1) Перед даним висловленням поставити словоспо)

лучення “невірно, що”, або частку “не”;

2) Квантор загальності (існування) замінити на кван)

тор існування (загальності) і виконати заперечення

предиката, що стоїть після квантора.

Відношення логічного слідування предикатів. Необхідні

і достатні умови

При доведенні теорем чи розв’язуванні задач ми часто

встановлюємо зв’язки між твердженнями (реченнями) в наших

міркуваннях з допомогою слів “випливає”, “слідує”, “а отже”.

Щоб обгрунтувати їх логіко_математичний зміст, розглянемо

приклад.

Нехай на множині Х={x/x є N ∧x ≤12} задано два предикати:

А(х):”число х_кратне 6” і В(х):”число х_ парне”. Утворимо

імплікацію А(х)⇒В(х) і визначимо область її істинності.

Для розв’язування цього завдання скористаємось

формулою:

Т A(x) ⇒B(x) =

T

A(x) ∪ TB(x) .

Предикат А(х)⇒В(х) сформулюємо словами:

“Якщо число х кратне 6, то воно парне”, де х є Х. Множину Х

задамо переліком: Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Визначимо

області істинності даних предикатів:

98

TA(x)={x|x є X ∧A(x)}={6,12}.

TB(x)={ x|x є X ∧B(x)}={2,4,6,8,10,12}.

Знайдемо

T

A(x)): T A(x))= X\TA(x)=

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}\{6,12}={1,2,3,4,5,7,8,9,10,11}.

Підставимо відповідні значення у формулу області істинності

імплікації предикатів, одержимо:

TA(x)⇒B(x)=T A(x) ∪ TB(x)={1,2,3,4,5,7,8,9,10,11} ∪ {2,4,6,8,10,12}=

={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}=X.

Як бачимо, область істинності цієї імплікації співпадає з

областю визначення, тобто ТА(х)⇒В(х)=Х.

В такому випадку говорять, що з предиката А(х) логічно

слідує предикат В(х), тобто з того, що число х ділиться на 6

логічно слідує, що воно парне (ділиться на 2).

Означення. Якщо імплікація предикатів А(х)⇒В(х)

перетворюється в істинне висловлення при всіх зна)

ченнях змінної х із області визначення Х, то предикат

В(х) логічно слідує з предиката А(х).

В цьому випадку часто говорять, що між предикатами існує

відношення логічного слідування. За допомогою квантора

загальності відношення логічного слідування предикатів

можна символічно записати так: (

∀

х є Х)[A(x)⇒B(x)].

На основі розглянутого вище прикладу та означення можна

записати умови, які повинні виконуватися у випадку, коли з

предиката А(х) логічно слідує предикат В(х).

1) ТА(х)⇒В(х)=Х. 2) ТА(х)⊂ТВ(х).

Умова 2) означає, що область істинності предиката А(х), який

є умовою імплікації, повинна бути підмножиною області

істинності предиката В(х), який є висновком імплікації.

Отже, щоб встановити чи існує між предикатами

відношення логічного слідування, необхідно утворити

імплікацію цих предикатів в довільному порядку А(х)⇒В(х)

або В(х)⇒А(х) і впевнитись, що 1) область істинності однієї

з цих імплікацій співпадає з областю визначення і, крім

цього, 2) область істинності предиката, який є умовою

імплікації, є підмножиною області істинності предиката,

який є висновком імплікації. Взагалі кажучи, достатньо

перевірити другу умову.

99

Якщо предикати А(х) і В(х) перебувають у відношенні

логічного слідування, тобто має місце ( ∀ х є Х) [A(x)⇒B(x)], то

предикат В(х) називається необхідною умовою для предиката

А(х), а предикат А(х) _ достатньою умовою для предиката В(х).

В зв’язку з цим імплікацію A(x)⇒B(x) (“якщо А(х), то В(х)”)

можна прочитати ще двома способами:

1) для того, щоб А(х), необхідно, щоб В(х);

2) для того, щоб В(х), достатньо, щоб А(х).

У вище розглянутому прикладі імплікацію A(x)⇒B(x) можна

прочитати так:

а) для того, щоб число було кратне 6, необхідно щоб воно

було парне;

б) для того, щоб число було парне, достатньо щоб воно було

кратне 6.

Відношення рівносильності предикатів

Означення.Два предикати А(х) і В(х), задані на одній

і тій самій області визначення Х, перебувають у відно)

шенні рівносильності, якщо області їх істинності

співпадають.

А(х)⇔В(х) ⇔ТА(х)=ТВ(х).

