§ 11.Механические приложения определенного интеграла.

1. Работа переменной силы.

Пусть материальная точка М перемещается вдоль оси OX под действием переменной силы F=F(x). Работа, произведенная силой при перемещении точки М из положения x=a в положение x=b:

.

Пример 38. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы

растянуть пружину на 10 см, если известно, что для

удлинения ее на 1 см необходимо приложить силу в 1 кН.

Решение: Согласно закону Гука, сила F, растягивающая

пружину, пропорциональна ее растяжению, т.е. F=kx, где

х - растяжение пружины (в метрах), k – коэффициент

пропорциональности.

По условию задачи при х=0,01 м сила F=1kН, то из

равенства получаем k=100 и F=100x. Отсюда

кДж.

2. Путь, пройденный телом.

Пусть материальная точка перемещается по прямой с переменной скоростью . Путь S, пройденный ею за промежуток времени от t₁ до t₂:

.

Пример 39. Найти путь, пройденный телом за 4 секунды от начала

движения, если скорость тела (м/с).

Решение:

м.

3. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской

кривой.

Пусть - уравнение плоской материальной кривой

AB. Статический момент S_x кривой AB относительно оси OX равен

, где - линейная плотность кривой.

Статический момент S_y кривой AB относительно оси OY равен

.

Координаты центра тяжести равны

Пример 40. Найти координаты центра тяжести однородной дуги

окружности , расположенной в первой

координатной четверти.

Решение:

;

Координаты центра тяжести

4. Статические моменты и координаты центра тяжести плоской

фигуры.

Пусть дана материальная плоская фигура, ограниченная кривой и прямыми y=0, x=a, x=b. Будем считать, что поверхностная плотность пластины постоянна и равна .

Статический момент плоской фигуры относительно оси OX равен

Статический момент плоской фигуры относительно оси OY равен

.

Координаты центра тяжести плоской фигуры равны

Пример41. Найти координаты центра тяжести полукруга

.

Решение:

Координаты центра тяжести

Приложение 1.

Таблица интегралов.

1. 

2. ,

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. ,

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

Приложение 2.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24.

25. 26. 27. 28.

29. 30. 31. 32.

33. 34. 35. 36.

37. 38. 39. 40.

41. 42. 43.

44. 45. 46.

47. 48. 49. 50.

Приложение 3.

Геометрические приложения определенного интеграла.

	Декартовы координаты	Кривая задана параметрически	Полярные координаты
Площадь плоской фигуры	y x a b
Длина дуги плоской кривой
Объём тела вращения	y x a b
Площадь поверхности вращения

Библиографический список

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: В 2 т. М., 1978. Т. 1. 456 с.

2. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики: В 2 т., М., 1978. Т. 1. 384 с.

3. Шипачев В.С. Высшая математика. М. 1985. 471 с.

4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: В 3т. Дрофа, 2003. Т. 2. 512с.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3 т., М., 2001. Т. 2. 864 с.

6. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч., М., 2003. Ч. 1. 256с.

7. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч., М., 1980. Ч. 1. 320 с.

8. Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича. М., 1986. Ч. 1. 464 с.

Оглавление