4. Закони комутативності диз’юнкції і кон’юнкції:

А ∨В = В ∨А;

А ∧В = В ∧А.

5. Закони асоціативності диз’юнкції і кон’юнкції:

(А ∨В) ∨С = А ∨(В ∨С);

(А ∧В) ∧С = А ∧(В ∧С).

6. Дистрибутивні закони, які зв’язують диз’юнкцію і ко)

н’юнкцію.

Таких законів є чотири, але перш, ніж їх записати, нагадає_

мо, що в арифметиці дійсних чисел є два дистрибутивні (роз_

подільні) закони дії множення відносно додавання, а саме:

а) (а + в)•с = а•с + в•с, де а,в,с _ довільні дійсні числа.

Це правий дистрибутивний закон множення відносно дода_

вання, оскільки знак дії множення стоїть справа від знака дії до_

давання.

б) а•(в + с) = а•в + а•с _ лівий дистрибутивний закон мно_

ження відносно додавання.

Легко переконатись, що операції додавання і множення не є

рівноправними в цих законах, тому що, помінявши місцями

знаки операцій в рівностях (а) і (б), не одержимо нових пра_

вильних рівностей (законів). Справді, в арифметиці дійсних чи_

сел немає, наприклад, правого дистрибутивного закону дода_

вання відносно множення, бо

(а•в) + с ≠(а + с)•(в + с).

Наприклад, (2•3) + 5 ≠(2 + 5)•(3 + 5), бо 11 ≠56.

Повернемось до логічних операцій. В математичній логіці

операції кон’юнкції і диз’юнкції рівноправні. Це означає, що коли

кон’юнкцію розглядати як операцію, аналогічну до множення, а

диз’юнкцію _ операцію, аналогічну до додавання, то мають місце

не тільки правий і лівий дистрибутивні закони кон’юнкції віднос_

но диз’юнкції, але й правий і лівий дистрибутивні закони диз’_

юнкції відносно кон’юнкції. Наведемо ці закони:

1) (А ∨В) ∧С = (А ∧С) ∨(В ∧С) _правий дистрибутивний закон

кон’юнкції відносно диз’юнкції;

2) А ∧(В ∨С) = (А ∧В) ∨(А ∧С) _ лівий дистрибутивний закон

кон’юнкції відносно диз’юнкції;

3) (А ∧В) ∨С = (А ∨С) ∧(В ∨С) _ правий дистрибутивний закон

диз’юнкції відносно кон’юнкції;

4) А ∨(В ∧С) = (А ∨В) ∧(А ∨С) _ лівий дистрибутивний закон

диз’юнкції відносно кон’юнкції.

39

Співставляючи закони 1) і 3) (для короткості не будемо

наводити повної їх назви, а скористаємось лише їх номера_

ми в поданому вище переліку), очевидно, що кожен з них може

бути одержаний з іншого (перший _ з третього, а третій _ з

першого) шляхом заміни знаків операцій: диз’юнкції (∨) на

кон’юнкції (∧) і навпаки.

Аналогічно закони 2) і 4) можуть бути отримані один з одно_

го таким самим способом. Це свідчить про рівноправність ло_

гічних операцій кон’юнкції і диз’юнкції, яку слід розуміти так:

якщо в правильних рівностях, які стосуються однієї операції,

замінити знак цієї операції на знак іншої, то одержимо нову

правильну рівність відносно іншої операції. В цьому можна пе_

реконатись на законах комутативності і асоціативності. Крім

цього, якщо в правильних рівностях, що вміщують обидві логічні

операції кон’юнкцію і диз’юнкцію, поміняти знаки операцій (∨

на ∧і ∧на ∨), то одержимо нові правильні рівності.

Правило заміни знаків логічних операцій для одержання но_

вих правильних рівностей називається законом контрапозиції.

(За законом контрапозиції, власне, з одних дистрибутивних

законів одержуються інші).

Наведемо доведення одного з дистрибутивних законів, на_

приклад закону 4), а всі інші закони пропонуємо читачеві дове_

сти самостійно.

А ∨(В ∧С) = (А ∨В) ∧(А ∨С)

Очевидно, що висловлення в п’ятій і восьмій колонках, які

отримані в результаті вказаних логічних операцій відповідно у

А В С В ∧ С А ∨ (В ∧ С) А ∨ В А ∨ С (А ∨ В) ∧ (А ∨ С)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0

40

лівій і правій частинах рівності, мають однакові значення логіч_

ної вартості. А отже, справедливість лівого дистрибутивного

закону диз’юнкції відносно кон’юнкції доведена.

Ми доводили закон 4) шляхом співставлення на останньому

етапі результатів, отриманих окремо в лівій і правій частинах

рівності. (Аналогічно доводили інші властивості в процесі ознай_

омлення з логічними операціями). Але часто для завершення

доведення законів, властивостей чи формул користуються опе_

рацією еквіваленцією, яку виконують над висловленнями, отри_

маними в лівій і правій частинах рівності. Для цього доповнюють

таблицю ще однією колонкою, зверху якої записують формулу,

що доводять, причому знак = в ній замінюють на знак еквіваленції

(рівносильності): ∼(або ⇔), а потім записують значення логічної

вартості висловлень, отриманих в результаті еквіваленції. Як відо_

мо, еквіваленція може бути істинною чи хибною. Якщо в резуль_

таті еквіваленції висловлень, отриманих в лівій та правій части_

нах, дістаємо тільки істинні висловлення, то це доводить спра_

ведливість закону чи формули. Легко переконатись, що, допов_

нивши попередню таблицю істинності колонкою під номером 9),

в якій була б записана формула 4) у вигляді:

А ∨(В ∧С) ⇔(А ∨В) ∧(А ∨С), то всі значення логічної вартості

висловлення в тій колонці дорівнюють 1.

Формула, яка приймає істинні значення при всіх можливих зна_

ченнях логічної вартості простих висловлень, що входять до неї,

називається тотожно істинною формулою, або тавтологією.

Всі вище розглянуті закони алгебри висловлень є тавтолог_

іями (тотожно істинними формулами). Зауважимо також, що

якщо при всіх можливих значеннях логічної вартості простих

висловлень, які входять у формулу, еквіваленція, яка виражає

цю формулу, приймає тільки хибні значення, то таку формулу

називають тотожно хибною, або суперечністю.