Відношення рівносильності предикатів можна трактувати

через відношення логічного слідування між ними. Згідно

означення, області істинності рівносильних предикатів

співпадають, тобто рівні. А за означенням рівності множин

маємо, що кожна з множин є підмножиною іншої:

ТА(х)=ТВ(х)⇔ТА(х)⊂ТВ(х) ∧ТВ(х) ⊂ТА(х).

Якщо ТА(х)⊂ТВ(х), то імплікація предикатів А(х)⇒В(х)

перетворюється в істинне висловлення на всій області

визначення Х, а отже, виражає відношення логічного слідування

предикатів, тобто з предиката А(х) логічно слідує предикат В(х).

Це означає. що предикат В(х) є необхідною умовою для

предиката А(х), а предикат А(х) є достатньою умовою для

предиката В(х). Оскільки ТВ(х) ⊂ТА(х), то це означає, що імплікація

предикатів В(х)⇒А(х) перетворюється в істинне висловлення на

всій області визначення Х, а отже, виражає відношення логічного

слідування предикатів: предикат А(х) логічно слідує з предиката

В(х). Таким чином предикат А(х) є необхідною умовою для

предиката В(х), а предикат В(х) є достатньою умовою для

100

предиката А(х). Оскільки умови, з яких ми виходили, зв’язані

кон’юнктивно (ТА(х) ⊂ТВ(х) ∧ТВ(х) ⊂ТА(х)), то й одержані висновки

також сформулюємо в кон’юнктивній формі:

ТА(х)⊂ТВ(х)∧ТВ(х)⊂ТА(х)⇒(А(х)⇒В(х))∧(В(х)⇒А(х)).

Отже, предикати А(х) та В(х) перебувають у відношенні

рівносильності, якщо кожний з них логічно слідує з іншого.

З відношення логічного слідування предикатів випливає,

що кожен з предикатів є одночасно необхідною і достатньою

умовою для іншого. Таким чином, якщо два предикати

перебувають у відношенні рівносильності, то істинна

кон’юнкція взаємно_обернених імплікацій на всій області

визначення:

А(х)⇔В(х) ⇒(

∀

х є Х) [ ( A(x) ⇒B(x) ) ∧( B(x) ⇒A(x) )]

достатня необхідна достатня необхідна

умова умова умова умова

Еквіваленцію (рівносильність) предикатів А(х)⇔В(х) при

цьому можна читати не лише: “А(х) рівносильне В(х)” чи “А(х)

тоді і тільки тоді, коли В(х)”, але й так: “ для того, щоб А(х),

необхідно і достатньо, щоб В(х)”, або “для того, щоб В(х),

необхідно і достатньо, щоб А(х)”.

Якщо при розв’язуванні вправ необхідно встановити, чи

предикати рівносильні чи ні, то спочатку встановлюємо, чи існує

між ними відношення логічного слідування. Для цього

переконуємось, що

1) область істинності кожної з імплікацій співпадає з областю

визначення, тобто ТА(х)⇒В(х)=Х і ТВ(х)⇒А(х)=Х, або ж, що те саме

(∀ х є Х) [ A(x) ⇒B(x)], і (∀ х є Х) [ B(x) ⇒A(x)], або 2) ТА(х)=ТВ(х).

Приклад:

На множині Х={x|x є N ∧26 ≤х ≤42} задані предикати: А(х): “х

кратне 3” і В(х): “сума цифр числа х ділиться на 3”.

Встановити, чи предикати перебувають у відношенні

рівносильності.

Розв’язання:

Задамо множину Х переліком елементів:

Х={26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42}.

Визначимо область істинності кожного предиката:

ТА(х)={27,30,33,36,39,42}, TB(x)={27,30,33,36,39,42}.

Очевидно, що ТА(х)=ТВ(х), а це означає, що предикати А(х) і

В(х) перебувають у відношенні рівносильності, або ж іншими

101

словами, кожен із предикатів логічно слідує з іншого, а отже, є

одночасно необхідною і достатньою умовою для іншого:

( ∀ х є Х) [( A(x) ⇒B(x) ) ∧( B(x) ⇒A(x) )]

Ці предикати рівносильні не тільки на даній множині Х, а й на

всій множині натуральних чисел N, оскільки XМN, тому

відношення між ними можна прочитати одним із способів:

1) число кратне трьом тоді і тільки тоді, коли сума цифр

його ділиться на 3;

2) для того щоб число було кратне трьом, необхідно й

достатньо, щоб сума цифр числа ділилася на 3.

Зразки розв’язування вправ із теми ”Квантори. Відно)

шення логічного слідування і рівносильності предикатів.

Необхідні і достатні умови”.

