7. Закони де Моргана.

Шотландський математик Августус де Морган (1806_1871)

вперше сформулював закони, які стосуються операції запере_

чення диз’юнкції та кон’юнкції двох висловлень.

Є два закони де Моргана:

1) Заперечення диз’юнкціїї двох висловлень дорівнює кон’_

юнкції заперечень цих висловлень.

A∨B= A ∧B

41

2)Заперечення кон’юнкції двох висловлень дорівнює диз’_

юнкції заперечень цих висловлень.

A∧B= A ∨B

Доведемо один з цих законів (наприклад, другий) з допо_

могою таблиці значень логічної вартості, використовуючи опе_

рацію еквіваленції висловлень, одержаних в результаті виконання

вказаних операцій в кожній з частин рівності.

Колонка під номером 8 в таблиці свідчить про те, що при

всіх значеннях логічної вартості простих висловлень, які вхо_

дять у формулу, складені висловлення, що стоять в лівій та правій

частинах рівності, рівносильні, бо еквіваленція завжди істинна.

А отже, формула є тотожно істинною, тобто тавтологією.

Перший закон де Моргана пропонується довести самостійно.

Зразки розв’язування вправ з теми “Висловлення і дії

над ними. Закони алгебри висловлень”.

Завдання 1. Обгрунтуйте, які з речень є висловленнями, і

визначте значення їх вартості:

а) Рівне _ велике місто України;

б) В Рівному є музично_драматичний театр;

в) Алло, це гуртожиток?

г) Квітни, моя земле!

д) Число 257 кратне 3;

е) Число 5 є коренем рівняння 3х _ 15 = 0.

є) 2х + 5 = 0.

ж) х + у = z.

Розв’язування. Для обгрунтування скористаємось теоретич_

ними відомостями, які розкривають поняття висловлення. Ре_

чення а) має відносний, суб’єктивний характер, оскільки місто

Рівне _ велике порівняно з меншими від нього містами, наприк_

лад, Острог, Дубно, але мале в порівнянні з іншими містами,

A B A∧B A∧B A B A∨B A∧B⇔A∨B

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 0 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1

42

більшими від нього, наприклад, Львів, Київ. А тому речення а)

не є висловленням. У реченні б) стверджується існування му_

зично_драматичного театру в Рівному. А це справді так. Отже,

речення б) є істинним висловленням.

Речення в) _ питальне, а речення г) _ окличне, і тому вони не є

висловленнями.

Речення д) є висловленням, бо в ньому стверджується

подільність числа 257 на 3. Щоб з’ясувати його логічну вартість,

треба виконати дію ділення 257 : 3. Оскільки число 257 ділиться

на 3 з остачею, то це висловлення хибне.

В реченні е) стверджується, що число 5 є коренем

рівняння 3х _ 15 = 0. А отже, це речення є висловленням.

Для того, щоб встановити значення його логічної вартості,

треба з’ясувати, чи справді число 5 є коренем даного

рівняння. А тому потрібно розв’язати рівняння 3х _ 15 = 0

(3х = 15; х = 5). Отже, число 5 є справді коренем даного

рівняння. Таким чином речення е) є істинним висловлен_

ням.

Речення є) не є висловленням, бо вміщує змінну х і може при

певних значеннях її перетворюватись в істинне висловлення, а

при деяких в хибне. Отже, це речення є висловлювальною фор_

мою з однією змінною або одномісним предикатом.

Речення ж) вміщує три змінні, а тому воно є висловлюваль_

ною формою з трьома змінними, або тримісним предикатом.

Завдання 2. Визначте значення логічної вартості поданих

висловлень, з’ясуйте їх логічну структуру:

а) 2 2 > 3 ;

б) sin < cos ;

в) Число 15 непарне і ділиться на 5;

г) Число 345 ділиться на 3 і на 5;

д) sin sin sin sin ...

π π π π

4 4 4 4

+ 2 + 3 + 4 + =2+ 2.

Розв’язування. Значення логічної вартості простого (еле_

ментарного ) висловлення визначається, виходячи із змісту,

спираючись на досвід і знання.

Щоб визначити вартість складеного висловлення, потрібно,

крім цього, знати суть логічних сполучників, з допомогою яких

утворено складене висловлення, і вміти виділяти логічну струк_

43

туру висловлення. А для цього потрібно встановити, з яких про_

стих висловлень воно утворене, яка їх логічна вартість, з допо_

могою яких сполучників з’єднуються прості висловлення, тоб_

то яку логічну операцію виконано над простими висловлення_

ми і який випадок в таблиці значень логічної вартості цієї опе_

рації відповідає цьому складеному висловленню.

а) Це просте висловлення, оскільки виражає відношення

“бути більшим” між двома числовими виразами. Щоб визна_

чити істинне воно чи хибне, потрібно обчислити значення цих

виразів. Обчислення виконаємо наближено: 2 2≈2⋅1,4=2,8;

3≈1,7; 2,8>1,7. отже, 2 2> 3 _ висловлення істинне.

Висновок цей можна записати символічно так:

A: "2 2 > 3".A=1.

б) В: “sin < cos ” _ це просте висловлення, яке виражає

відношення “бути меншим” між значеннями тригонометричних

функцій синуса і косинуса кута . Щоб встановити логічну

вартість висловлення, треба співставити числові значення цих

функцій для кута .

sinπ=0, cosπ=−1; 0 < _1 _ це хибне висловлення.

А тому висловлення В: “sin < cos ” _ хибне, тобто В=0.

в) Висловлення С: “Число 15 непарне і ділиться на 5” є скла_

деним, бо вміщує логічний сполучник “і”, який з’єднує два прості

висловлення:

Д: “Число 15 непарне” і F: “Число 15 ділиться на 5”.

Висловлення Д істинне (Д=1) і висловлення F також істинне

(F= 1). Висловлення С є кон’юнкцією висловлень Д і F, тобто С =

Д ∧F.

Згідно означення кон’юнкції висловлення С _ істинне (С = 1),

бо Д і F _ істинні висловлення: 1 ∧1 = 1.

г) Висловлення А: “Число 345 ділиться на 3 і на 5” є складеним,

бо вміщує сполучник і, який з’єднує два прості висловлення:

В: “Число 345 ділиться на 3”, С: “Число 345 ділиться на

5”. В = 1, С = 1. А = В∧С. 1 ∧1 = 1; А=1.

Звертаємо увагу, що при розв’язуванні цієї вправи ми звели

до мінімуму словесні пояснення, а обгрунтування записали в

символічній формі.

44

д) Подана рівність є простим висловленням, яке словесно

можна прочитати так: “Нескінченна сума всіх натуральних сте_

пенів значення синуса кута

π

4

дорівнює 2 + 2 .” Для того, щоб

визначити його логічну вартість, потрібно обчислити цю суму і

співставити її із сумою 2 + 2 . Проведемо обчислення, попе_

редньо позначивши дане висловлення буквою А.

A: "sin sin sin sin ... ."

π π π π

4 4 4 4

+ 2 + 3 + 4 + =2+ 2

Знаючи, що s in

π

4

1

2

= , перепишемо суму в лівій частині

так:

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2 3 4 2 3

+



 



 

+



 



 

+



 



 

+ = + ⋅ + ⋅



 



 

+ ⋅



 



 

... + ...

Введена форма запису суми дозволяє стверджувати, що

шукана сума є сумою членів геометричної прогресії, перший

член якої дорівнює 1

2 , а знаменник прогресії також дорівнює

1

2

. Отже, a q 1

1

2

1

2

= , = . Оскільки q < 1 і сума складається з не_

скінченного числа членів прогресії, то її можна знайти за фор_

мулою суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії:

S

a

q

=

−

1

1

. А тому шукана сума дорівнює:

S =

−

=

−

=

⋅

−

=

−

=

+

− +

=

+

−

= +

1

2

1 1

2

1

2

2 1

2

1 2

2 2 1

1

2 1

2 1

2 1 2 1

2 1

2 1

: 2 1

( ) ( ) ( )( )

.

Оскільки 2 + 1 ≠2 + 2 , то дане висловлення хибне.

Завдання 3. Виконайте заперечення поданих висловлень і

визначте їх логічну вартість:

а) А: “2+sin=2”, б) B: “5tg_<2”

Розв’язування:

а) Спочатку визначимо значення логічної вартості

висловлення А. Для цього перевіримо, чи сума 2 + sinπ

дорівнює 2.

45

sinπ =0, 2+sinπ =2+0=2. 2=2,

Отже, висловлення А істинне. А = 1.

Заперечення висловлення можна утворити з допомогою

частки “не” або слів “невірно, що...”, а тому:

A: "2+sinπ ≠2",A=0 ; або

A: "Невірно, що 2+sinπ =2".A=0.

В першому випадку заперечення висловлення А слід читати:

“Сума

(2+sinπ)

не дорівнює 2”, а в другому _ “невірно, що сума

2+sin =2”.

б)Визначимо значення логічної вартості висловлення В, для

чого перевіримо правильність нерівності:

5tgπ −π <2π .

tgπ=0,5tgπ−π=5⋅0−π=−π.−π<2

Отже, В = 1.

Заперечення утворимо двома способами:

B

: “Різниця (5tgπ − π) не менша 2”. Як відомо, відно_

шення “не менша” можна замінити відношенням “більша або

рівна” і символічно записати так:

B: 5tgπ −π ≥2π ". B= 0, або ж

B: " Невірно,що 5tgπ −π <2π ". B = 0.

Завдання 4. Виконайте різними способами заперечення

складеного висловлення, обгрунтуйте його структуру і визнач_

те значення логічної вартості.

А: “число 141 _ просте або ділиться на 9”.

Розв’язування: Висловлення А є диз’юнкцією простих вис_

ловлень, які з’єднані сполучником “або”.

В: “число 141 _ просте”, С: “число 141 ділиться на 9”.

В=0, С=0. А=В∨С, А=0.

Утворимо заперечення за допомогою слів “невірно, що...”

A

:

“невірно, що число 141 _ просте або ділиться на 9”.

A =(B∨C). За законом де Моргана заперечення

диз’юнкції дорівнює кон’юнкції заперечень, тобто

B∨C

=

B∧C

,

46

B : “число 141 _ не просте”,

C : “число 141 не ділиться на 9”.

B ∧C : “число 141 _ не просте і не ділиться на 9”.

B =1; C =1, B ∧C =1∧1=1. отже, A =B∨C =B ∧ C ,

A =1.

Остаточно, заперечення даного висловлення A має вигляд:

A : “невірно, що число 141 _ просте або ділиться на 9”

або A : “число 141 _ не просте і не ділиться на 9”.

Згідно закону де Моргана останні два висловлення рівно_

сильні між собою: B∨C ⇔

B∧C

.

Завдання 5.Над поданими висловленнями А та В виконай_

те операції заперечення, диз’юнкції, кон’юнкції, імплікації і екві_

валенції, визначте їх логічну вартість. Утворіть всі види імплікації

і визначте їх логічну вартість, якщо

А: “число 216 кратне 4”, В: “число 216 парне”.

Розв’язання: Визначимо вартість даних висловлень.

А=1; В=1. Виконаємо заперечення кожного з висловлень:

A : “число 216 не кратне 4”. A=0.

B : “число 216 не парне”. B =0.

Диз’юнкція: А∨В: “число 216 кратне 4 або парне”. 1∨1=1.

Отже, А∨В=1.

Кон’юнкція: А∧В: “число 216 кратне 4 і парне”. 1∧1=1.

Отже, А∧В=1.

Імплікація: А⇒В: “Якщо число 216 кратне 4, то воно

парне”. 1⇒_____1=1. Отже, А⇒В=1.

Еквіваленція: А~В: “число 216 кратне 4 тоді і тільки тоді,

коли воно парне”. 1~1=1. Отже, А~В=1.

Утворимо всі види імплікації з даних висловлень.

1) А⇒В: “Якщо число 216 кратне 4, то воно парне”.

1⇒1=1, А⇒В=1.

