Тема 6.Правильні і неправильні

МІРКУВАННЯ. СТРУКТУРА МІРКУВАНЬ.

План: 1. Класичні категоричні висловлення, їх види і структура.

Обгрунтування категоричних висловлень діаграмами

Ейлера_Венна.

2. Дедуктивні міркування. Правила міркувань. Приклади

правильних і неправильних міркувань.

Класичні категоричні висловлення, їх види і структура.

Обгрунтування категоричних висловлень діаграмами Ей)

лера)Венна.

Пізнання навколишнього світу здійснюється різними методами

(спостереження, досліди), які супроводжуються логічними

міркуваннями. Отже, вміння правильно будувати міркування, щоб

отримати правильні висновки, є одним з важливих логічних умінь,

необхідних для будь_якої галузі знань та людської діяльності. Під

119

міркуванням розуміють логічну операцію (мислительний процес),

з допомогою якої з одного чи кількох висловлень (тверджень), які

називаються умовами, дістають нове висловлення, яке називається

висновком (наслідком). Міркування складається з речень, які є

висловленнями і в традиційній термінології називаються класичними

категоричними висловленнями. Вони формулюються у вигляді “а є

в” або у вигляді “а виконує функцію f”, тобто f(а) .

Наприклад: “Андрій є студентом” або “Павло старанно вчить

математику”. Серед висловлень структури “а є в” слід розрізняти

два види: одиничні (атомічні) і загальні (субсумпційні)

висловлення. В одиничних висловленнях стверджується, що

певний об’єкт, визначений індивідуальною назвою, належить (чи

не належить) до певного класу А, що коротко записується: х є А.

Підметом атомічного висловлення є деяка індивідуальна назва, а

присудком _ певна генеральна назва. Наприклад, висловлення

“Андрій є (не є) студентом” означає, що “Андрій належить (або не

належить) до класу (множини) студентів”.

В загальних висловленнях стверджується, що певний клас

А цілком чи частково міститься в деякому іншому класі В.

Наприклад, висловлення “квадрат є прямокутником” і “деякі

прямокутники є ромбами” _ субсумпційні. В цих висловленнях

як підметом, так і присудком є генеральні назви. Перше

висловлення означає, що клас квадратів включається в клас

прямокутників.

Слово “є” в цьому випадку означає те саме, що й слово

“включається” і “належить”. Друге висловлення означає, що

існують прямокутники, які є ромбами. Тут слово “є” разом з

квантором “деякі” означає те саме, що й “існує”. Структурою

субсумпційних висловлень займалась середньовічна логіка, в

якій всі прості висловлення зводились до субсумпційних.

Складові назви класів у субсумпційних висловленнях позначають

літерами S (subjectum _ підмет) та P (рraedicatum _ присудок),

тобто S i P означають генеральні назви або непорожні класи.

Субсумпційні висловлення (судження) називають ще

категоричними. Залежно від “кількості” всі категоричні

висловлення поділяються на загальні і часткові.

Загальні висловлення характеризують весь клас S . (”Кожне

S є ...”; “Жодне S не є ...”).

Часткові висловлення характеризують принаймні деякі

елементи з класу S. (”Деякі S є ...”; “Деякі S не є ...”).

120

Залежно від “якості” всі категорині висловлення поділя_

ються на стверджувальні і заперечувальні. У стверджу)

вальних висловленнях вказується, що названий у підметі клас

S включається повністю або частково в клас P. Наприклад,

висловлення “кожний ромб є паралелограмом” означає, що

клас ромбів включається в клас паралелограмів.

У заперечувальних висловленнях вказується, що назва_

ний в підметі клас S не включається в клас Р. Наприклад, вис_

ловлення “жодний паралелограм не є трапецією” означає,

що клас паралелограмів не включається в клас трапецій, точ_

ніше, ці класи не мають спільних елементів. Але висловлення

“деякі прямокутники не є ромбами” означає, що в класі пря_

мокутників (S) існують такі об’єкти, які є ромбами (P) , а

також такі прямокутники, які не є ромбами. Отже, класи S i P

_ прямокутників та ромбів перебувають у відношенні частко_

вого включення або перерізу, тобто мають деякі спільні еле_

менти.