Завдання 1.

Записати висловлення в символічній формі з допомогою

кванторів і визначити його значення логічної вартості: “Не існує

натурального числа, квадрат якого дорівнював би 2”.

Виконайте операцію заперечення цього висловлення,

запишіть символічно і визначте його значення логічної вартості.

Розв’язування.

Щоб записати символічно дане висловлення, піддаємо його

аналізу:

а)слово “не” означае, що виконано операцію заперечення

висловлення, яку позначають символом

;

б)слово “існує” вказує, що висловлення утворене з деякого

предиката навішуванням квантора існування, який позначають

символом ∃;

в)словосполучення “натурального числа” означає, що

предикат, з якого утворене висловлення, розглядається на

множині натуральних чисел, причому цей предикат

одномісний, оскільки йдеться про одне натуральне число .

Таким чином, змінна х набуває значень з множини натуральних

чисел, яка є областю визначення предиката. Символічно це

запишемо так: х є N;

г)словосполучення “квадрат якого дорівнював би двом”

виражає одномісний предикат А(х): “квадрат натурального

числа х дорівнює 2”.

102

( Замість слова “якого” вжито “натурального числа”,

оскільки це і випливає з обгрунтування в)).

Символічно предикат А(х) запишемо так: А(х) : “х2 = 2”, де х є N.

Отже, на основі вище поданих обгрунтувань дане

висловлення запишемо так:

(∃x∈N)[ А(х) ] або ж (∃x∈N)[ х2 = 2].

Це висловлення істинне, бо область істинності предиката

А(х) є порожньою множиною, оскільки справді немає жодного

натурального числа, квадрат якого дорівнював би 2.

Виконаємо операцію заперечення цього висловлення. Через

те, що дане висловлення містить операцію заперечення, то в

результаті виконання операціі заперечення цього висловлення

дістанемо подвійне заперечення. Як відомо, при побудові

заперечень висловлень, які вміщують квантори, необхідно квантор

існування замінити на квантор загальності, а знак заперечення

перенести на предикат, тобто виконати заперечення предиката.

Отже, в результаті заперечення даного висловлення одержимо:

“Невірно, що не існує натурального числа, квадрат якого

дорівнював би 2”.

Це висловлення хибне, бо дане висловлення було істинним.

Щоб записати символічно останнє висловлення, перепишемо

спочатку дане висловлення, користуючись правилом побудови

заперечень, так:

(∃x∈N)[ A( х)] ⇔( ∀ х ∈N ) [

A(x)

] або ж

(∃x∈N)[ х2 = 2] ⇔( ∀ х ∈N) [ х2 ≠2 ] .

Це означає, що дане висловлення рівносильне висловленню:

“Квадрат довільного натурального числа не дорівнює 2 “.

Тепер запишемо висловлення, що є запереченням даного:

( )[ ( )] ( )[ ( )] ( )[ ( )]

( )[ ]

∃ ∈ ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∃ ∈ ⇔

⇔ ∃ ∈ =

x N A x x N A x x N A x

x N x2 2

Отже, заперечення даного висловлення можна

сформулювати так: “Існує таке натуральне число, квадрат якого

дорівнює 2”. Це висловлення хибне, оскільки дане висловлення

істинне. І крім цього, справді на множині натуральних чисел не

можна вказати числа, квадрат якого дорівнював би 2, тобто

TA(x)= ∅ , де А(х): “х2 = 2”.

103

Завдання 2.

На множині C ={ х/х ∈N, 10 ≤х ≤30} задані предикати :

А(х): “число х ділиться на 3”,

В(х): “число х ділиться на 9”.

Визначити,в якому відношенні перебувають дані предикати.

Встановити, який з предикатів є необхідною умовою для іншого,

а який є достатньою умовою для іншого предиката.

Розв’язування.

={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30}.

Знайдемо область істинності кожного з даних предикатів:

ТA(x)= {12,15,18,21,24,27,30 }, ТВ(Х) = {18,27}.

Очевидно, що ТВ(Х) ⊂ТА(Х). Це означає, що можна утворити

імплікацію, умовою якої, буде предикат В(х), а висновком _ предикат

А(х). Ця імплікація буде перетворюватися в істинне висловлення на

всій області визначення Х, а отже, має місце відношення логічного

слідування предикатів: з предиката В(х) логічно слідує предикат А(х).

Вище сказане можна записати символічно:

ТВ(Х) ⊂ТА(Х) ⇒(

∀

х ∈) [ B(х) ⇒A(х) ] .

