . Для ; ,  кВ и  ед.СГСЭ.

Задача 3. Найти вид матрицы пьезомодулей для сегнетовой соли.

Решение. Для решения задачи воспользуемся методом прямой проверки. Рассмотрим сначала ось симметрии 2, совпадающую с осью кристаллофизической системы координат. Ось 2 преобразует координатные оси следующим образом: , , или в краткой записи: , , . Будем все модули поочередно преобразовывать согласно . Если знак модуля при этом изменится на обратный, то соответствующий модуль равен нулю, если же знак остается неизменным, то модуль остается в матрице пьезомодулей. Очевидно, сохраняются только те модули , которые имеют в индексах либо одну, либо три цифры . Поэтому

, , , , , , , , , , , , , , , , ,

или в матричных обозначениях .

Далее возьмем следующую ось второго порядка, совпадающую с . Эта ось симметрии преобразует координатные оси следующим образом:

, , , , , .

Из оставшихся восьми пьезомодулей сохраняются лишь те, которые имеют в индексах либо одну, либо три цифры 2, то есть пьезомодули ; ; . Рассматривать действие третьей оси второго порядка, совпадающей с , не имеет смысла: по теореме Эйлера она является порожденным элементом симметрии и ее действие сводится к действию уже рассмотренных осей 2 и 2 .

В окончательном виде матрица пьезомодулей кристаллов класса симметрии 222 имеет вид

.

Задача 4. Найти расщепление линий водорода для уровня при напряженности электрического поля  В/см.

Решение. Расщепление при линейном эффекте Штарка

,

так как , то в данном случае . Следовательно, может принимать значения 1, 0, -1, а разность – значения 1, 0 или -1, то есть ; .

В гауссовой системе  эргхс;  г;   ;   .

.

Замечание: так как принимает значения 0 или 1, то линия расщепляется на три линии с частотами , и