Об’єднуючи охарактеризовані вище два поділи категорич_

них висловлень, в традиційній логіці розрізняють чотири види

висловлень, які називають класичними категоричними вислов_

леннями, або висловленнями логічного квадрата. Вони мають

структуру висловлювальних форм, утворених з назв класів S i P,

а також із виразів, які характеризують вид висловлення за

кількістю та якістю і символічно позначаються так: А _ загально_

стверджувальні; Е _ загальнозаперечувальні; І _ частковоствер_

джувальні; О _ частковозаперечувальні.

Загальностверджувальні висловлення мають структуру:

“Всі S є P” або “Кожний S є P”. Наприклад: “Кожний прямокут_

ник є паралелограмом”.

Загальнозаперечувальні висловлення мають структуру:

“Всі S не є P” або “Жодний S не є P”. Наприклад: “Жодний

паралелограм не є трапецією”.

Частковостверджувальні висловлення _____мають структуру:

“Деякі S є P “. Наприклад: “Деякі прямокутники є ромбами”.

Частковозаперечувальні висловлення мають структуру:

“Деякі S не є P “. Наприклад: “Деякі прямокутники не є квадра_

тами”.

Запишемо ці висловлення в символічній формі. Оскільки

загальностверджувальне висловлення “Кожний S є P” слід

розуміти так, що якщо будь _ який об’єкт х належить до класу S,

121

то він належить і до класу P, а тому символічно це можна запи_

сати так: ( ∀ х є М ) [ х є S ⇒х є Р], де через М позначено

множину всіх існуючих об’єктів певної природи, відносно якої

класи S i P є підмножинами. Це означає, що між класами S i P

існує відношення строгого включення: клас S є

власною підмножиною класу P (S ⊂P), бо всі

елементи класу S є елементами класу P. В цьо_

му випадку відношення між класами S i P мож_

на зобразити діаграмою Ейлера_Венна так:

На діаграмі заштриховано множину тих об’єктів, які опису_

ються загально_стверджувальним висловленням: “Кожний S є

P”. Цій діаграмі відповідає висловлення: “Кожний прямокутник

є паралелограмом”, де S _ клас прямокутників, P _ клас парале_

лограмів.

Позначимо “х є S” _ одномісний предикат через S(x), а “х є P”

через P(x), внаслідок чого дане висловлення можна записати

так: (

∀

х ∈M) [ S(x) ⇒P(x) ].

Загальнозаперечувальне висловлення “Жодний S не є

P” з точки зору логіки слід розуміти так, що якщо довільний

об’єкт х належить до класу S, то він не належить до класу P,

тобто всі об’єкти з класу S не належать до класу P. Це озна_

чає, що класи S i P не мають спільних елементів. Символічно

його можна записати так:

( ∀ х ∈M) [ х ∈S ⇒х

∈

P ].

Співвідношення між класами S i P можна

зобразити такою діаграмою:

На ній заштриховані елементи, описані

у висловленні “жодний S не є P”, яке рівносильне тому, що всі

елементи класу S не є елементами класу P. Цій діаграмі відпов_

ідає висловлення: “Жодний паралелограм не є трапецією”, де S

_ клас паралелограмів, P _ клас трапецій.

Загальнозаперечувальне висловлення можна записати в

інших позначеннях: “х є S” _ S(x), “х ∈ P”_P(x), а тому

( ∀ х ∈M) [ S(x) ⇒

P(x)

].

Частковостверджувальні висловлення “деякі S є P” слід

розуміти так, що існують об’єкти х, які належать і до класу S і до

класу P. Символічно його записують так:

(∃х ∈M) [ х ∈S ∧x ∈Р ] або (∃х ∈M) [ S(x) ∧P(x) ].

S P

P

S

122

Співвідношення _____між класами S i P ілюст_

рується діаграмою:

Наприклад, істинне висловлення: “Деякі

непарні числа є простими”. Воно має струк_

туру “Деякі S є P” і означає, що серед непарних чисел є прості,

але й є непрості (складені), так само, як серед простих чисел є

непарні, але й є парні (число 2). А отже, класи S i P перебувають

у відношенні перерізу або часткового включення. Співвідношен_

ня між ними зображається діаграмою:

де S _ клас непарних чисел,

P _ клас простих чисел,

S∩P _ це клас чисел, які одночасно непарні і прості.

Інше істинне висловлення “Деякі чотирикутники є паралелог_

рамами” також має структуру “Деякі S є P”, але співвідношення

між класами S i P таке, що клас S містить в собі клас P, бо серед

чотирикутників є паралелограми, але є і не паралелограми. Тому

клас P _ паралелограмів є власною підмножиною класу S _ чоти_

рикутників (P ⊂S), оскільки всі паралелограми є

чотирикутниками, але не всі чотирикутники є па_

ралелограмами. Діаграма, що ілюструє зв’язки

між класами S i P, має вигляд:

Частковозаперечувальне висловлення “Деякі S не є P” озна_

чає, що існують об’єкти з класу S, які не належать класу P. Символічно

це висловлення записується так:

(∃x ∈M) [ x ∈S ∧x

∈

P ] або ( ∃x ∈M) [ S(x) ∧P(x) ].

Наприклад, частковозаперечувальне істинне висловлення

“Деякі чотирикутники не є паралелограмами” означає, що се_

ред чотирикутників є паралелограми, але й є

не паралелограми. Оскільки клас S чотирикут_

ників включає в себе клас Р _ паралелограмів і,

крім цього, містить такі чотирикутники, які не є

паралелограмами, то співвідношення між кла_

сами S і P зображається діаграмою:

На діаграмі заштрихована множина тих чотирикутників,

які не є паралелограмами, тобто об’єкти , описані у вислов_

ленні.

Розглянемо інше істинне висловлення “Деякі ромби не є

прямокутниками”. Воно має структуру “Деякі S не є P” і озна_

S P

S

P

S

P

123

чає, з одного боку, що серед ромбів існують такі, які не є

прямокутниками. Як відомо, що серед ромбів є й прямокут_

ники. Але, з другого боку, не всі прямокутники є ромбами,

тобто існують прямокутники, які не є ромбами. Це означає,

що класи S і P перебувають у відношенні част_

кового включення (перерізу), і діаграма має

вигляд:

де S_ клас ромбів

Р_ клас прямокутників.

На діаграмі заштриховано ту область, яка відповідає мно_

жині ромбів, котрі не є прямокутниками. Із сказаного можна

зробити висновок, що загальні висловлення записуються з

допомогою кванторів загальності і імплікації предикатів

(мають імплікативну структуру), а часткові висловлення

записуються з допомогою квантора існування і мають ко)

н’юнктивну структуру.

ДЕДУКТИВНІ МІРКУВАННЯ. ПРАВИЛА МІРКУВАНЬ. При)

клади правильних і неправильних міркувань.

Як було сказано вище, міркування _ це логічна опрація,

або мислительний процес, який полягає в тому, що, прий_

маючи одне або кілька висловлень за істинні, доходять на

цій основі до переконання (висновку), що інше висловлен_

ня також істинне. Висловлення, з яких починають міркуван_

ня, називаються умовами, або основами, а висловлення,

істинність якого стверджується в результаті процесу мірку_

вання, називається висновком. Процес міркування опи_

сується висловленням, яке починається найчастіше словом

“оскільки”, після якого формулюються умови, а потім після

слова “то” або “отже” формулюється висновок.

Наприклад, розв’язування задачі на визначення сторін

прямокутного трикутника з гіпотенузою а і гострим кутом

300 буде здійснюватися шляхом таких міркувань:

1) Оскільки гіпотенуза прямокутного трикутника

дорівнює а, і гострий кут дорівнює 300, то катет, що лежить

проти кута 300 дорівнює половині гіпотенузи. Отже, цей

катет дорівнює

а

2

.

Таким чином з двох істинних висловлень А1: “Гіпотенуза

прямокутного трикутника дорівнює а”, і А2: “Гострий кут

S P

124

прямокутного трикутника дорівнює 300”, даних в умові задачі,

одержали третє нове істинне висловлення В1:”Катет, що

лежить проти кута 300, дорівнює а

2

. “Символічно це

міркування можна записати так: А∧А2 ⇒ В1, або так

А А

2

1

∧

.

Далі розв’язування цієї задачі продовжується міркуванням:

2) Оскільки гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює а, і один

катет дорівнює

а

2

, то за теоремою Піфагора можна знайти другий

катет. Отже, другий катет дорівнює

а 2 а

2

4

− =

3

4

a2

=

a

2

3 .

В цьому міркуванні першою умовою є висловлення А1, дане в

умові задачі, а другою умовою служить висловлення В1, яке було

висновком у попередньому міркуванні.Висновок другого

міркування позначимо

В2: “другий катет дорівнює

a

2

3 ”.

Друге міркування символічно можна записати так:

А1∧В1 ⇒ В2 або у формі

В

В

1 1

2

.

Прийнята остання форма запису міркування означає, що

умови записуються над рискою, а висновок _ під рискою.

Наведений приклад є зразком міркування в конкретному

випадку розв’язування задачі.

Розглянемо більш загальні випадки міркування. Зауважимо,

що існують різні шляхи міркувань:

а) від загального до окремого (часткового), тобто дедуктивні

міркування;

б) від окремого (часткового, конкретного) до загального —

індуктивні міркування.

в) від окремого до окремого — міркування за аналогією.

В математиці найчастіше використовують міркування, в

основі яких лежить відношення логічного слідування між

125

предикатами і які називаються дедуктивними. Оскільки, як

відомо, імплікація, що виражає відношення логічного слідування

між предикатами, завжди істинна, то дедуктивне міркування

завжди правильне.Якщо ж між умовами і висновком міркування

немає відношення логічного слідування, то таке міркування

недедуктивне. Це означає, що в результаті такого міркування

можна дійти іноді до хибного, а іноді до істинного висловлення.

А отже, таке міркування неправильне. Наприклад, розглянемо

два міркування:

1) “Оскільки якщо число натуральне, то воно ціле, і число 2 _

ціле. Отже, число 2 _ натуральне”.

2) “Оскільки якщо число натуральне, то воно ціле, і число (_2) _

ціле. Отже, число (_2) _ натуральне”.

Легко бачити, що обидва міркування мають однакову логічну

структуру. Для того, щоб переконатись в цьому, запишемо

наведені міркування в символічній формі, ввівши такі позначення:

А(х): “число х _ натуральне”; В(х): “число х _ ціле”.

Істинне висловлення “Якщо число натуральне, то воно ціле”,

яке є першою умовою в обох міркуваннях, є

загальностверджувальним висловленням, бо воно рівносильне

висловленню “Кожне натуральне число є цілим”. Оскільки ТА(х)=

N, а ТВ(х)= Z і ТА(х)

⊂

ТВ(х), бо N

Z, то останнє висловлення можна

символічно записати в імплікативній формі з квантором

загальності: (

∀

х є М)

[А (х ) ⇒ В (х )]

, де М _ довільна

числова множина. Це висловлення виражає відношення

логічного слідування предикатів А(х) та В(х) і є істинним.

Висловлення “число 2 _ ціле”, яке є другою умовою

міркування, є також істинним висловленням, утвореним з

предиката В(х), де х=2, тому його позначимо В(2). Висновок

“число 2 _ натуральне” є також істинним висловленням, яке

утворене з предиката А(х), де х=2. Тому позначимо його А(2).

Отже, перше міркування можна записати так:

( ( ∀ x∈M) [ А(х)⇒B(x) ] ∧B(2) )⇒A(2),

або

( )[ ( ) ( )] ( )

( )

∀x ∈M A x ⇒ B x ∧ B

A

2

2

.

Друге міркування відрізняється від першого лише тим, що в

ньому замість числа 2 розглядається число (_2), в зв’язку з

чим висновок А(_2) _ хибний, бо число (_2) не є натуральним.

126

Це означає, що друге міркування, яке має логічну структуру таку

саму, як і перше міркування, а саме

((∀x∈M)[A(x)⇒B(x)]∧B(−2))⇒A(−2) або

( )[ ( ) ( )] ( )

( )

∀ ∈ ⇒ ∧ −

−

x M Ax Bx B

A

2

2 , є неправильним, бо з істинних

умов в результаті міркування одержали хибний висновок. Таким

чином міркування, проведене за схемою

(∀x∈M)[A(x)⇒B(x)]∧B(а)⇒ A(a), приводить іноді до істин_

ного висновку (як у першому випадку, де a=2), а іноді до хибного

висновку (як у другому випадку, де a= _2). А це означає, що між

умовами і висновком міркування немає відношення логічного

слідування, а тому міркування, побудоване за цією схемою, не_

правильне.

Отже, правильність міркування визначається не

тільки істинністю висловлень, що входять у нього, а

формою міркування. Справді, з першого прикладу, де

умови і висновок є істинними висловленнями, можна було

б зробити помилковий висновок про те, що міркування,

проведене за цією структурою

((∀x∈M)[A(x)⇒B(x)]∧B(a))⇒A(a) , _ правильне.

Але другий приклад переконує в тому, що міркування, яке

має таку логічну структуру, неправильне. Іншими словами,

істинність висновку, отриманого в результаті міркування,

не означає правильності міркування.

В логіці обгрунтовані дедуктивні міркування за

схемами, які називаються правилами міркувань. Існують

три основні правила міркувань: правило висновку,

правило заперечення і правило силогізму.

1) Правило висновку. Міркування, проведене за цим

правилом, характеризується тим, що умова являє собою

кон’юнкцію двох висловлень. Перше з них

загальностверджувальне висловлення, записане у формі

імплікаціі двох предикатів, між якими існує відношення

логічного слідування, перед якою стоїть квантор

загальності, тобто(∀x ∈M)[A(x) ⇒ B(x) ] . Друге

висловлення стосується окремого конкретного об’єкта a

127

і утворене з предиката А(х) , що є умовою попередньої

імплікації, тобто це висловлення А(a).

Висновком, отриманим в результаті міркування,

проведеного за цим правилом, є висловлення, яке

стосується того самого об’єкта a і утворене з предиката

В(х), що є висновком попередньої імплікації. Отже,

правило висновку для проведення міркувань має таку логічну

структуру:

( )[() ()] ()

( )

∀x∈M Ax ⇒Bx ∧Aa

B a

Його можна записати в імплікативній формі:

((∀x∈M)[A(x)⇒B(x)]∧A(а))⇒B(a).

Наведемо приклад міркування, побудованого за цим

правилом:”Оскільки якщо число натуральне, то воно ціле, і

число 2 _ натуральне. Отже, число 2_ціле”.

Обгрунтуємо правильність цього міркування і запишемо його

у символічній формі. Нехай х _ довільне число з деякої числової

множини М, що є областю визначення предикатів А(х): “число х

_ натуральне” та В(х): “число х _ ціле”. Областю істинності

предиката А(х) є множина натуральних чисел, а областю

істинності предиката В(х) є множина цілих чисел, тобто TA(x)=N,

TB(x) =Z .

Оскільки T A(x) ⊂ T B (x) , бо N ⊂ Z , то це означає, що

предикат В(х) логічно слідує з предиката А(х), а тому імплікація

предикатів А(х)

⇒

В(х) істинна на всій області визначення М.

Отже, перше висловлення в умові міркування записується так:

(∀x∈M)[A(x)⇒B(x)]

“якщо число _ натуральне, то воно _ ціле”.

Друге висловлення в умові _ “число 2 _ натуральне”. Це

висловлення, утворене з предиката А(х), де х=2. Його можна

записати А(2). Висновок міркування “число 2_ ціле”_ являє собою

висловлення, утворене з предиката В(х) і записане у вигляді

В(2).

Таким чином дане міркування має таку логічну структуру:

( )[ ( ) ( )] ( )

( )

∀x∈M A x ⇒B x ∧A

B

2

2 , або що те саме:

128

((∀x∈M)[A(x)⇒B(x)]∧ А(2))⇒B(2).

Отже, наведене вище міркування здійснено за правилом

висновку, а тому воно правильне.

Правильність міркування можна перевірити різними

способами, але найчастіше використовують два способи

перевірки. Перший спосіб зв’язаний із застосуванням апарату

математичної логіки і полягає в тому, що встановлюють, чи

логічна структура міркування співпадає із структурою певного

правила міркувань, чи ні (як це зроблено було вище). Для цього

дане міркування записують з допомогою кванторів і логічних

операцій над предикатами та висловленнями, а потім

співставляють одержаний запис із записами, що виражають

логічну структуру правил міркувань. Якщо логічна структура

міркування співпадає з логічною структурою одного із правил,

то дедуктивне міркування правильне. Якщо ж логічна структура

даного міркування не співпадає з логічною структурою жодного

із правил, то дане міркування неправильне.

Другий спосіб перевірки правильності міркувань

зв’язаний із застосуванням теоретико_множинної символіки

та діаграм Ейлера_Венна і полягає в тому, що міркування

записують в символах теорії множин, внаслідок чого

одержують схему міркування. Потім з допомогою діаграм

Ейлера_Венна зображають умови міркувань, вважаючи їх

істинними, на основі чого з’ясовують, чи при цьому завжди

істинний висновок. Якщо для всіх можливих діаграм

висновок міркування істинний, то стверджують, що

міркування, побудоване за виявленою схемою, правильне.

Якщо ж хоча б з однієї діаграми, яка правильно ілюструє

зв’язки між істинними умовами, випливає хибний висновок,

то стверджують, що будь_яке міркування, побудоване за

виявленою схемою, є неправильним.

Обгрунтуємо правильність вище розглянутого міркування,

побудованого за правилом висновку, з допомогою апарату

теорії множин. Для цього запишемо його в теоретико_

множинних символах. Позначимо через х довільний елемент

множини М, що є областю визначення даних предикатів А(х) та

В(х). Області істинності цих предикатів для короткості

позначимо відповідно множинами А і В (замість вище введених

символів TA(x) i TB(x)). Імплікація предикатів А(х)⇒В(х), що є

129

умовою міркування, виражає відношення логічного слідування,

а тому завжди істинна і з точки зору теорії множин може бути

записана так: ( ∀ х є М) [ х є А ⇒х є В]. А за означенням

підмножини, це означає, що множина А є власною підмножиною

множини В, тобто А⊂В.

Істинні висловлення А(а) та В(а) в символах теорії множин

можна записати відповідно так: a є А і a є В. Тому в теоретико_

множинних символах логічну структуру даного міркування

можна записати так:

А В а А

а В

⊂ ∧ ∈

∈

або

(А⊂В ∧a є А)⇒a є В.

Враховуючи, що області істинності предикатів

є підмножинами області визначення М, тобто

А⊂М і В⊂М, а також враховуючи умови

міркування, побудуємо діаграму:

З діаграми очевидно, що висновок а є В завжди істинний.

Отже, дедуктивне міркування, побудоване за правилом

висновку, правильне.

2)Правило заперечення. Міркування, побудоване за цим

правилом, характеризується тим, що умова його являє собою

кон’юнкцію двох висловлень. Перше з висловлень умови _ це

загальностверджувальне висловлення, яке, як і в правилі

висновку, записане символічно у вигляді імплікації двох

предикатів, між якими існує відношення логічного

слідування(перед якою стоїть квантор загальності):

(∀x ∈M ) [A(x) ⇒ B(x) ].

Друге висловлення стосується окремого конкретного об’єкта

а і утворене із заперечення предиката В(х), котрий є висновком

попередньої імплікації. Це висловлення записується так: В(а).

Висновок, отриманий в результаті міркування, являє собою

висловлення, яке стосується того самого об’єкта а і утворене із

заперечення предиката А(х). Його записують А(а). Отже,

міркування, побудоване за правилом заперечення, має таку

логічну структуру:

((∀x ∈M)[A(x)⇒B(x)]∧B(a))⇒ А(а).

M

а

А

В

130

Структуру цього міркування можна записати й так:

( є )[ ( ) ( )] ( )

( )

∀х М А х ⇒В х ∧В а

А а .

Наведемо приклад міркування, побудованого за цим

правилом: “Якщо десятковий запис натурального числа

закінчується цифрою 5, то число ділиться на 5. Число 27 не

ділиться на 5. Отже, десятковий запис числа 27 не

закінчується цифрою 5”.

Обгрунтуємо правильність цього міркування,

записавши його в символах математичної логіки. Нехай х

_ довільне натуральне число. Задамо на множині N

натуральних чисел предикати, з яких утворене міркування.

А(х):“Десятковий запис натурального числа х закінчується

цифрою 5”, В(х): “число х ділиться на 5”.

Через те, що областю істинності предиката А(х) є

множина тих натуральних чисел, запис яких закінчується

цифрою 5, а областю істинності предиката В(х) є множина

натуральних чисел, які діляться на 5, тобто чисел, які

закінчуються цифрою 5 або цифрою 0, то очевидно, що

ТА(х) ⊂ТВ(х). Остання умова означає, що предикат В(х)

логічно слідує з предиката А(х), а отже, імплікація

предикатів А(х) ⇒ В(х) істинна на всій області

визначення, тобто на множині натуральних чисел. Тому

першу умову “Якщо десятковий запис натурального числа

закінчується цифрою 5, то число ділиться на 5” даного

міркування запишемо у вигляді:

(∀xєN)[A(x) ⇒ B(x)]

.

Висловлення, “ число 27 не ділиться на 5” утворене із

заперечення предиката В(х), де х=27, і записується так:

В(27)

. Висновок міркування “ Десятковий запис числа

27 не закінчується цифрою 5” являє собою висловлення,

утворене із заперечення предиката А(х), і записується так:

А(2 7). Тепер легко записати в символах математичної

логіки структуру проведеного міркування:

( є )[ ( ) ( )] ( )

( )

∀x N A x ⇒B x ∧B

A

27

27 .

131

Очевидно, що ця структура співпадає із стуктурою

міркування, проведеного за правилом заперечення. Отже,

дане дедуктивне міркування правильне.

Обгрунтуємо правильність цього міркування,

побудованого за правилом заперечення, з допомогою

теоретико_множинної символіки і діаграм Ейлера_Венна.

Перша умова “Якщо десятковий запис натурального числа

закінчується цифрою 5, то число ділиться на 5” означає, що

множина А натуральних чисел, десятковий запис яких

закінчується цифрою 5, є підмножиною множини В

натуральних чисел, які діляться на 5, оскільки елементами

множини В є натуральні числа, які закінчуються цифрою 5

або цифрою 0. Отже, цю умову можна записати так: А ⊂ В .

При побудові діаграми слід пам’ятати, що множини А і В є

підмножинами множини натуральних чисел N, тобто

А ⊂ N

і

В ⊂ N

. Друга умова “Число 27 не ділиться на 5”

означає, що елемент 27 не належить до множини чисел, які

діляться на 5, тобто до множини В.

Отже, другу умову можна записати так: 27

∈

В. Останній

запис з точки зору теорії множин слід розуміти так: якщо

деякий елемент (в нашому випадку _ 27) не належить до певної

множини (В), то він належить до доповнення цієї множини до

універсальної. В нашому прикладі: 27 є В N. Висновок

міркування “Десятковий запис числа 27 не закінчується

цифрою 5” означає, що елемент 27 не належить до множини

А, тобто 27 ∈ А. Таким чином в теоретико_ множинних

символах логічну структуру наведеного міркування, яке

виконувалось за правилом заперечення, можна записати так:

(A⊂B∧27є B) ⇒ 27є А, або

А В В

А

⊂ ∧ 27

27

є

є .

Побудуємо діаграму Ейлера_Венна,

враховуючи виділені співввідношення між

множинами А, В, N та умови міркування:

Зауважимо, що на діаграмі елемент 27

зображається точкою, яка не належить кругу,

що зображає множину В, але належить області,

яка зображає доповнення множини В до

множини N.

N

А

B

27

132

Очевидно, що діаграма, яка відповідає схемі міркування і

побудована на основі істинності його умов, єдина. Аналізуючи

цю діаграму, легко встановити, що елемент 27 не належить до

множини А (27∉А), тобто “десятковий запис числа 27 не

закінчується цифрою 5”.Це і є висновком даного

міркування.Оскільки цей висновок істинний і єдиний, то

міркування, побудоване за правилом заперечення, правильне.