Як відомо, якщо між предикатами існує відношення логічного

слідування, то предикат, який є умовою імплікації, є достатньою

умовою для предиката, що є висновком імплікаціі. В даному

прикладі В(х) є достатньою умовою для предиката А(х). А

предикат, що є висновком імплікації, є необхідною умовою для

предиката _ умови імплікації, тобто предикат А(х) є необхідною

умовою для предиката В(х). Отже, користуючись термінами

“слідує”, “необхідно”, “достатньо”, відношення між даними

предикатами можна прочитати так:

а) з того, що число ділиться на 9, логічно слідує, що воно ділиться

на 3;

б) для того, щоб число ділилося на 9, необхідно, щоб воно

ділилося на 3;

в) для того, щоб число ділилося на 3, достатньо, щоб воно

ділилося на 9.

Завдання 3.

Записати символічно висловлення: “Для того, щоб

чотирикутник був ромбом, необхідно, щоб його діагоналі були

взаємно перпендикулярні”. Сформулювати його різними

способами.

Розв’язування. Скористаємось формулою, що зв’язує

предикати, які перебувають у відношенні логічного слідування:

104

( ∀ х ∈C ) [ A(х) ⇒B(х) ]

достатня необхідна

умова умова

Цю імплікацію можна сформулювати з допомогою слова

“необхідно” (оскільки в умові задачі є цей термін ) так: “Для того,

щоб А(х), необхідно, щоб В(х)”. Співставимо це формулювання

з висловленням, даним в умові, внаслідок чого можемо виділити

предикати, з яких утворено висловлення:

А(х): “чотирикутник х є ромбом”.

В(х): “діагоналі чотирикутника х взаємно перпендикулярні”.

Областю визначення даних предикатів є множина Х всіх

чотирикутників (х ∈).

Тому імплікацію ( ∀ х ∈) [ A(х) ⇒В(х) ] можна прочитати так:

а) якщо чотирикутник є ромбом, то його діагоналі взаємно

перпендикулярні;

б) для того, щоб діагоналі чотирикутника були взаємно

перпендикулярні, достатньо, щоб він був ромбом.

Крім цього, оскільки ця імплікація істинна на всій області

визначення (це випливає з означення відношення логічного

слідування), то її можна сформулювати в категоричній формі за

допомогою квантора загальності ( “будь_який”):

в) у будь_якого ромба діагоналі взаємно перпендикулярні.

Завдання для самостійної роботи

Завдання 1.

Записати висловлення в символічній формі з допомогою

кванторів і визначити їх значення логічної вартості.

1) Існують натуральні числа, які мають тільки два дільники.

2)Існує ціле невід’ємне число, яке має нескінченну множину

дільників.

3) Не існує натурального числа х такого, щоб х+1=х.

4) Існує натуральне число х таке, що х +1=0.

5) Існують натуральні числа х і у такі, що їх сума дорівнює 0.

6) Сума двох довільних натуральних чисел дорівнює 10.

7) Знайдуться такі натуральні числа х і у, сума яких дорівнює 10.

8) Для довільних натуральних чисел х і у знайдеться

натуральне число z, яке є їх сумою.

9) Для довільних натуральних чисел х і у знайдеться таке

натуральне число z, яке є їх добутком.

105

10) Існує ціле число х таке, що в сумі з довільним цілим

числом у дає те саме число.

Завдання 2.

Дані висловлення записані в символічній формі.

Сформулюйте їх словесно і визначте їх значення логічної

вартості.

1) (

∀

х ∈R ) [ х2 > х ⇔( х >1 ) ∨( х < 0 )]

2) ( ∀ х,у ∈R ) [ (х+у )(х_у)=х2 _ у2]

3) ( ∀ х ∈R )(∃у ∈R) [ х+у=х]

4) ( ∀ х ∈R)( ∃у ∈R) [ху=х]

5) ( ∀ х ∈R)( ∃у ∈R) [ху=0]

6) ( ∀ х ∈R)( ∃у ∈R) [ху=1]

7) ( ∀ х,y ∈R)( ∃z ∈R) [х_у=z]

8) ( ∀ х,у ∈R)[х2_у2≥0 ⇔х і у ]

9) ( ∀ х,у ∈R)[ (х2_у2)(х_у)=(х_у)2 (х+у) ]

10) ( ∀ х ∈R)( ∃у ∈R) [х+у=0 ]

11) ( ∃х ∈R)( ∀ а,в,с ∈R)[ ах2+вх+с=0]

12) ( ∀ х ∈R) [ х2>0]

13) ( ∀ х ∈R) [ х2 ≥0]

14) ( ∀ х,у ∈R) [ х<у ⇒sin х < sin у]

15) ( ∀ х,у ∈R) [х>у ⇒cos х > cos у]

16) ( ∀ х,у ∈R) [х>у ⇒х_у>0]

17) ( ∀ х,у ∈R) [х<у ⇒х2<у2]

18) ( ∀ х,у ∈R) [х>у ⇒х3>у3]

19) (

х ∈R) ( ∃у ∈R) [

x = y

]

20) ( ∃х ∈R) ( ∀ у ∈R) [ у2=х ].

