Тема 2. Висловлення і дії над ними.

ЗАКОНИ АЛГЕБРИ ВИСЛОВЛЕНЬ

План: 1. Поняття висловлення і висловлювальної форми.

2. Дії над висловленнями:

а) заперечення висловлення;

б) диз’юнкція двох висловлень;

в) кон’юнкція двох висловлень;

г) імплікація двох висловлень;

д) еквіваленція двох висловлень.

3. Закони алгебри висловлень.

Поняття висловлення (судження) і висловлювальної

форми.

Основним, тобто неозначуваним, поняттям в математичній

логіці є поняття висловлення. Але зміст цього поняття можна

розкрити описом так: висловлення _ це речення, в якому щось

стверджується чи заперечується і про яке можна сказати істин_

не воно чи хибне. (В логіці для позначення висловлень викори_

стовуються ще терміни_судження, твердження. Надалі ми вико_

ристовуватимемо термін “висловлення”). Висловлення прий_

нято позначати великими буквами латинського алфавіту, хоч,

взагалі кажучи, це справа домовленості. Приклади висловлень:

А: “Число 5 _ натуральне”.

В: “Місто Київ стоїть на березі Дніпра”.

С: “3 _ парне число”.

Висловлення А і В _ істинні, висловлення С _ хибне.

Істинне висловлення (за домовленістю) позначають цифрою

1 або буквою І, хибне _ цифрою 0, або буквою Х. (І,Х _ початкові

букви слів відповідно “істинне”, “хибне”). Істинність та хибність

судження називають значенням логічної вартості. Домо_

вимось використовувати цифрову символіку (1;0) для позна_

чення (значення) логічної вартості висловлення. Не слід вважа_

ти висловленнями речення, що мають суб’єктивний характер,

наприклад: “Сьогодні гарна погода”, або “Ця книжка цікава”. Не

вважаються висловленнями питальні та окличні речення, а та_

кож речення, які не мають смислу, наприклад: “3/4 кратне 5”.

Якщо висловлення містить один підмет і один присудок (в син_

таксичному розумінні) чи характеризує одну якість чи одне відно_

шення предмета, то його вважають простим висловленням.

28

Наприклад:

А: “Арістотель _ творець логіки”;

В: “12 кратне 3”;

С: “5 < 7”;

Д: “2 + 5 = 7” _ це прості висловлення.

В загальному вигляді просте висловлення має структуру: “S

є Р” , де S – суб’єкт, Р – предикат висловлення, які з’єднані ствер_

джувальною зв’язкою “є”, або заперечу вальною зв’язкою “не

є”. В останньому випадку просте висловлення має структуру: “S

не є Р”. Замість зв’язки “є” в українській мові використовують

тире: “5 – непарне число”.

Якщо висловлення містить два підмети і два присудки (в гра_

матичному розумінні), чи один підмет і кілька присудків або на_

впаки, то його вважають складеним висловленням.

Серед складених висловлень (суджень) виділяють а) висловлен_

ня із складним суб’єктом, які мають структуру S (S1, S2, …, Sn) є Р, а

також б) висловлення із складним предикатом , які мають структу_

ру SєP(P1, P2, …, Pn) та в) висловлення, утворені із простих вислов_

лень в результаті логічних операцій за допомогою пропозиціональ_

них зв’язок або функторів, які називаються логічними оператора_

ми, а саме: “не”, “або”, “або, або”, “і”, “якщо, то”, “тоді і тільки тоді”.

Приклади складених висловлень:

1) А: “Числа 20 і 30 – круглі”. Це висловлення із складним

суб’єктом та функтором “і”.

2) В: “Число 15 – непарне і кратне 3”. Це висловлення із склад_

ним предикатом та функтором “і”.

3) С: “Якщо число кратне 4, то воно парне”. Це судження скла_

дене, утворене за допомогою функтора “якщо…, то”.

В математичній логіці часто доводиться мати справу з ре_

ченнями, які вміщують змінні, і для яких не можна визначити їх

логічну вартість _ істинні вони чи хибні, бо при підстановці

замість змінних певних значень вони перетворюються то в

істинні, то в хибні висловлення. Такі речення називаються ви)

словлювальними формами або предикатами. Для вислов_

лювальних форм обов’язково ще вказується, з якої множини

вибираються значення змінної. Множину значень змінної, на

якій розглядається предикат, називають областю визна)

чення предиката. Залежно від кількості змінних, що містяться

в реченні, предикат називають відповідно одномісним, двоміс_

ним, тримісним і т.д. Висловлювальні форми (предикати) та_

29

кож позначають великими буквами латинського алфавіту, а

змінні, що входять до них, малими буквами цього ж алфавіту.

Наприклад:

1) А(х): “натуральне число х < 5”, _ це одномісний предикат,

областю визначення якого є множина натуральних чисел. Оче_

видно, що при значенні змінної х, що дорівнює 1, 2, 3, 4, цей

предикат перетворюється в істинне висловлення, а при всіх

інших значеннях х з множини натуральних чисел _ в хибне. Мно_

жина Т = {1, 2, 3, 4} _ є областю істинності предиката А(х). Дамо

означення області істинності предиката.

Областю істинності предиката називається множи)

на тих значень змінної з області визначення, при яких

даний предикат перетворюється в істинне вислов)

лення.

2) B(x,y): “Числа х,у _ прості”. _ Це двомісний предикат, облас_

тю визначення якого є множина всіх можливих пар натуральних

чисел, бо поняття простого числа зв’язане з натуральними числа_

ми. Областю істинності його є множина пар (х,у) простих чисел.

Область істинності перебуває у відношенні включен)

ня з областю визначення предиката.

Наприклад, для предиката А(х): “натуральне число х _ парне”,

областю визначення (Х) є множина (N) натуральних чисел, а

областю істинності (Т) є множина парних чисел (Р), відношення

між якими можна зобразити діаграмою Ейлера_Венна так:

Узагальнимо означення висловлювальної форми або преди_

ката. (Надалі для короткості будемо вживати термін предикат).

Предикатом, заданим на області визначення Х, на)

зивається речення із змінними, яке при підстановці

значень змінних із області визначення перетворюєть)

ся у висловлення ) істинне або хибне.

Прикладами предикатів, які широко використовуються в

математиці, є рівняння і нерівності. Множини істинності рівнянь

і нерівностей називаються множинами їх розв’язків, а кожний

N X

P

T

а о т ж е ,

P ⊂ N T ⊂ X

30

елемент, або пара елементів у випадку двох змінних, називаєть_

ся розв’язком рівняння чи нерівності.

Дії над висловленнями

В математичній логіці над висловленнями можна виконува_

ти певні логічні операції, внаслідок чого з простих висловлень

утворювати складені висловлення. Розглянемо одну унарну і

чотири бінарні операції. Унарною називається операція, яка

виконується над одним об’єктом. Прикладом унарної операції в

математичній логіці є операція заперечення висловлення, яку

позначають A . (В теорії множин операція доповнення множи_

ни до універсальної (

A

) є також унарною). Бінарні операції

над висловленнями називаються диз’юнкція, кон’юнкція,

імплікація і еквіваленція висловлень. Бінарні операції виконують_

ся над двома об’єктами. (Прикладами бінарних операцій в теорії

множин є об’єднання, переріз, різниця і декартів добуток двох

множин). Розглянемо кожну з операцій.

а) Заперечення висловлення

Означення. Запереченням висловлення А називаєть)

ся таке нове висловлення

, яке істинне тоді і лише

тоді, коли А ) хибне, а хибне тоді, коли А ) істинне.

Читають висловлення

) “не А”, або “невірно, що

А”.

Це означає, що складене висловлення

утворюється з да_

ного простого висловлення А з допомогою частки “не”, або ж

слів “невірно, що...”

Наприклад: А: “натуральне число 6 _ парне”.

Запереченням цього висловлення є нове висловлення:

: “натуральне число 6 _ непарне”.

А _ істинне висловлення,

_ хибне висловлення. Згідно озна_

чення операції заперечення можна склас_

ти табличку значень логічної вартості (ча_

сто говорять і табличку істинності) цієї

операції:

Легко переконатись на прикладах та

з допомогою таблички істинності, що в результаті операції за_

A A

1 0

0 1

31

перечення висловлення A знову дістаємо висловлення А, тоб_

то

(A ) = A

.

Цю властивість читають так: подвійне заперечення вис)

ловлення А дорівнює цьому ж висловленню А, і записують

без дужок: A= A. Її називають законом подвійного запере)

чення висловлення.

Подвійне заперечення висловлення А в розглянутому вище

прикладі буде висловленням:

A: “невірно, що натуральне число 6 _ непарне”, що означає те

саме, що й висловлення А: “натуральне число 6 _ парне”.

б) Диз’юнкція двох висловлень

Означення. Диз’юнкцією двох висловлень А та В на)

зивається таке нове складене висловлення А V В (чи)

тають: “А або В”), яке істинне тоді і лише тоді, коли

хоча б одне з висловлень А чи В істинне.

Відповідно до означення дії диз’юнкції можна скласти таб_

личку значень логічної вартості цієї дії.

Операцію диз’юнкцію назива_

ють також логічним додаванням, а

складене висловлення, отримане в

результаті диз’юнкції, називають

логічною сумою. Мабуть тому таб_

личка значень логічної вартості ди_

з’юнкції нагадує таблицю додаван_

ня чисел 1 і 0 за винятком випадку, коли обидва висловлення

істинні (бо 1+1≠1).

Можна стверджувати, що диз’юнкція хибна лише тоді,

коли обидва висловлення хибні.

Приклад. Нехай дано два висловлення:

А: “7 > 3”, В: “7 кратне 3”. Очевидно, що А=1, В=0.

Утворимо диз’юнкцію цих висловлень:

АVВ: “7 > 3 або 7 кратне 3”. Це нове складене висловлення є

істинним, бо перше висловлення істинне. Отже, АVВ = 1.

А В А V В

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

32

А В С (В VС) АV (В V С)

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 1 1

0 0 0 0 0

А В С (АV В) (АV В) V С

1 1 1 1 1

1 1 0 1 1

1 0 1 1 1

1 0 0 1 1

0 1 1 1 1

0 1 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 0 0 0

Легко переконатись, що логічна вартість нового вислов_

лення, одержаного в результаті операції диз’юнкції, не зале_

жить від порядку, в якому прості висловлення вступають в опе_

рацію, тобто В V А = АV В. Цю властивість називають комута)

тивністю диз’юнкції.

Операцію диз’юнкції можна виконувати не лише над двома

висловленнями, але і над більшою їх кількістю, наприклад трьо_

ма. В такому разі бінарну операцію слід виконати двічі: спочат_

ку над двома висловленнями, а потім над отриманим результа_

том і третім висловленням.

Диз’юнкція володіє властивістю асоціативності:

(АVВ)VС = АV(ВVС)

В цьому легко переконатись з допомогою таблиці значень

логічної вартості. Відзначимо, що всі властивості дій в ал_

гебрі висловлень доводяться з допомогою таблиць значень

логічної вартості подібно до того, як властивості дій над мно_

жинами доводяться з допомогою кругів Ейлера.

Доведення полягає в тому, що окремо складаються таб_

лиці значень логічної вартості для правої та лівої частин

властивості (закону) і одержані результати співставляють_

ся. Якщо результати обох таблиць співпадають при одна_

кових значеннях вартостей даних висловлень, то влас_

тивість справедлива.

Покажемо це для доведення асоціативності диз’юнкції.

(АV В) V С = АV (В V С)

Очевидно, що результати в правих крайніх колонках обох

таблиць однакові, а це означає, що властивість асоціативності

диз’юнкції доведена.

33

в) Кон’юнкція двох висловлень

Означення: Кон’юнкцією двох висловлень А та В на_

зивається таке нове складене висловлення А ∧В (чита_

ють: “А і В”), яке істинне тоді і тільки тоді, коли обидва

висловлення одночасно істинні.

Відповідно до означення дії кон’юнкції можна скласти таб_

личку значень логічної вартості цієї дії.

Дію кон’юнкції називають ще логічним

множенням, а результат цієї дії _ нове скла_

дене висловлення, яке називається також

кон’юнкцією, _ логічним добутком. Таб_

личка значень логічної вартості кон’юнкції

нагадує таблицю множення чисел 1 і 0.

Можна стверджувати також, що кон’юнкція хибна лише тоді, коли

хоч би одне з даних висловлень хибне.

Приклад: Нехай дано два висловлення:

А: “число 5 _ непарне”; В: “число 5 _ просте”.