2) З даної імплікації, помінявши місцями умову і висновок,

утворимо імплікацію, обернену до неї:

В ⇒А: “Якщо число 216 парне, то воно кратне 4”.

1 ⇒1=1,В⇒А=1.

3) Виконаємо заперечення умови і висновку даної імплікації (1),

внаслідок чого одержимо імплікацію, протилежну до даної:

47

A⇒B: “Якщо число 216 не кратне 4, то воно непарне”.

0⇒0=1. отже, A⇒B =1.

4) Поміняємо місцями умову і висновок імплікації, протилежної

до даної, і дістанемо імплікацію, обернену до протилежної:

B ⇒A : “Якщо число 216 непарне, то воно не кратне 4”. 0⇒0=1.

отже, B⇒A =1.

Завдання для самостійної роботи.

Завдання 1. Обгрунтуйте, які з речень є висловленнями і

визначте значення їх логічної вартості:

1) Число 7 _ натуральне; 2) 5 + 3 = 9;

3) Математика _ цікава наука; 4) 20 : 4 _ 2;

5) 2 > 2; 6) < 2 ;

7) lg2 > 1; 8) cos 2π〉 cosπ ;

9) tg> ; 10) lg 10< ;

11) lg 100 = 2 s in

π

2

; 12) 0,5 = 50%;

13) 0,5 • 100 = lg 10; 14) 3

4

1

2

1

2

3

4

• • = ;

15) 0 • = 5 _ 5 • 7; 16) > 3,14;

17)

0 75 3

4

0 25

0 75 1

4

0 25

1

, ,

, ,

− ⋅

+ ⋅

= 18)

3

4

0 25 3

4

0 25

2

3

1

6

1

2

1

2

0 75

1

− 

 

 

⋅ + 

 

 

− 

 

 

⋅ ⋅ + 

 

 

=

, ,

,

;

19)

2 3

2 3

2 3

2 3

1

2

2

2

+

−

+

−

+

+ = ; 20)

2 3

3 2

3 2

2 3

10

+

−

+

−

+

= ;

21) Число 3 є коренем рівняння х2 _ 9 = 0;

22) Число 351 кратне 9;

23) При діленні числа 23 на число 4 дістаємо остачу, яка

дорівнює 3;

24) Число 381 є квадратом числа 19;

25) Всі раціональні числа додатні.

48

Завдання 2. Визначте логічну структуру висловлень і їх логічну

вартість.

1) Число 15 двоцифрове і непарне;

2) Число 257 не ділиться на 5 без остачі;

3) Якщо число 315 ділиться на 9, то воно ділиться на 3;

4) Якщо число 314 не ділиться на 4, то воно не ділиться на 2;

5) Число 124 ділиться на 3 або на 4;

6) Якщо число 356 ділиться на 4, то воно ділиться на 2;

7) Якщо число 75 непарне, то воно не ділиться на 4;

8) Число 128 ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли воно парне;

9) Число 513 ділиться на 9 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться

на 3;

10) Якщо сума цифр числа 759 ділиться на 9, то воно ділиться

на 9;

11) sin sin sin sin ...

π π π π

6 6 6 6

1 2 3 4 + + + + =;

12) lg 10+lg2 10+lg3 10+lg4 10+...=2 ;

13)

1

2

1

4

1

8

1

16

+ + + +...= 1 ;

14) 1+2+3+4+...+ n

n n

=

2 +

2

;

15) Відстань між точками А(_7;7) і В(_3;4) дорівнює 5;

16) Відстань між точками А(_3;5) і В(1;2) дорівнює 5;

17) Відстань між точками А(5;1) і В(2;_3) дорівнює 5;

18) 7 + 12 ≤ 19;

19) з15 _ 18 з

≤

5;

20) з_17 + 6 з

11;

21) Відношення паралельності між прямими на площині є

відношенням еквівалентності;

22) Відношення перпендикулярності між прямими на площині

є відношенням еквівалентності;

23) Відношення подібності фігур є відношенням еквівалентності;

24) Відношення рівності числових виразів є відношенням

еквівалентності;

25) Якщо число (_15) раціональне, то воно дійсне.