Завдання 3.

На множині Х задані предикати А(х) і В(х). Визначити, в

якому відношенні перебувають дані предикати. Встановити,

який з предикатів є необхідною умовою для іншого, а який

достатньою умовою, якщо:

1) Х = {х/х ∈N, 5 ≤х ≤22 }, А(х): “число х _ парне”,

В(х): “число х ділиться на 4”.

106

2) Х = {х/х ∈N, 8 ≤х ≤30 }, А(х): “число х парне”,

В(х): “остання цифра запису

числа х дорівнює 0”.

3) Х = {х/х ∈N, 8 ≤х ≤30 }, А(х): “остання цифра запису

числа x дорівнює 0”,

В(х): “число х кратне 5”.

4) Х = {х/х ∈N, 6 ≤х ≤20 }, А(х): “число х ділиться на 3”,

В(х): “число х _ складене”.

5) Х = {х/х ∈N, 10 ≤х ≤30 }, А(х): “сума цифр числа х

ділиться на 3”,

В(х): “число х кратне 3”.

6) Х = {х/х ∈N, 14 ≤х ≤47 }, А(х): “число х ділиться на 3”,

В(х): “число х ділиться на 15”.

7) Х = {х/х ∈N, 14 ≤х ≤47 }, А(х): “число х ділиться на 15”,

В(х): “число х ділиться на 5”.

8) Х = {х/х ∈N, 10 ≤х ≤30 }, А(х): “число х ділиться на 5”,

В(х): “остання цифра числа х

дорівнює 5”.

9) Х = {х/х ∈N, 10 ≤х ≤30 }, А(х): “число х ділиться на 5”,

В(х): “остання цифра числа х

дорівнює 0”.

10) Х={х/х ∈N, 10 ≤х ≤30},А(х): “число х ділиться на 5”,

B(х): “остання цифра числа х

дорівнює 0 або 5”.

11) Х = {х/х ∈N, 10 ≤х ≤30},А(х): “число х ділиться на 9”,

В(х): “сума цифр числа х

ділиться на 9”.

12) Х = Z, А(х): “х2_2х=0”,

В(х) : “5х3_ 5х2_10 х=0”.

13) Х = N, А(х): “ число х _ парне”,

В(х) : “число х_ кратне 7”.

14) Х = Z, А(х): “число х_ натуральне”,

В(х) : “число 7х _ натуральне”.

15) Х = Z, А(х): “число х _ кругле”,

В(х) : “число х _ натуральне “.

16) Х = {х/х ∈N, х ≤10 }, А(х): “число х _просте”,

В(х) : “число х_одноцифрове”.

17) Х =R, А(х): “х2_6х+9=0”, В(х): “х2_9=0”.

18) Х=R, А(х): “х2_9=0”, В(х): “(х_3)(х_1)(х+3)=0”.

107

19) X=R, А(х): “9х2 _ 4=0, В(х): “(х+1)(9х2 _ 4)=0”.

20) Х=R, А(х): “|х_3|=0”, В(х): “|х|_3=0”.

Завдання 4.

Записати символічно подані висловлення.

Сформулювати їх різними способами:

1) Для того, щоб чотирикутник був прямокутником,

необхідно, щоб його діагоналі були рівні.

2) Для того, щоб трапеція була рівнобедреною,

достатньо, щоб її діагоналі були рівні.

3) Якщо в паралелограмі діагоналі ділять кути пополам,

то цей паралелограм є ромбом.

4) Для того, щоб прямокутник був квадратом, достатньо,

щоб його діагоналі були перпендикулярні.

5) Для того, щоб трикутник був рівнобедреним, необхідно,

щоб два кути його були рівні.

6) Якщо в трикутнику медіана є висотою, то цей трикутник

рівнобедрений.

7) Якщо в трикутнику висота є бісектрисою кута, то цей

трикутник рівнобедрений.

8) Для того, щоб прямі були паралельні, достатньо, щоб

при перетині їх прямою відповідні кути були рівні.

9) Для того, щоб трапеція була рівнобедреною,

достатньо, щоб кути, які прилягають до однієї основи, були

рівними.

10) Для того, щоб кути були рівні, достатньо, щоб вони

були вертикальні.