Тема 4. Квантори. Відношення

ЛОГІЧНОГО СЛІДУВАННЯ І РІВНОСИЛЬНОСТІ

ПРЕДИКАТІВ. НЕОБХІДНІ І ДОСТАТНІ УМОВИ.

План: 1.Квантори. Операція навішування кванторів.

Висловлення з кванторами.

2.Побудова заперечення висловлень з кванторами.

3.Відношення логічного слідування предикатів. Необхідні

і достатні умови.

4.Відношення рівносильності предикатів.

Квантори. Операція навішування кванторів. Висловлен)

ня з кванторами.

Вище було показано, що із висловлювальної форми (преди_

ката) можна отримати висловлення, якщо замість змінної у пре_

дикат підставити певне значення з області визначення.

Наприклад, якщо в одномісний предикат А(х): “натуральне

число х_ парне”, який заданий на множині натуральних чисел (N),

підставити замість змінної х число 7, то одержимо висловлення:

А(7): “натуральне число 7 _ парне”. Очевидно, що це висловлення

хибне. Якщо ж замість х підставити, наприклад, 6, то дістанемо

висловлення А(6): “натуральне число 6 _ парне”, яке істинне.

Проте це не єдиний спосіб утворення висловлень із преди_

катів. Існує інший спосіб, який зводиться до того, що перед пре_

дикатом ставиться одне із слів “будь_який”, “довільний”, “ кож_

93

ний”, “усі”, або “існує”, “знайдеться”, “хоча б один”, “деякі”. Ці

слова називаються кванторами. Слово “квантор” латинського

походження і означає “скільки”, тобто показує про скільки

об’єктів говориться в певному висловленні. Наприклад, поста_

вивши кожне з цих слів перед предикатом А(х), про який гово_

рилось вище, дістанемо такі висловлення:

1) Будь_яке натуральне число х _ парне;

2) Довільне натуральне число х _ парне;

3) Кожне натуральне число х _ парне;

4) Усі натуральні числа х парні;

5) Існує натуральне число х _ парне;

6) Знайдеться натуральне число х _ парне;

7) Хоча б одне натуральне число х _ парне;

8) Деякі натуральні числа х _ парні.

Зауважимо, що у висловленнях з кванторами змінну х здеб_

ільшого не вживають.

Перші чотири висловлення хибні, а останні чотири _ істинні.

Це означає, що роль слів, які стоять перед предикатом, нео_

днакова. Тому в математиці розрізняють два види кванторів:

квантори загальності і квантори існування.

Квантори загальності виражаються за допомогою слів

“будь_який”, “довільний”, “кожний”, “усі” і позначаються симво_

лом ∀ , який зв’язаний із зображенням перевернутої літери А _

першої літери англійського слова All, що означає “будь_який”.

Квантори існування виражаються словами “існує”, “знай_

деться”, “хоча б один”, “деякі” і позначається символом

∃

, що

зображає перевернуту першу літеру англійського слова Exist, яке

означає “існувати”. Скориставшись цими позначеннями,

кожне з висловлень 1_4 можна символічно записати так:

(

∀

х ∈N) [A(x)] , а кожне з висловлень 5_8 так: (∃x ∈N) [A(x)].

Операція утворення висловлення з предиката за допо)

могою кванторів називається операцією навішування кван)

торів або операцією зв’язування кванторами.

Висловлення, що вміщують квантори, читаються різни_

ми способами. Наприклад, запис ( ∀ х ∈Х)[А(х)] можна

прочитати так:

1) Для довільного х із множини Х істинне А(х).

2) Будь_який елемент х із множини Х володіє власти_

вістю А.

94

Запис (

∃

х є Х)[A(x)] читається так:

1) Існує таке х із множини Х, що істинне А(х).

2) Деякі (хоча б один) елементи х із множини Х володі_

ють властивістю А.

Якщо із змісту зрозуміло про елементи якої множини

йде мова, то іноді опускають позначення множини і запис має

спрощений вид: (

∀

х)[A(x)] або (

x)[A(x)].

Ми розглянули операцію зв’язування кванторами стосовно

одномісного предиката. Проте все сказане стосується і багато_

місних предикатів. При цьому, щоб одержати висловлення з

багатомісного предиката, потрібно зв’язати кванторами всі

змінні, що входять до нього.

Наприклад, якщо на двомісний предикат A(x,y): “складене

число х перебуває у відношенні подільності з простим числом

у” навісимо квантори так, що змінна х буде зв’язана квантором

загальності, а змінна y _ квантором існування, то дістанемо за_

пис: (

x є N)(

y є N)[A(x,y)], який виражає висловлення: “Кож)

не складене число х перебуває у відношенні подільності з дея)

ким простим числом у”. Його можна прочитати ще так: “Для

кожного складеного натурального числа х існує просте нату_

ральне число у таке, що х перебуває у відношенні подільності з

у”. Очевидно, що це висловлення істинне.

В математиці часто розглядаються висловлювальні форми

(предикати), які перетворюються в істинні висловлення при

будь_яких значеннях змінних з області визначення, Такими є

предикати, що після навішування кванторів виражають власти_

вості арифметичних дій і мають вигляд рівностей. Рівності, які

справедливі при будь)яких значеннях змінних, називають)

ся тотожностями. Запишемо приклади тотожностей:

(

x є R) [x+0=x], ( ∀ x є R) [x•1=x],

( ∀ x є R) [0:x=0], ( ∀ x є R) [x•0=0],

( ∀ x,y є R) [x+y=y+x], ( ∀ x,y є R)(

z є R) [x+y=z].

Відзначимо, що в символічних записах тверджень в круглих

дужках записують так звану роз’яснюючу частину, яка вказує, про

об’єкти якої множини йде мова, а в квадратних дужках записують

зміст твердження, яке стосується цих об’єктів (елементів).

