§ 6. Интегрирование иррациональных функций.

1. Интегралы вида , где R-рациональная функция, -целые числа преобразуются в интегралы от рациональных функций с помощью подстановки ,где к-общий

знаменатель дробей

Пример18.

.

2. Интегралы вида , где -некоторые

числа m-натуральное число, преобразуются с помощью

подстановки .

Пример 19. .

3. Интегралы вида , где -некоторые

числа :

1) если трёхчлен имеет вещественные корни и >0, то

и

. Имеем предыдущий

случай.

2) если трёхчлен не имеет вещественных корней и >0, то

интеграл преобразуется подстановкой Эйлера .

3) если трёхчлен не имеет вещественных корней, <0 и с>0,

то применяют другую подстановку Эйлера .

4) выделим полный квадрат: .

С помощью подстановки интеграл сводится в зависимости

от коэффициентов к одному из следующих интегралов:

замена

замена или

замена или

Пример 20.

§ 7. Интегрирование тригонометрических и гиперболических

функций.

1. Интегралы вида , где R-рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки .

Пример 21.

.

2. Интегралы вида , где m и n-положительные целые

чётные числа, вычисляются с помощью формул:

Пример 22. .

Если n-нечётное положительное число, то применяется

подстановка sinx = t,

если m-нечётное положительное число, то применяется

подстановка cosx = t.

Пример 23.

.

В общем случае интегралы этого вида вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путём интегрирования по частям.

Пример 24.

Второй интеграл – табличный, первый вычислим

интегрированием по частям:

Итоговый результат:

3. Интегралы вида , , ,

где , вычисляются с помощью формул:

Пример 25.

4. Интегралы вида , , где m = 2,3,… вычисляются

с помощью формул

, .

Пример 26.

5.Интегрирование гиперболических функций производится аналогично интегрированию тригонометрических функций, причём используются следующие формулы:

Пример 27.