Утворимо кон’юнкцію даних висловлень, тобто нове складе_

не висловлення з допомогою сполучника “і”. Оскільки в обох

простих висловленнях однаковий підмет, то в складеному вис_

ловленні його вживають один раз, а тому: А ∧В: “число 5 непар_

не і просте”. Кон’юнкція є істинним висловленням, оскільки

обидва висловлення істинні.

Легко переконатись, що в результаті кон’юнкції висловлень,

взятих в зворотному порядку (В ∧А), одержимо висловлення

тієї ж самої логічної вартості, що й кон’юнкція А ∧В.

В розглянутому прикладі кон’юнкція В ∧А: “число 5 просте і

непарне” також є істинним висловленням. Отже, кон’юнкція, як і

диз’юнкція, підлягає комутативному законові:

А ∧В = В ∧А.

Кон’юнкцію можна виконувати не тільки над двома, але й трьо_

ма і більше висловленнями. В такому разі знаходять спочатку

кон’юнкцію двох висловлень, потім _ отриманого результату і

третього висловлення і т.д.

Кон’юнкція трьох висловлень підлягає асоціативному зако_

нові:

(А ∧В) ∧С= А ∧(В ∧С).

А В А ∧ В

1 1 1

0 1 0

0 0 0

1 0 0

34

А В А ⇒ В

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

г) Імплікація двох висловлень

Означення. Імплікацією двох висловлень А та В на)

зивають таке нове складене висловлення

А ⇒В (читають: “якщо А, то В”), яке хибне тоді і тільки

тоді, коли А ) істинне, а В ) хибне. Висловлення А в

імплікації А⇒В називається умовою (антецедентом),

а висловлення В ) висновком (консеквентом).

Відповідно до означення імплікації можна скласти табличку

значень логічної вартості імплікації двох висловлень:

Приклад. Нехай дано 2 вислов_

лення:

А: “Число 245 ділиться на 5” і В:

“Число 245 закінчується цифрою

5”. А=1; В=1. З допомогою сполуч_

ників “якщо ..., то ...” утворимо

складене висловлення, яке нази_

вається імплікацією:

А ⇒В: “Якщо число 245 ділиться на 5, то воно закінчується

цифрою 5”.

Зауважимо, що якщо у простих висловленнях йдеться про

один і той самий об’єкт (однакові підмети в граматичному

сенсі), то його вживають в умові імплікації, а у висновку заміню_

ють його займенником.

З допомогою таблиці значень логічної вартості легко довес_

ти властивість, яка зв’язує операцію імплікацію з операц)

іями диз’юнкції та заперечення.

А ⇒В = A V В

Цю властивість часто доводиться використовувати при ви_

конанні тотожних перетворень виразів, що вміщують дії над вис_

ловленнями. Доведемо її.

А ⇒ В

А В А ⇒ B

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

A V В

А В A A V В

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 1

35

Оскільки значення логічної вартості складених висловлень у

правих колонках обох таблиць при однакових значеннях логіч_

ної вартості простих висловлень А та В однакові, то це означає,

що властивість справедлива.

Легко переконатись з допомогою таблиць значень логічної

вартості, що імплікація не підлягає комутативному законові А ⇒

В ≠В ⇒А.. Це означає, що якщо поміняти місцями умову і вис_

новок, то одержуємо зовсім іншу імплікацію, яку називають

імплікацією, оберненою до даної.

Нехай (1) А ⇒В ) дана імплікація, тоді

(2) В ⇒А ) імплікація, обернена даній.

Якщо в даній імплікації (А ⇒В) виконати заперечення умови

і висновку, то одержимо імплікацію, протилежну до даної.

(3) A⇒B ) імплікація, протилежна даній.

Якщо в останній імплікації поміняти місцями умову і висно_

вок, то одержимо імплікацію, обернену до протилежної.

(4) B⇒A _ імплікація, обернена до протилежної.

Останнього виду імплікацію можна одержати з імплікації,

оберненої до даної (2), виконавши в ній заперечення умови і

висновку. Тоді імплікацію B ⇒A називають протилежною до

оберненої. З допомогою таблиці значень логічної вартості вста_

новимо зв’язки між вартостями різних видів імплікацій, одер_

жаних з одних і тих самих висловлень.