Як вказувалось вище, висловлення, що вміщують квантори,

можуть бути істинні або хибні при різних кванторах. Покажемо,

95

як встановити, чи висловлення з квантором істинне чи хибне.

Щоб переконатися, що висловлення (

∀

х є Х)[A(x)] є істинним,

треба показати, що область істинності предиката А(х) співпа_

дає з областю визначення Х, тобто ТА(х)=Х. Це означає, що при

всіх значеннях змінної х з предиката А(х) можна утворити істинні

висловлення. Якщо існує хоча б одне значення х є Х, при якому

предикат А(х) перетворюється в хибне висловлення, тобто

ТА(х)≠Х, то висловлення ( ∀ х єХ) [A(x)] є хибним.

Наприклад, висловлення “Всі натуральні числа _ парні”, утво_

рене з предиката А(х): “натуральне число х _ парне” навішуван_

ням квантора загальності, є хибним. ( ∀ х єХ) [А(х)]_хибне, бо

існують такі натуральні числа 3,5,7 і ін., які не є парними.

Легко переконатися, що змінивши квантор загальності у

хибному висловленні на квантор існування. Одержимо нове

висловлення, яке буде істинним. Справді, якщо в наведеному

вище хибному висловленні “Всі натуральні числа_ парні” зам_

інити квантор загальності ∀ (“усі”) на квантор існування

∃

(“деякі”), то одержимо істинне висловлення: “Деякі натуральні

числа _ парні”.

( ∃ х є N) [ A(x) ] _ істинне.

Покажемо, як встановити істинне, чи хибне висловлення, що

вміщує квантор існування.

Висловлення ( ∃ х є Х) [ A(x) ] буде істинним тоді, коли на

області визначення Х знайдеться хоча б одне значення змінної

х, при якому предикат А(х) перетворюється в істинне вислов_

лення, тобто що область істинності предиката А(х) є непорож_

ньою множиною. ТА(х)≠∅.

Висловлення, що вміщує квантор існування, ( ∃ х є Х) [ A(x) ]

буде хибним, якщо область істинності предиката А(х) є порож_

ньою: ТА(х)= ∅.

Наприклад, висловлення “Деякі одноцифрові числа складені”

є істинним, бо справді серед одноцифрових чисел є числа

4,6,8,9, які складені, тобто область істинності предиката А(х):

“одноцифрове число х _ складене” є непорожньою множиною.

Символічно це запишеться так:

( ∃ х є Х) [ A(x) ], де Х={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

а ТА(х)={4,6,8,9}, TA(x)≠∅.

96

Якщо в істинному висловленні, що вміщує квантор існування,

замінити останній на квантор загальності. то одержимо хибне

висловлення. Наприклад, замінимо у висловленні (

∃

х є Х) [ A(x)

]: “Деякі одноцифрові числа _ складені” квантор

(“деякі”) на

квантор

∀

(“усі”) і одержимо висловлення ( ∀ х є Х) [ A(x) ]: “Всі

одноцифрові числа _ складені”, яке є хибним, оскільки існують

числа 2,3,5,7, які не є складеними. Це означає, що область

істинності предиката А(х) не співпадає з усією областю

визначення його_ множиною одноцифрових чисел.

Побудова заперечення висловлень з кванторами.

Часто доводиться мати справу з операцією заперечення

висловлень, що вміщують квантори. Покажемо, як виконувати

цю операцію на прикладі. Нехай маємо хибне висловлення: “Всі

одноцифрові числа_ складені”. Виконаємо заперечення його з

допомогою частки “не”, або словосполучення. “невірно, що”.

Згідно означення дії заперечення дістанемо істинне висловлення

(∀x∈×)[A(x)]

: “Не (невірно, що) всі одноцифрові числа _

складені”. Воно означає, що серед одноцифрових чисел є

складені, але є й інші числа_ не складені (нуль, один, прості),

тобто його можна сформулювати так: “існують одноцифрові

числа _ не складені”. Останнє висловлення є також істинним і

можна його записати так: ( ∃ х є Х) [

A(x)

]. Оскільки ці обидва

висловлення є істинними, тобто мають однакове значення

логічної вартості, то їх вважають рівносильними (в математиці

часто вживають термін “рівні”, оскільки у висловленнях йдеться

про об’єкти однієї й тієї ж множини і значення логічної вартості

їх однакові). Це записують так:

(∀x∈X)[A(x) ]⇔( ∃ х є Х) [

]. Замість знака “⇔“

пишуть часто “=“.

На основі цього прикладу сформулюємо правило:

Щоб виконати заперечення висловлення, яке вміщує

квантор загальності, потрібно замінити квантор за)

гальності на квантор існування і виконати заперечен)

ня предиката, що стоїть після квантора.

Аналогічними міркуваннями за допомогою конкретного

прикладу можна сформулювати інше правило:

97

Щоб виконати заперечення висловлення, яке вміщує

квантор існування, потрібно замінити квантор існу)

вання на квантор загальності і виконати заперечен)

ня предиката, що стоїть після квантора.

(∃x∈X)[A(x)]⇔_____( ∀ х є Х)[

A(x)

].

Наприклад, нехай на множині простих чисел Х задано

предикат А(х): “просте число х ділиться на 6”.

Висловлення, що стоїть у лівій частині формули,

(∃x∈X)[A(x)]: “Невірно, що існує просте число х, яке

ділиться на 6” є істинним. Його можна сформулювати ще так:

“Усі прості числа не діляться на 6”, тобто

( ∀ х є Х)[

] _ також істинне висловлення, яке записане в

правій частині формули.

Отже, заперечення висловлень, що вміщують квантори,

можна побудувати двома способами: