20

Предисловие

Методические указания содержат описания двух лабораторных работ: «Дискретизация непрерывных сигналов по времени» и Переносчик информации на основе импульсных сигналов сложной формы» (ИССФ).

Эти работы проводятся по курсам «Теория сигналов в информационных системах» (специальность 071900), преобразование биомедицинских сигналов», «Методы обработки биомедицинских сигналов и данных» (специальность 190500) в целях углубления знаний по соответствующим разделам лекционного материала.

Обе работы выполняются в классе ПЭВМ с использованием пакета прикладных программ MathCAD.

Лабораторная работа № 1 дискретизация непрерывных сигналов по времени

Цель работы: изучение принципа представления непрерывных (аналоговых) сигналов в виде отдельных мгновенных значений (отсчетов, выборок) и практическое использование этого принципа при дискретизации аналоговых сигналов по времени и по уровню.

1. Краткие теоретические сведения

Аналоговые сигналы являются типичными на входах информационно-вычислительных и измерительно-вычислительных комплексов (ИВК), а также управляющих вычислительных комплексов (УВК). Физической величиной, определяющей характер сигнала, обычно является напряжение (или ток), изменяющееся по определенному закону, отображающему тот или иной процесс. Например, в нефтеперерабатывающих установках технологические процессы характеризуются, в частности, давлением и температурой. В медицине также имеют дело с аналогичными процессами: артериальное давление и температура тела. Независимо от физической природы процессов и сигналов их при теоретическом рассмотрении заменяют математическим представлением в виде некоторой функции, описывающей закон изменения во времени S(t), заложенной в реальном процессе или сигнале.

В современных ИВК и УВК входные аналоговые сигналы преобразуются в цифровые. При этом для исходных сигналов необходимо осуществить, по крайней мере, две операции. В результате первой операции аналоговые сигналы представляются в виде отдельных мгновенных значений (отсчетов, выборок), то есть осуществляется дискретизация сигналов по времени. Вторая операция обеспечивает преобразование аналоговых сигналов в цифровые за счет дискретизации (квантования) полученных отсчетов по уровню.

Для сигналов, частотный спектр которых ограничен полосой частот от нуля до Fм, применима фундаментальная теорема В. А. Котельникова. В соответствии с этой теоремой аналоговый сигнал S(t), не содержащий частот выше Fм, полностью определяется своими мгновенными значениями S(kТ), k=1,2,3,…, взятыми через интервалы времени

. (1)

Смысл теоремы Котельникова состоит в том, что для передачи непрерывной функции времени S(t) с ограниченным спектром достаточно передать лишь ее отдельные мгновенные значения, отсчитанные через интервалы времени T. Мгновенные значения (отсчеты) функции S(t), взятые в точках T, 2T, 3T, ... и т. д., полностью определяют ход непрерывной функции.

При этом сигнал S(t) аналитически представляется рядом Котельникова [1]:

(2)

в котором - так называемая функция k-го

отсчета (рис. 1).

Рис. 1

Из выражения (2) следует, что непрерывная функция времени S(t) равна сумме бесконечного числа непрерывных слагаемых. Каждое слагаемое представляет собой функцию типа sinx/x, называемую функцией отсчета. Значение k-й функции отсчета в момент времени t=kT определяется амплитудой отсчета S(kT) в этот же момент времени, а во всех остальных точках отсчетов равно нулю (см. рис. 1).

Строго говоря, сигналы с ограниченным спектром должны бесконечно продолжаться во времени. Любой реальный сигнал имеет конечную продолжительность во времени, поэтому должен иметь бесконечно протяженный, но обычно быстро затухающий спектр. Поэтому с той или иной точностью можно считать спектр ограниченным некоторой предельной частотой Fм. Обычно эта частота определяется на основе энергетического критерия. При этом спектр ограничивается областью частот от 0 до Fм, в которой сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала (до 90 – 99 %, а иногда и более). Такое ограничение спектра, естественно, приводит к искажению сигнала. Связь практической ширины спектра с учитываемой долей энергии сигнала определяется равенством Парсеваля. Квадрат относительной погрешности воспроизведения сигнала может быть определен из соотношения:

г де S(f) – спектральная характеристика сигнала,

Е_с – полная энергия сигнала,

Е_х – энергия отброшенной части спектра сигнала.

Все вышесказанное позволяет ввести идеализацию, заключающуюся в том, что все реальные непрерывные сигналы можно рассматривать как функции с ограниченным спектром, то есть как функции, спектр которых не содержит частот выше некоторой граничной частоты Fм. Таким образом, теорему Котельникова можно применять практически ко всем реальным сигналам.

Если сигнал существенно отличается от нуля только в интервале времени Тс, имеет спектр, ограниченный частотой Fм, то в соответствии с теоремой Котельникова число дискретных отсчетов m, которые можно взять из сигнала в интервале Тс:

Обычно m>>1, поэтому с учетом выражения (1) получим m=2FмTc.

(3)

В этом случае непрерывный сигнал u(t) приближенно можно заменить рядом Котельникова с конечным числом членов:

Приближенность выражения (3) объясняется тем, что при конечном числе членов ряда значение суммы точно совпадает с мгновенными значениями функции S(t) только в точках отсчетов. В интервалах между этими точками значения функции S(t) и суммы конечного числа членов ряда различаются. Таким образом, появляется погрешность представления непрерывной функции времени суммой конечного числа членов ряда, которая имеет наибольшее значение на краях интервала Тс и наименьшее в середине этого интервала (рис. 2).

Рис. 2

Величина m определяет число независимых дискретных отсчетов, которыми можно заменить непрерывный сигнал. Это число m называют числом степеней свободы сигнала или базой сигнала. Отсчеты называют координатами сигнала.

Из теоремы Котельникова следуют два важных вывода:

1) передача непрерывных сигналов, в принципе, ничем не отличается от передачи цифровых сигналов, так как передачу непрерывной функции времени можно заменить передачей дискретной во времени последовательности ее мгновенных отсчетов, которые легко преобразуются в цифровой код;

2) можно организовать многоканальную передачу сигналов от нескольких источников аналоговой информации (первичных преобразователей) путем передачи в интервалах между отсчетами одного из непрерывных сигналов отсчетов других непрерывных сигналов. В частности, в современных ИВК уплотняется до нескольких сотен и тысяч источников аналоговых сигналов с целью последующей обработки в одной ЭВМ. В системах связи передача многоканального сигнала осуществляется по одной физической линии связи. Высокая стоимость ЭВМ и линии связи делает многоканальное преобразование и многоканальную передачу экономически целесообразными.

Значение периода дискретизации, определяемое выражением (1), является предельным максимальным значением. В реальных устройствах период дискретизации обычно имеет меньшее значение. Это обусловлено особенностями восстановления непрерывного сигнала по его дискретным отсчетам (вопросы восстановления непрерывного сигнала будут изучаться в следующих лабораторных работах).

Большее, чем определяемое по выражению (1), значение периода дискретизации приведет к появлению в нулевой спектральной зоне спектра дискретизированного сигнала составляющих с частотами ниже Fм, которых не было в исходном сигнале. Частота самой низкочастотной из этих новых составляющих равна Fопр - Fм, где Fопр=1/Т - частота опроса непрерывного сигнала.

Данное обстоятельство приведет к погрешности восстановленного сигнала, обусловленной так называемыми интермодуляционными искажениями.