Очевидно, що логічна вартість висловлень в колонках під но_

мерами 5 і 8 однакова; так само логічна вартість висловлень в

колонках під номерами 6 і 7 також однакова. Це означає, що

дана імплікація і імплікація, обернена до протилежної, при од_

накових значеннях простих висловлень приймають однакові

значення логічної вартості. Аналогічно імплікація, обернена

даній, і імплікація, протилежна до даної, при однакових значен_

А В A B А ⇒ В В ⇒ А A ⇒ B B ⇒ A

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 1 0 0 1

0 0 1 1 1 1 1 1

36

нях простих висловлень приймають однакові значення логічної

вартості. Такі пари імплікацій називають рівносильними або ек_

вівалентними, тобто можемо записати такі властивості:

1) А⇒В = B⇒A

2) В⇒А = A⇒B.

Структура їх однакова, тому достатньо розглядати першу з

них. Цю властивість називають ще законом транспозиції. На ній

грунтується метод доведення тверджень _ від супротивного.

д) Еквіваленція двох висловлень.

Означення . Еквіваленцією двох висловлень А та В

називається таке нове складене висловлення А ~ В

(читають: “А тоді і тільки тоді, коли В”, або “А рівно)

сильне В”), яке істинне тоді і тільки тоді, коли зна)

чення вартостей висловлень однакові.

Замість знака ~ використовують часто знак ⇔.

Іншими словами, еквіваленція істинна у випадках, коли обид_

ва прості висловлення одночасно істинні, або коли вони одно_

часно хибні. У випадку, коли одне з простих висловлень істин_

не, а друге _ хибне, еквіваленція хибна.

Згідно означення, таблиця значень логічної вартості еквіва_

ленції прийме вигляд:

Еквіваленція зв’язана з операці_

ями імплікації і кон’юнкції такою

властивістю:

А ⇔В = (А⇒В) ∧(В⇒А)

Словесно формулюють її так: ек)

віваленція двох висловлень до)

рівнює кон’юнкції взаємно обер)

нених імплікацій, утворених з цих висловлень.

Доведення цієї властивості проведемо з допомогою таблиці

значень логічної вартості.

А В А ∼ В

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

А В А ∼ В А⇒В В⇒А (А⇒В) ∧ (В⇒А)

1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1

37

Співставивши значення логічної вартості висловлень в ко_

лонках під номерами 3 і 6, встановлюємо, що вони рівні. А отже,

властивість доведена.

Розглянемо приклад еквіваленції.

Нехай дано два висловлення:

А: “число 15 ділиться на 5”,

В: “число 15 закінчується цифрою 0”. А=1, В=0.

Утворимо з допомогою слів “тоді і тільки тоді”, або “рівно_

сильне” складені висловлення з даних висловлень:

А ⇔В:“Число 15 ділиться на 5 тоді і тільки тоді, коли воно

закінчується цифрою 0”, або ж

А ⇔В:“Число 15 ділиться на 5 рівносильне тому, що воно

закінчується цифрою 0”.

Обидва складені висловлення є еквіваленцією простих вис_

ловлень, з яких перше істинне, а друге хибне, а згідно означен_

ня еквіваленції остання є хибною. (1⇔0=0).

Закони алгебри висловлень

Вище подано окремі властивості операцій над висловлен_

нями і їх доведення з допомогою таблиць значень логічної вар_

тості. Узагальнимо відомі властивості (закони) і розглянемо нові

закони, які зв’язують певні логічні операції.

1. Закон подвійного заперAеч=енAня висловлення:

.

2. Закон протиріччя: А ∧A = 0.

Цей закон зв’язує висловлення з його запереченням опера_

цією кон’юнкції. В класичній формальній логіці його формулю_

ють так: судження, утворене з двох протилежних суджень, з до_

помогою сполучника “і”, завжди хибне. Інше формулювання за_

кону протиріччя: два протилежні судження не можуть бути од_

ночасно істинними.

3. Закон виключеного третього: А ∨A = 1

Цей закон зв’язує висловлення з його запереченням опера_

цією диз’юнкції і у формальній логіці читається так:

з двох протилежних тверджень завжди одне є істинним.

Тому й говорять, що третього бути не може, бо або суджен_

ня істинне, а його заперечення хибне, або, навпаки, судження

хибне, а його заперечення істинне.

38