3) Правила силогізму.

У старогрецькій формальній логіці Арістотелем було обгрун_

товано структуру силогізмів, але не всі з них характеризують

правильні міркування. Розглянемо силогізми, які найчастіше

використовуються при обгрунтуванні математичних тверджень

та розв’язуванні задач.

В логіці Арістотеля їх називали силогізмами а)Barbara, б)Darii,

в) Celarent та інші, де голосні літери вказують на вид категоричного

судження. Наприклад, в силогізмі Barbara і умови, і висновок є

загальностверджувальними судженнями ААА.

a) Структура силогізму Barbara.

Міркування, проведене за цим правилом, характеризується

тим, що умова являє собою кон’юнкцію двох загальностверд_

жувальних висловлень, кожне з яких записується у вигляді

імплікації двох предикатів, між якими існує відношення логічно_

го слідування, та квантора загальності, що стоїть перед нею і

вказує на істинність цієї імплікації на всій області визначення.

Висловлення, які становлять умову міркування, зв’язані між со_

бою так, що висновок першої імплікації служить умовою другої

імплікації.Висновком міркування, проведеного за правилом

цього силогізму, є також загальностверджувальне висловлен_

ня, записане у вигляді імплікації, умовою якої є умова з першої

імплікації умови міркування, а висновком є висновок з другої

імплікації умови міркування. Отже, для побудови міркування за

цим силогізмом, маємо три вихідні предикати А(х),В(х),С(х),

задані на певній області визначення М, які перебувають у відно_

шенні логічного слідування, так що імплікації А(х) ⇒ В(х) і

В(х) ⇒ С(х) істинні на всій області визначення М і приймаються

за умови міркування. Висновком міркування є імплікація

А(х) ⇒ С(х), яка також виражає відношення логічного слідуван_

ня предикатів А(х) і С(х), а отже, істинна на всій області визна_

чення М. Таким чином, описаний силогізм має таку логічну

структуру:

133

(∀хєМ)[А(х)⇒В(х)]∧(∀хєМ)[В(х)⇒С(х)]⇒(∀хє

або ж її можна записати у формі:

(∀хє М)[А(х)⇒ В(х)]

(∀x∈M)[B(x) ⇒C(x)]

(∀хє М )[А(х)⇒ С(х)]

Наведемо приклад міркування, що відповідає цьому пра_

вилу силогізму: “Оскільки кожний квадрат є прямокутником,

і кожний прямокутник є паралелограмом, то кожний квадрат

є паралелограмом”.

Щоб записати це міркування в символах математичної ло_

гіки, сформулюємо спочатку умови і висновок його в

імплікативній формі, ввівши позначення. Позначимо через х

довільний опуклий чотирикутник, бо назви класів, які вхо_

дять в міркування, є різними видами опуклих чотирикутників.

Тому областю визначення предикатів, які утворюють мірку_

вання, є множина М всіх опуклих чотирикутників. Позначимо

предикати. А(х): “опуклий чотирикутник х є квадратом”, В(х):

“опуклий чотирикутник х є прямокутником”; С(х): “опуклий

чотирикутник х є паралелограмом”. Обидва висловлення в

умові міркування можна сформулювати в імплікативній

формі. Перше висловлення умови “кожний квадрат є прямо_

кутником” являє собою загальностверджувальне висловлен_

ня, яке рівносильне висловленню “якщо опуклий чотирикут_

ник х є квадратом, то він (цей чотирикутник х) є прямокутни_

ком”. Останнє висловлення має імплікативну форму, причо_

му ця імплікація предикатів істинна на всій множині опуклих

чотирикутників, а тому його можна записати, використавши

квантор загальності:

(∀хє М)[А(х)⇒ В(х)].

Оскільки область істинності предиката А(х) є підмножиною

області істинності предиката В(х), тобто в символах

ТА(х) ⊂ ТВ(х), то дана імплікація виражає відношення логічного

слідування предикатів А(х) і В(х): із предиката А(х) логічно

слідує предикат В(х).

Друге висловлення умови міркування “кожний прямокутник

є паралелограмом” _ аналогічно як і перше, являє собою

134

загальностверджувальне висловлення, яке рівносильне

висловленню “якщо опуклий чотирикутник х є прямокутником,

то він (цей чотирикутник х) є паралелограмом”. Останнє

висловлення має імплікативну структуру. Оскільки ця імплікація

предикатів В(х) і С(х) істинна на всій області їх визначення

(множині М опуклих чотирикутників), то її можна записати з

допомогою квантора загальності символічно так:

хє М )[В(х) ⇒ С(х)]

.

Отже, друга умова даного міркування також виражає відно_

шення логічного слідування предикатів: із предиката В(х) логіч_

но слідує предикат С(х), бо ТВ(х) ⊂ ТС(х). Висновком міркування є

також загальностверджувальне висловлення: “Кожний квадрат

є паралелограмом”, яке рівносильне висловленню, сформуль_

ованому в імплікативній формі: “Якщо опуклий чотирикутник х

є квадратом, то він (цей чотирикутник х) є паралелограмом”.

Дана імплікація виражає відношення логічного слідування пре_

дикатів А(х) і С(х), оскільки вона істинна на всій множині М опук_

лих чотирикутників, що можна записати так:

(∀ хєМ)[А(х) ⇒ С(х)]

.

З другого боку, відношення логічного слідування предикатів

А(х) і С(х) можна обгрунтувати спираючись на властивість

транзитивності відношення включення між областями істинності

даних предикатів, а саме:

ТА(х) ⊂ ТВ(х) ∧ТВ(х) ⊂ ТС(х) ⇒ТА(х) ⊂ ТС(х)

З висновку цієї властивості виходить, що з предиката А(х)

логічно слідує предикат С(х), тобто висновок міркування є також

істинним висловленням.

Отже, логічна структура даного міркування співпадає із

структурою міркування, побудованого за правилом силогізму

Barbara, тобто має вигляд:

хє М )[А(х) ⇒ В(х)]

(∀x∈M)[B(x) ⇒ C(x)]

(∀хєМ)[А(х)⇒С(х)]

або ж (що те саме):

(∀хєМ)[А(х)⇒В(х)]∧(∀хєМ)[В(х)⇒С(х)]⇒(∀хєМ)[А(х)⇒С(х)]

Тому це міркування правильне.

135

Міркування, побудоване за правилом силогізму, можна

обгрунтувати з допомогою діаграм Ейлера_Венна, записавши

його в теоретико_множинних символах. Для цього достатньо

умову і висновок міркування записати не з допомогою кванторів,

предикатів і дій над ними, а з допомогою відношень між

множинами, які є областями істинності цих предикатів, та

зобразити ці відношення діаграмою Ейлера_Венна.

Так, замість першої умови (∀ хє М )[А (х) ⇒ В(х)] слід

записати ТА(х) ⊂ ТВ(х) або коротше,

А ⊂

В

, де А _ множина всіх

квадратів, В _ множина всіх прямокутників. Аналогічно замість

другої умови

(∀ х є М )[В(х) ⇒ С (х)]

слід записати В⊂ С,

де С_ можина паралелограмів. Висновок даного міркування в

зв’язку із введеними символами запишеться так: А ⊂С. Отже, в

теоретико_множинній символіці міркування, побудоване за

правилом силогізму Barbara, має вигляд:

A ⊂B

A ⊂B ∧B ⊂С ⇒A ⊂С або

B C

A C

⊂

Будуючи діаграму Ейлера_Венна,

пам’ятаємо, що кожна із множин А,В,С є власною

підмножиною множини М _ опуклих

чотирикутників. Остаточно діаграма приймає

вигляд:

На діаграмі заштриховано множину А, про яку стверджується

у висновку даного міркування:”Кожний квадрат є

паралелограмом”, що означає: “множина А квадратів є

підмножиною множини С паралелограмів”.

Діаграма, яка ілюструє зв’язки між класами (множинами) А,

В, С, М _ квадратів, прямокутників, паралелограмів і опуклих

чотирикутників, єдина. А отже, міркування, побудоване за

схемою, що відповідає цій діаграмі, тобто за правилом

силогізму Barbara, правильне.

б) Структура силогізму Darii.

Міркування, проведене за правилом силогізму Darii,

характеризується тим, що умова його являє собою кон’юнкцію

двох висловлень, перше з яких _ загальностверджувальне

висловлення типу:”Кожний М є Р, а друге _

М

А

В

С

136

частковостверджувальне висловлення: “Деякі S є М”. Висновком

міркування є також частковостверджувальне висловлення: “Деякі

S є Р”.

В символічній формі структуру цього міркування можна

записати різними способами:

1) Кожний М є Р або 2) ( ∀ х є Х)

[хєМ ⇒ хєР ]

Деякі S є М (∃х є Х)[х є S ∧х є М]

Деякі S є P (∃х є Х)[х є S ∧х є P ]

або 3)

(∃хєХ)[М(х)⇒Р(х)]∧(∃хєХ)[S(х)∧М(х)]⇒(∃хєХ)[S

Враховуючи неоднозначність змісту квантора “деякі” у

висловленнях, які є в умові та висновку даного міркування,

побудованого за правилом силогізму Darii, одержимо

відповідно до цього неоднозначні діаграми, які ілюструють

зв’язки між класами М, Р, S.

Але при істинних умовах міркування в кож_

ному випадку дістаємо істинні висновки, що

свідчить про правильність міркування. Отже,

якщо термін “деякі” розуміти в значенні “тільки

деякі”, то діаграма, яка ілюструє правило си_

логізму має вигляд:

На діаграмі області Х відповідає область визначення всіх

предикатів, з яких утворене міркування; областям М,Р, S _

відповідно області істинності предикатів М(х), Р(х), S(х), а

заштрихована область зображає клас тих об’єктів, які

відповідають висновку міркування. При цьому очевидно, що

перша частина умови міркування виражає відношення включення

між класами М і Р (М⊂P), бо загальностверджувальне висловлення

ілюструється єдиною діаграмою. Другій частині умови _

(∃х є Х )[S (х)∧ М (х)]_ на діаграмі відповідає спільна

частина кругів S і М , тобто клас, який містить “тільки деякі”

елементи з класу S і “тільки деякі” елементи з класу М.

Аналогічно висновок (∃х є Х )[S (х )∧ Р (х )]на діаграмі

зображається спільною частиною кругів S і Р (заштрихована

область), тобто клас, який містить “тільки деякі” елементи з

множини S і “тільки деякі” елементи з множини Р.

Якщо ж другу частину умови міркування _ (∃х є Х)[S(х)∧М (х)]

розуміти так: “тільки деякі” елементи класу S є елементами класу

P

М

S

X

137

М, але при цьому клас М вичерпується ними,

то діаграма матиме вигляд:

Висновок (∃х є Х )[S (х )∧ Р (х )]

ілюструється на діаграмі заштрихованою

областю, яка складається “тільки з деяких”

елементів класів S і Р.

При такому самому трактуванні другої частини умови міркування

“тільки деякі” елементи класу S є елементами класу М можна одержати

діаграму іншого виду, згідно якої висновок

міркування (∃х є Х )[S (х)∧ Р(х)] слід

розумітивзначенні:“деякіелементизкласуS(що

невиключаєможливості“всіелементизкласуS”)

є елементами класу P”. Діаграма має вигляд:

Заштрихованій на діаграмі області відповідає клас тих

об’єктів, які характеризуються висновком міркування.

Якщо ж другу частину умови міркування

_ (∃хєХ)[S(х)∧М(х)] розуміти в значенні

“деякі елементи класу S” (що не виключає

можливості “всі елементи класу S”) є

елементами класу М, то діаграма, яка

ілюструє дане міркування, прийме вигляд:

Заштрихована область на діаграмі відповідає висновку

міркування.

Таким чином у кожному з чотирьох випадків ілюстрування

міркування, побудованого за правилом силогізму Darii, одер_

жуємо істинний висновок, що свідчить про правильність вико_

наного міркування.

Наведемо приклад міркування і обгрунтуємо його пра_

вильність. “Оскільки всі круглі числа _ парні , і деякі числа, кратні

3, _ круглі, то деякі числа, кратні 3, _ парні”.

Переконаємось, що це міркування побудоване за правилом

силогізму Darii. Для цього запишемо його в символах матема_

тичної логіки. Виділимо предикати, з яких утворене міркування,

і вкажемо їх область визначення. Оскільки поняття парного, круг_

лого числа та числа, кратного трьом, зв’язані з відношенням

подільності, яке має зміст на множині натуральних чисел N, то,

очевидно, що областю визначення всіх предикатів є множина N

Х

P

S M

X

М

S

P

X

S

M

P

138

натуральних чисел. Нехай х _ довільне натуральне число, тобто

елемент множини N (х є N).

Введемо позначення: А(х): “число х _ кругле”;

В(х): “число х _ парне”; С(х): “число х_ кратне трьом”.

Перша частина умови даного міркування “всі круглі числа _

парні“ є істинне загальностверджувальне висловлення, яке

рівносильне висловленню: “Якщо довільне число _ кругле, то

воно _ парне”, а тому може бути записане в імплікативній формі:

( ∀ х єХ)[А(х)⇒В(х)]. Оскільки ця імплікація істинна на всій

області визначення, то вона виражає відношення логічного

слідування предикатів, а отже, відношення включення між їх

областями істинності: ТА(х)⊂ТВ(х).

Друга частина умови даного міркування “Деякі числа, кратні

трьом, _ круглі” являє собою істинне частковостверджувальне

висловлення, причому термін “деякі” тут слід розуміти в значенні

“тільки деякі”, тому що серед чисел, кратних трьом, є круглі

числа, але не всі круглі числа _ кратні трьом. Іншими словами

“існують натуральні числа, які є одночасно круглі і кратні трьом”,

що символічно можна записати з допомогою квантора

існування та операції кон’юнкції предикатів:

(∃х є N)[C(х)∧А(х)].

Область істинності цієї кон’юнкції дорівнює перерізу

областей істинності складових предикатів:

ТС(х) ∧А(х) = ТС(х) ∩ТА(х).

Висновок даного міркування _ “Деякі числа , кратні трьом,_

парні”_також являє собою істинне частковостверджувальне

висловлення, яке записується з допомогою квантора існування

та кон’юнкції предикатів: (∃х є N) [C(х)∧В(х)]. Термін “деякі” тут

також слід розуміти в значенні “тільки деякі” , бо справді існують

натуральні числа, які одночасно кратні трьом і парні, але не всі

числа, які кратні трьом, є парними, так само, як і не всі парні

числа є кратними трьом. Це означає, що області істинності

прадикатів С(х) та В(х) перебувають у відношенні часткового

включення або перерізу: ТС(х) ∩ТВ(х).

Отже, в символах математичної логіки дане міркування

можна записати так:

а) ( ∀ х є N) [А(х)⇒В(х)] ∧(∃х є N) [C(х)∧А(х)] ⇒

⇒(∃х є N) [C(х)∧В(х)], або ж у вигляді:

139

б)( ∀ х єN) [А(х)⇒В(х)] чи в) Кожний А є В

(∃х єN) [C(х)∧А(х)] Деякі С є А

(∃х єN) [C(х)∧В(х)] Деякі С є В,

де через А, В, С позначено класи, об’єкти з яких

характеризуються відповідними предикатами. Отже, структура

даного міркування співпадає із схемою міркування, проведеного

за правилом силогізму Darii , а тому дане міркування правильне.

Враховуючи виявлені співвідношення між

областями істинності предикатів, які є

умовами міркування, можна побудувати

діаграму Ейлера_Венна, яка ілюструє дане

міркування, і переконатись в істинності

висновку, а отже, в правильності

побудованого міркування. Діаграма має

вигляд:

На діаграмі заштриховано клас тих чисел, які

охарактеризовані у висновку міркування, тобто тих чисел, які

одночасно кратні трьом і парні. Діаграма одночасно ілюструє

зв’язки між класами, а отже, дедуктивне міркування правильне.

в) Структура міркування, утвореного частковоствер)

джувальними висловленнями.

Міркування, проведене за правилом цього силогізму,

характеризується тим, що його умова являє собою кон’юнкцію

двох істинних частковостверджувальних висловлень, а

висновком є також частковостверджувальне висловлення.

Структура цього міркування в символах математичної логіки

така:

1) (∃х єХ) [М(х)∧Р(х)]

(∃х єХ) [S(х)∧М(х)] або ж така:

(∃х єХ) [S(х)∧Р(х)]

2) (∃х є Х)[М(х)∧Р(х)]∧(∃х єХ) [S(х)∧M(x)] ⇒(∃х єХ) [S(х)∧Р(х)]

або

3) Деякі М є Р

Деякі S є М

Деякі S є Р.

Оскільки термін “деякі” має неоднозначний зміст, то перевірка

правильності цього міркування з допомогою теоретико_

множинного апарату вимагає побудови діаграм Ейлера_Венна

для всіх можливих випадків трактування цього терміну.

N

B

C A

140

1)Якщо термін “деякі” вживати в розумінні “тільки деякі” в

усіх трьох складових висловленнях, які становлять міркування,

то співвідношення між класами М,Р,S, які з точки зору

математичної догіки означають області істинності відповідних

предикатів, можна зобразити такими діаграмами:

Діаграма а) побудована з врахуванням істинності тільки умов

міркування та з припущення, яке суперечить висновку, тобто з

припущення, що класи S і Р можуть не мати спільних елементів.

Очевидно, що ця діаграма приводить до висновку “Жодний S

не є Р”. А тому цей випадок вилучаємо з розгляду. Діаграма б)

побудована з врахуванням істинності умов міркування та

можливості попарного перерізу всіх класів М,Р,S. Область,

заштрихована на цій діаграмі, відповідає висновку міркування і

зображає ті елементи з класу S, які належать і до класу Р.

Дана діаграма б) побудована на основі аналізу структури

міркування, записаного в символах математичної логіки.

Зауважимо, що можливе виконання обернених завдань: за

даною діаграмою, яка ілюструє певне міркування, записати

символічно структуру цього міркування. Запишемо в теоретико_

множинних символах структуру міркування, проілюстрованого

діаграмою б):

(∃х єХ) [х єМ∧х єР]

(∃х є Х) [х єS∧х єМ]

(∃х є Х) [х єS∧х єР]

2)Трактуючи термін “деякі” в значенні “тільки деякі” так, що

висловлення “Деякі М є Р” означає, що деякі елементи класу М є

елементами класу Р, причому вони вичерпують множину Р, але

в класі М є ще й інші елементи, крім елементів класу Р, то

встановимо,що класи М і Р перебувають не у відношенні

перерізу, а у відношенні включення. Іншими словами, клас Р є

власною підмножиною класу М. Аналогічно друге висловлення

X X

M

M

S P P

S

а) б)

141

умови міркування “Деякі S є М” при такому

ж трактуванні терміну “деякі” означає, що

клас М є власною підмножиною класу S,

тобто деякі елементи класу S вичерпують

клас М. В зв’язку з цим діаграма Ейлера_

Венна, яка ілюструє це міркування, матиме

вигляд:

Заштрихована на діаграмі область відповідає висновку

міркування і зображає ті елементи множини Х, які належать

одночасно до класів S і Р. Це означає, що висновок міркування

істинний.

