§ 4. Интегрирование по частям.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

,

где u(x) и v(x) - дифференцируемые функции.

Применение её целесообразно, когда интеграл в правой части формулы более прост для нахождения, нежели исходный. В некоторых случаях формулу необходимо применять несколько раз.

При этом за u(x) берётся такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv -та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден. Так, например,

для интегралов вида , ,

за u(x) следует принять многочлен P(x) .

Для интегралов вида , ,

за u(x) принимаются функции lnx, arcsinx, arctgx, а за dv - выражение

P(x)dx .

Пример 9.

Пример 10.

Пример 11.

Циклические интегралы , находятся двукратным интегрированием по частям.

Пример12.

Отсюда получаем

§ 5. Интегрирование рациональных функций.

Рациональной называется функция вида

где m,n-целые, положительные числа. Если m<n,то R(x) называется правильной дробью, если m n ,то неправильной. Всякую неправильную дробь путём деления числителя на знаменатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби: , l<n.

Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирование рациональных функций сводится к интегрированию правильных дробей. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму простейших рациональных дробей типа:

1.

2. , где к -целое число, больше единицы

3. , где , т.е. квадратный трёхчлен

не имеет действительных корней

4.

Вычисление интеграла производится по рекуррентной формуле :

Пример 13.

Пример 14.

Пример 15.

Пример 16.

Вычислим первый интеграл:

Вычислим второй интеграл, используя рекуррентную

формулу, где к = 2:

Итоговый результат:

Метод интегрирования рациональных дробей в целом рассмотрим на следующем примере:

Пример 17.

Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби :

Освободимся от знаменателей, умножая обе части равенства

на :

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х

в обеих частях тождества, получаем систему уравнений:

решение которой .

Подставляя под знак интеграла полученную сумму

элементарных дробей, имеем: