§ 8. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция определена на отрезке [a, b]. С помощью точек

x₀=a, x₁, x₂, …, x_n=b разобьем отрезок [a, b] на n частичных отрезков [x₀, x₁], [x₁, x₂], … ,[x_n-1, x_n]

с₁ с₂ с_i c_n

        

a=x₀ x₁ x₂ x_i-1 x_i x_n-1 b=x_n

В каждом частичном отрезке [x_i-1, x_i] выберем произвольную точку с_i и

вычислим f(c_i). Составим сумму

S_n=

где , которая называется интегральной суммой функции

на отрезке [a, b].

Обозначим через . Найдем предел , когда , так что

. Если интегральная сумма S_n имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число называется определенным интегралом от функции и обозначается .

Свойства определенного интеграла :

1.

2. , где c=const

3.

4. ,

5. >0, если

<0, если

6. < , если <

7.

8.

9. , если функция - чётная.

, если функция - нечётная.

10. Если непрерывна, а интегрируема на , то существует

такая точка , что справедливо равенство

.

(Обобщённая теорема о среднем)

Число называется средним значением функции

на отрезке .

§ 9. Вычисление определённого интеграла.

1. Если функция непрерывна на отрезке [a, b], а F(x) – ее

первообразная , то справедлива

формула Ньютона-Лейбница .

Пример 28.

2.Интегрирование заменой переменной: Если функция непрерывна на отрезке , а функция непрерывно дифференцируема на отрезке , причём , , то .

Пример 29.

3. Интегрирование по частям: Если функции и имеют

непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула:

Пример 30.

Замечание: в Приложении 2 предлагаются задания для закрепления навыков вычисления неопределённого и определённого интегралов.

§10. Геометрические приложения определенного интеграла.

1. Вычисление площадей плоских фигур.

1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции , прямыми и

и осью ОХ вычисляется по формуле:

или

(если х есть функция переменной у)

y

y

d

c

а

b

х

x

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций и , прямыми и

вычисляется по формуле:

.

2. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями , прямыми и осью ОХ вычисляется по формуле: , где пределы интегрирования находятся из уравнений

на ).

3. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением и лучами и вычисляется по формуле:

.

Пример 31. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

.

Решение:

y

0

x

Пример 32. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом , .

Решение:

y

x

0

Пример 33. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

и осью ОХ.

Решение:

y

x

4