3) Якщо термін “деякі” у першому висловленні умови

міркування розуміти в значенні “тільки деякі” так, що класи М

і Р мають “тільки деякі” спільні елементи, але в кожному з них

є елементи, які не належать до іншого класу, то це означає,

що класи М і Р перебувають у відношенні часткового

включення або перерізу. Термін “деякі” у другому висловленні

умови міркування будемо розуміти в значенні “ тільки деякі”

так, що деякі елементи класу S є елементами класу М і

вичерпують цей клас М, причому в класі S є ще інші елементи,

крім елементів класу М. Таке трактування

терміну “деякі” означає, що клас М є

власною підмножиною класу S (М⊂S).

Враховуючи виявлені зв’язки між класами

М, Р, S при такому трактуванні терміну

“деякі”, проілюструємо їх діаграмою:

Заштрихована на діаграмі область зображає множину тих

елементів, які охарактеризовані у висновку міркування.

4) Тепер проілюструємо міркування, побудоване за

правилом силогізму, утвореного із частково

стверджувальних висловлень, трактуючи термін “деякі” в

значенні “деякі, а можливо і всі”. При цьому висловлення

“Деякі М є Р” означає “можливо і всі М є Р”, а отже, клас М є

власною підмножиною класу Р (М⊂Р). Аналогічно друге

висловлення умови міркування “Деякі S є

М” означає,”можливо і всі S є М”, а отже,

клас S є власною підмножиною класу М

(S⊂М). При таких зв’язках між класами М,

S і Р, що випливають з умови міркування,

діаграма Ейлера_Венна матиме вигляд:

X

P

M

S

X

M

P

S

X

S

M

P

142

Заштрихована на діаграмі область зображає множину еле_

ментів, охарактеризованих у висновку міркувань, який істинний.

5) Якщо ж тепер будемо термін “деякі” у першому висловленні

умови міркування розуміти в значенні “деякі, а можливо і всі”

елементи класу М є елементами класу Р, то встановимо, що клас

М є власною підмножиною класу Р (М⊂P). Якщо термін “деякі” у

другому висловленні умови міркування будемо розуміти в

значенні “тільки деякі” елементи класу S є елементами класу М,

але в кожному з цих класів є елементи, які не

належать до іншого класу, то встановимо, що

класи S і М перебувають у відношенні

часткового включення або перерізу. При цих

зв’язках між класами, виявлених з умови

міркування, діаграма має вигляд:

Заштрихованій області відповідає множина елементів,які

належать одночасно до класів S і Р, про що йдеться у висновку

міркування.

6) Якщо ж термін “деякі” у першому висловленні умови

міркування розуміти в значенні “можливо і всі” елементи класу М є

елементами класу Р, то клас М є власною підмножиною класу Р

(М⊂P). Якщо термін “деякі” у другому висловленні умови

міркування розуміти в значенні “тільки деякі” елементи класу S є

елементами класу М, причому вони вичерпують клас М, і в класі S

є ще інші елементи, крім елементів класу М, то клас М є власною

підмножиною класу S. Але при цьому може трапитись так, що клас

S вичерпує повністю клас М і частково клас Р (діаграма а), або ж

клас S вичерпує повністю клас М і повністю клас Р (діаграма б).

На кожній з діаграм заштрихована область зображає клас

об’єктів, описаних у висновку міркування, тобто множину

елементів, які належать одночасно до класів S і Р.

Узагальнюючи всі випадки, що ілюструють умову

міркування, кожен раз дістаємо істинний висновок, що

свідчить про неоднозначність висновку при міркуванні,

X

M

S

P

X

М

S

P

а)

X

М

P

S

б)

143

побудованому за правилом силогізму вказаної

структури.

Доведення будь_яких математичних тверджень здійснюється

різними способами, але найчастіше дедуктивним способом, при

якому процес доведення являє собою ланцюжок взаємозв’язаних

логічних міркувань, таких що висновок попереднього міркування

служить умовою в одному з наступних міркувань, а висновок

останнього є твердженням,яке доводять. Прикладом дедуктивного

способу міркування є описаний вище (стор.109) в розгорнутій формі

процес розв’язування задачі на визначення сторін прямокутного

трикутника за гіпотенузою і гострим кутом. Однак на практиці

розв’язування задач і доведення тверджень проводять в згорнутому

вигляді. Розглянемо приклади доведення математичних тверджень

дедуктивним способом в розгорнутій і згорнутій формах. Наприклад,

доведемо теорему про властивість діагоналей паралелограма:

“Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться пополам”.

Сформулюємо її перш за все в імплікативній формі, щоб

виділити умову і висновок, який необхідно довести. “Якщо

чотирикутник _ паралелограм, то його діагоналі в точці перетину

діляться пополам”. Умовою є речення:“Чотирикутник _

паралелограм”, а висновком _ речення: “Діагоналі його

(чотирикутника) в точці перетину діляться пополам”.

Для доведення виконаємо ілюстрацію конкретного

паралелограма ABCD з його діагоналями AC i BD.

Побудуємо ланцюжок міркувань, в

результаті яких прийдемо до висновку, що в

точці О діагоналі поділяються на 2 рівні

частини, тобто ВО=OD,AO=OC.

Міркуємо: 1) Оскільки згідно означення,

паралелограм _ це чотирикутник, в якого

протилежні сторони паралельні, і даний чотирикутник ABCD _

паралелограм, то його протилежні сторони паралельні. Отже,

AB || СD і BC || AD.

2) Якщо паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то

утворені внутрішні різносторонні кути рівні. а) Прямі BC і AD _

паралельні (BC || AD) і перетнуті прямою BD. Отже, утворені

внутрішні різносторонні кути рівні: ∠1=∠2.

б) З другого боку, прямі ВС і АD _ паралельні (BC || AD) і

перетнуті прямою АС. Отже, утворені внутрішні різносторонні

кути рівні: ∠3=∠4.

B C

1 3

O

4 2

A D

144

3) Оскільки в трикутниках ОВС і OAD відповідно рівні сторони

ВС і АD (як протилежні сторони паралелограма) та по 2 кути, що

прилягають до рівних сторін, також відповідно рівні (∠1=∠2,

∠3=∠4), то за другою ознакою рівності трикутників трикутники

ОВС і OAD рівні.

4) Оскільки в рівних трикутниках проти рівних кутів лежать

відповідно рівні сторони, а OBC=OAD, то сторони, що лежать

проти кутів 1, 2, рівні між собою, тобто ОА=ОС= 1

2 АС.

Аналогічно цьому, сторони, що лежать проти рівних кутів 3 і

4, в цих рівних трикутниках також рівні. Отже, ВО=OD= 1

2 BD.

Два останні співвідношення і доводять висновок теореми про

те, що діагоналі паралелограма в точці перетину діляться пополам.

Зразки розв’язування вправ з теми: “Правильні і не)

правильні міркування. Структура міркувань”

Вище в ході розкриття змісту теми подано зразки виконання

вправ на а) побудову міркування в процесі розв’язування задачі

на визначення сторін прямокутного трикутника за гіпотенузою і

гострим кутом; б)на виявлення логічної структури міркування і

встановлення, за яким правилом воно побудоване; в) на

обгрунтування правильності чи неправильності міркування; г)

на запис міркування в символах математичної логіки чи з

допомогою теоретико_множинної символіки; д)на побудову

діаграми Ейлера_Венна, яка ілюструє дане міркування. Наведемо

зразок розв’язування ще однієї вправи:

Завдання 1 Виявити логічну структуру даного міркування,

встановити за яким правилом воно побудоване, записати його

в символах математичної логіки та в теоретико_множинній сим_

воліці і побудувати діаграму Ейлера_Венна, яка ілюструє це мірку_

вання: “Оскільки деякі числа, кратні трьом, діляться на 5, і деякі

парні числа _ кратні трьом, то деякі парні числа діляться на 5”.

Розв’язування: Дане міркування має імплікативну структуру

(оскільки...,то...). Умова цієї імплікації являє собою кон’юнкцію

двох частково стверджувальних висловлень, кожне з яких

містить квантор існування “деякі”. Отже, умова міркування має

кон’юнктивну структуру. Висновок міркування являє собою одне

частково стверджувальне висловлення, яке містить квантор існу_

вання “деякі”. Через те, що квантори навішуються на предикати,

145

то виявимо, з яких предикатів складається дане міркування, і на

якій множині задані ці предикати. Зрозуміло, що поняття пар_

ного числа, числа кратного 3, так само як і відношення под_

ільності стосуються натуральних чисел, а отже, областю визна_

чення предикатів, які утворюють міркування, є множина нату_

ральних чисел N. Введемо позначення: х _ довільне натуральне

число, тобто елемент з множини N(х є N); А(х): “число х кратне

3”; В(х): “число х ділиться на 5”; С(х): “число х _ парне”.

Перше висловлення умови міркування “Деякі числа, кратні

трьом, діляться на 5” означає, що існують натуральні числа, які і

кратні трьом, і діляться на 5. В символах математичної логіки це

висловлення запишеться так:

( ∃ х є N) [A(х) ∧В(х)].

Друге висловлення умови міркування “Деякі парні числа _

кратні трьом” означає, що існують натуральні числа, які є

парними, і одночасно кратні трьом. В символах математичної

логіки друге висловлення запишеться так:

( ∃ х є N) [C(х) ∧A(х)].

Кон’юнкція обох висловлень є умовою даного міркування. А

отже, умову можна записати так:

( х є N) [A(х) ∧B(х∃)] ∧( х є N) [C(х) ∧A(х)].

Висновок міркування “Деякі парні числа діляться на 5”

означає, що існують парні числа, які діляться на 5. В символах

математичної логіки висновок можна записати так: (

х є N) [C(х)

∧В(х)].

отже, дане міркування з допомогою символів математичної

логіки слід записати так:

(

х є N)[А(х)∧В(х)]∧(

х є N)[C(х) ∧А(х)]

⇒

(

х єN)[C(х) ∧В(х)

або ж так: (

∃

х є N) [А(х) ∧В(х)]

(

х є N) [C(х) ∧А(х)]

(

х є N) [C(х) ∧В(х), або коротше

Деякі А є В

деякі С є А

деякі С є В, де буквами А, В, С позначені множини, які є

областями істинності даних предикатів, тобто класи чисел, про

які йдеться в міркуванні.

Одержаний символічний запис логічної структури даного

міркування свідчить про те, що воно побудоване за правилом

силогізму, утвореного із частковостверджувальних висловлень.

146

Щоб записати дане міркування в теоретико_множинній

символіці, треба замість предикатів записати відношення

належності деякого елемента певному класові. Наприклад,

предикат А(х) означає з точки зору теорії множин, що елемент х

належить до класу А _ тих натуральних чисел, які кратні 3 (х є А).

Аналогічні записи виконаємо замість інших предикатів,

внаслідок чого одержимо таку форму запису:

(

∃

х є N) [х є А∧х є В]

(

х є N) [х є С∧х єА]

(

х є N) [х є С∧х є В]

Множини А, В, С є власними підмножинами області визна_

чення предикатів: А

⊂

N, В ⊂ N, С ⊂ N. Побудуємо діаграму

Ейлера_Венна, яка ілюструє зв’язки між класами, вказаними у

міркуванні:

Висновок міркування істинний і

йому відповідає область, заштрихова_

на на діаграмі.

Отже, дане міркування побудоване

за правилом силогізму, утвореного із

істинних частковостверджувальних

висловлень, ілюструється єдиною

діаграмою, а тому воно дедуктивне,

тобто правильне.

Завдання для самостійної роботи.

Завдання 1. Запишіть міркування, які приводять до розв’_

язку поданих задач:

1)Обчислити усно добуток чисел 18 і 4.

2) Обчислити усно частку чисел 39 і 3.

3) Обчислити усно частку чисел 72 і 4.

4) Обчислити усно частку чисел 80 і 20.

5) Знайти довжину середньої лінії рівнобедреної трапеції,

периметр якої 51 см, а бічна сторона дорівнює 12 см.

6) Знайти площу рівнобедреної трапеції, периметр якої

51см, бічна сторона 12 см, а гострий кут дорівнює 600.

7) Знайти площу ромба, якщо його сторона дорівнює

5 см, а одна з діагоналей 8 см.

8) Знайти площу ромба із стороною 5 см, якщо одна з його

діагоналей дорівнює 6 см.

9) Діагональ прямокутника дорівнює 10 см, а одна з його

сторін 6 см. Яка площа прямокутника?

N

A

B

C

147

10) Сторони паралелограма дорівнюють 5 см і 8 см, а менша

діагональ дорівнює меншій стороні. Яка площа паралелограма?

Завдання 2. Визначте логічну структуру поданих міркувань,

обгрунтуйте правила, за якими побудовані міркування.

Запишіть їх в символах математичної логіки та в теоретико_

множинних символах, побудуйте всі можливі діаграми Ейлера_

Венна, які ілюструють міркування, а отже, обгрунтуйте

правильність (чи неправильність) міркування:

1) Всі круглі числа _ парні. Число 30 _ кругле. Отже, воно парне.

2) Всі круглі числа _ парні. Число 25 _ непарне. Отже, воно

некругле.

3) Всі числа, кратні 8, діляться на 4. Всі числа, які діляться на

4, _ парні. Отже, всі числа, кратні 8, парні.

4) Всі числа, кратні 25, діляться на 5. Всі числа, які діляться

на 5, закінчуються цифрою 0 або 5. Отже, всі числа, кратні 25,

закінчуються цифрою 0 або 5.

5) Всі числа, кратні 4, _ парні. Деякі числа, кратні 5, _ кратні і

4. Отже, деякі числа, кратні 5, _ парні.

6) Деякі числа, кратні 4, діляться на 3. Деякі парні числа _

кратні 4. отже, деякі парні числа діляться на 3.

7) Деякі числа, кратні 5, діляться на 3. Деякі парні числа _

кратні 5. Отже, деякі парні числа діляться на 3.

8) Деякі числа, кратні 5, _ круглі. Деякі парні числа _ кратні 5.

Отже, деякі парні числа _ круглі.

9)Деякі непарні числа _ кратні 5. Деякі числа, кратні 3, _

непарні. Отже, деякі числа, кратні 3, кратні і 5.

10) Деякі числа, кратні 3, діляться на 9. Деякі парні числа _

кратні 3. Отже, деякі парні числа діляться на 9.

11) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 45 _ кратне 3.

Отже, воно ділиться на 9.

12) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 45 ділиться на

9. Отже, воно _кратне 3.

13) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 15 кратне 3.

Отже, число 15 ділиться на 9.

14) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 25 не кратне 3.

Отже, воно не ділиться на 9.

15) Всі числа, які діляться на 9, кратні 3. Число 25 не ділиться

на 9. Отже, воно не кратне 3.

16) Всі числа , які діляться на 9, кратні 3. Деякі парні числа

кратні 3. Отже, деякі парні числа діляться на 9.

148

17)Всі числа, які кратні 4, _ парні. Деякі числа, кратні 5, _ парні.

Отже, деякі числа кратні 5, _ кратні і 4.

18) Деякі круглі числа діляться на 3. Деякі парні числа _ круглі.

Отже, деякі парні числа діляться на 3.

19) Деякі парні числа _ кратні 7. Деякі числа, кратні 3, _

парні. Отже, деякі числа, кратні 3, _ кратні й 7.

20) Деякі парні числа _ кратні 3. Деякі парні числа _ кратні 7.

Отже, деякі числа, кратні 3, _ кратні й 7.

Завдання 3. Обгрунтувати, чи правильнi поданi мiркування.

Якщо мiркування неправильне, змiнiть його так, щоб воно стало

правильним. Запишiть данi та змiненi мiркування в символічнiй

формi. Побудуйте вiдповiднi дiаграми Ейлера_Венна.

1)В довiльному рiвносторонньому трикутнику висоти рiвнi мiж

собою. Кожний рiвностороннiй трикутник _ рiвнобедрений. Отже,

в кожному рiвнобедреному трикутнику висоти рiвнi мiж собою.

2)Всi рiвностороннi трикутники _ гострокутнi. Деякi

рiвнобедренi трикутники _ рiвностороннi. Отже, деякi

рiвнобедренi трикутники _ гострокутнi.

3)Всi рiвностороннi трикутники _ рiвнобедренi. Деякi

гострокутнi трикутники _ рiвностороннi. Отже, деякi гострокутнi

трикутники _ рiвнобедренi.

4)Деякi рiвнобедренi трикутники _ рiвностороннi. Деякi

прямокутнi трикутники _ рiвнобедренi. Отже, деякi прямокутнi

трикутники _ рiвностороннi.

5)Деякi ромби _ квадрати. Деякi паралелограми _ ромби.

Отже, деякi паралелограми _ квадрати.

6)Усi квадрати _ ромби. Деякi прямокутники _ квадрати.

Отже, деякi прямокутники _ ромби.

7)Усi прямокутники мають рiвнi дiагоналi. Деякi ромби _

прямокутники. Отже, деякi ромби мають рiвнi дiагоналi.

8)У кожного ромба дiагоналi взаємно перпендикулярнi. Деякi

прямокутники _ ромби. Отже, у деяких прямокутникiв дiагоналi

взаємно перпендикулярнi.

9)Деякi прямокутники _ ромби. Деякi паралелограми _

прямокутники. Отже, деякi паралелограми _ ромби.

10)У будь_якої рiвнобедреної трапецiї дiагоналi рiвнi. Деякi

опуклi чотирикутники _ рiвнобедренi трапецiї. Отже, у деяких

опуклих чотирикутникiв дiагоналi рiвнi.

11)Деякi паралелограми _ квадрати. Деякi опуклi чотирикутники

_паралелограми. Отже, деякi опуклi чотирикутники _ квадрати.

149

Список літератури

1. Арутюнов В.Х., Мішин В.М., Кирик Д.П. Логіка: Навчаль_

ний посібник для економістів, К., 2000. — 144с.

2. Берков В.Ф. и др. Логика / В.Ф. Берков, Я.С. Яскевич,

В.И. Павлюкевич. – Мн. НТ∈∈∈“ТетраСистемс”, 1997. – 480с.

3. Івін ∈.А. Логіка: Експериментальний навчальний посібник

для факультативних курсів за вибором учнів старших класів за_

гальноосвітніх шкіл, ліцеїв, гімназій. – К.: “АртЕк”, 1996. – 232с.

4. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика: Учебник для юри_

дических вузов. – М.: Юрист, 1999. – 256с.

5. Конверський А.Є. Логіка: Підручник для студентів вищих

навчальних закладів. – К.: Український центр духовної культури,

1999. – 400 с.

6. Пасічник Я.А. Математика (Лекції для студентів_еко_

номістів). – 2_ге вид., доповнене, уточнене. – ∈строг: ∈строзька

Академія, 2000. – 284с.

7. Пасічник Я.А. Математика. Елементи математичної логі_

ки. Методичний посібник для студентів факультетів підготовки

вчителів початкових класів педагогічних інститутів, Рівне, 1997.

– 159с.

8. Тофтул М.Г. Логіка. Посібник для студентів вищих навчаль_

них закладів. – К.: Видавничий центр “Академія”, 1999. – 336с.

9. Хоменко І.В. Логіка – юристам: Підручник. – К.: Четверта

хвиля, 1997. – 392с.

150

Зміст

ПЕРЕДМОВА........................................... 3

Вступ .................................................... 4