Введение
Учебное пособие разработано в связи с переходом на многоуровневую подготовку инженерных кадров, а также изменением учебных планов.
Настоящее пособие представляет собой систематизированный сборник задач по электростатике, постоянному току, току в различных средах и электрооптическим явлениям, причем, в каждый раздел включено по тридцать задач, что позволяет в одинаковой мере изучить все вопросы, связанные с электрическими взаимодействиями. Последнее очень важно, так как самостоятельное решение задач – наиболее глубокое изучение физических явлений и законов.
Решение задач должно сопровождаться работой с учебниками по физике и конспектом лекций.
Для облегчения пользования сборником задач справочные данные, необходимые для решения, приводятся в условиях задач, а все физические величины даны в системе интернациональной (СИ).
1. Электрическое поле. Взаимодействие зарядов. Закон кулона
1.1. Основные формулы и соотношения
Закон
Кулона.
Сила взаимодействия между двумя
неподвижными точечными зарядами
и
прямо
пропорциональна произведению величин
этих зарядов и обратно пропорциональна
квадрату расстояния между ними:
,
(1.1)
где
–
относительная диэлектрическая
проницаемость среды. Она показывает,
во сколько раз сила взаимодействия
между двумя зарядами в вакууме больше,
чем в данной среде; зависит от электрических
свойств среды и является величиной
безразмерной (приводится в [14]);
–
электрическая постоянная,
Ф/м.
Напряженность электрического поля. Напряженностью электрического поля в данной точке называется векторная физическая величина, численно равная силе, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку поля и направленный в сторону действия силы:
,
(1.2)
где
–
величина пробного заряда.
Сила,
действующая на заряд
,
помещенный в электрическое поле,
напряженность которого
,
выражается формулой
.
Поток
вектора
напряженности через плоскую поверхность
площадью
равен
числу силовых линий напряженности,
пронизывающих эту поверхность,
(1.3)
или
,
(1.4)
где
–
угол между вектором
и
нормалью к поверхности
;
–
проекции вектора
на
направление нормали к поверхности.
В
случае неоднородного поля и произвольной
поверхности
,
интегрирование ведется по всей площади
.
В
случае замкнутой поверхности
,
интегрирование ведется по замкнутой
поверхности.
Теорема
Остроградского-Гаусса.
Поток вектора напряженности электрического
поля через любую замкнутую поверхность
равен алгебраической сумме заключенных
внутри этой поверхности зарядов, деленной
на
,
(1.5)
где
–
заряды, заключенные внутри поверхности.
Для
характеристики электрического поля,
помимо вектора напряженности
,
вводится вектор электрического смещения
,
не зависящий от среды:
(1.6)
Поток вектора электрического смещения
(1.7)
Теорема Остроградского-Гаусса для потока вектора смещения записывается в виде выражения
.
(1.8)
При помощи теоремы Остроградского-Гаусса можно рассчитывать напряженности электрических полей при симметричных распределениях зарядов и диэлектриков.
Напряженность поля точечного заряда
(1.9)
где
–
заряд, создающий поле;
–
расстояние от заряда до точки, в которой
определяется напряженность.
Напряженность поля, создаваемого бесконечно протяженной плоскостью, определяется по формуле:
(1.10)
где
–
поверхностная плотность заряда.
Поверхностная плотность заряда есть физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади:
(1.11)
Если
плоскость представляет собой диск
радиусом
,
то напряженность поля в точке, находящейся
на перпендикуляре, восстановленном из
центра диска на расстоянии
от
него,
(1.12)
Напряженность поля между двумя равномерно и разноименно заряженными бесконечными плоскостями (напряженность поля плоского конденсатора)
(1.13)
Напряженность поля, образованного бесконечно длинной равномерно заряженной нитью,
(1.14)
где
–
линейная плотность заряда;
–
расстояние от нити.
Линейная плотность заряда есть физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины нити:
(1.15)
Если нить имеет конечную длину, то напряженность поля в точке, находящейся на перпендикуляре, восстановленном из середины нити на расстоянии от нее,
(1.16)
где
–
угол между направлением нормали к нити
и радиусом-вектором, проведенным из
рассматриваемой точки к концу нити.
Напряженность поля сферы, заряд которой равномерно распределен:
а)
по поверхности сферы
б)
внутри сферы (
,
где
–
радиус сферы и
–
расстояние от центра сферы до
рассматриваемой точки)
в)
вне сферы
Вне сферы поле такое же, как если бы оно создавалось тем же зарядом , помещенным в центре сферы.
Напряженность поля сферы, заряд которой равномерно распределен по объему:
а)
внутри сферы
где
–
объемная плотность заряда;
–
расстояние от центра сферы.
Объемная плотность заряда есть физическая величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу объема:
(1.17)
б)
вне сферы
в)
по поверхности сферы
Напряженность поля диполя в общем случае (при любой ориентации диполя относительно рассматриваемой точки)
(1.18)
где
–
величина радиуса-вектора, проведенного
от центра диполя до рассматриваемой
точки;
–
угол между радиусом-вектором
и
плечом диполя
;
–
электрический момент диполя.
Электрический
момент диполя
есть
вектор, направленный от отрицательного
заряда к положительному, численно равный
произведению заряда
на
расстояние
между
зарядами,
Плечо диполя есть вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному.
Напряженность поля диполя в частных случаях:
а)
в точке, лежащей на оси диполя
,
(1.19)
в)
в точке, лежащей на перпендикуляре к
плечу диполя, восстановленному из его
середины
,
(1.20)
Если электрическое поле создано двумя и более точечными зарядами, то для нахождения напряженности поля и других его характеристик следует использовать принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность результирующего поля равна векторной (геометрической) сумме напряженностей складываемых полей:
(1.21)
В
случае наложения двух электрических
полей с напряженностями
и
а
абсолютное значение вектора напряженнности
(1.22)
где
–
угол между векторами
и
Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть физическая величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура:
(1.23)
где
–
проекция вектора напряженности
в
данной точке контура на направление
касательной к контуру в той же точке.
Кружок на знаке интеграла означает, что
интеграл вычисляется вдоль замкнутого
контура.
В случае электрического поля циркуляция вектора напряженности равна нулю:
(1.24)