49

Завдання 3. Виконайте заперечення поданих висловлень і

визначте їх логічну вартість:

1)

5+3cosπ =2

; 2)

5−4cosπ 1

3)

3+lg 10≠lg 1000

; 4) 3 lg 100 〈 2 3 ;

5) 2lg10〉 sin π; 6)

sinπ ≥ tgπ

;

7) sin π ≤ cosπ; 8)

3sinπ +π 〈π

;

9)

6tgπ +π ≠2π

; 10)

tgπ +sin π ≠0

;

11) sin sin

π π

3 4

> ; 12) s in sin

π π

3 6

> ;

13) sin sin

π π

4 6

> ; 14) cos cos

π π

3 4

> ;

15) cos cos

π π

3 6

> ; 16) cos cos

π π

4 6

< ;

17) sin cos

π π

3 3

< ; 18) sin cos

π π

6 6

< ;

19) sin cos

π π

4 6

< ; 20) sin cos

π

4 4

< .

Завдання 4.Виконайте різними способами заперечення

складених висловлень, визначте їх логічну вартість. Обгрунтуй_

те структуру даного висловлення і його заперечення.

1)Число 43 просте або ділиться на 3;

2)Число 45 ділиться на 3 і на 5;

3)Число 75 двоцифрове і кратне 5;

4)Число 514 ділиться на 2 або на 4;

5)Число 514 ділиться на 2 і на 4;

6)Число 27 додатне і ділиться на 9;

7)Число 27 двоцифрове або парне;

8)Число 38 парне і менше 40;

9)Число 38 кратне 3 або парне;

10)Число 23 кратне 3 або просте;

11)Число 23 непарне або просте;

12) sin cos ;

π π

4 4

≤ 13) sin π ≤ cos 2π ;

50

14) sin sin ;

π π

2 4

≥ 15) cos cos .

π π

2 4

≤

Завдання 5.Над поданими висловленнями А та В виконай_

те операції заперечення, диз’юнкції, кон’юнкції, імплікації та ек_

віваленції. Визначте логічну вартість одержаних висловлень. Ут_

воріть всі види імплікацій, визначте їх логічну вартість, якщо:

1) А: “Число 47 просте”, В: “число 47 непарне”;

2) А: “Число 49 просте”, В: “число 49 непарне”;

3) А: “Число 43 двоцифрове”, В: “число 43 кратне 3”;

4) А: “Число 126 кратне 9”, В: “Число 126 кратне 3”;

5) А: “Число 425 складене”, В: “Число 425 кратне 5”;

6) А: “Число 100 кругле”, B: “ lg100 = 2 ”

7) А: “число

1

2

_ дійсне”, В: “ sin

π

4

1

2

= ”;

8) A: “ sin

π

4

2

2

= ”, В: “ cos

π

4

2

2

= ”

9) А: “ sin cos

π π

3 6

= ”, В: “ tg tg

π π

3 6

< ”

10) А: “ sin cos

π π

6 6

= ”, В: “ tg tg

π π

6 3

< ”

Завдання 6.Побудуйте таблиці значень логічної вартості

складених висловлень, отриманих в результаті виконання вка_

заних операцій. Виберіть серед них рівносильні висловлення.

1) А⇒(B∨C) 2) A⇒(B∨C) 3) A⇒(B∧C)

4) A⇒(B∧C) 5) А⇒(B⇒C) 6) A⇒(B⇒C)

7) А⇒(B⇔C) 8) A⇒(B⇔C) 9) A⇔(B∧C)

10) A⇔(B∧C) 11) A⇔(B∨C) 12) A⇔(B∨C)

13) A⇔(B⇒C) 14) A⇔(B⇒C) 15) A⇔(B∧C)

51

16) A⇔(B∨C) 17) A⇔(B⇒C) 18) A⇔(B⇔C)

19) A⇔(B⇔C) 20) A⇔(B⇔C) 21) A∨(B⇒C)

22) A∧(B⇔C) 23) A ∧(B⇒C) 24) A ∨(B⇒C)

25) A ∧(B⇔C) 26) A ∨(B⇔C) 27)((A⇒B)∧(A⇔B))