1

Я.А.Пасічник

ЛОГІКА

Посібник для економічних

спеціальностей вищих

навчальних закладів

Видання перше

Острог _ 2005

2

Ядвіга Августівна Пасічник

Пасічник Я. А. Логіка: Посібник для економічних

спеціальностей вищих навчальних закладів. – Вид. перше. –

Острог, 2005. – 152 с.

Рекомендовано на засіданні навчально_методичної ради На_

ціонального університету «Острозька академія», протокол №3

від 17.03.2005.

Рецензенти: Джунь Й.В. _ доктор фізико_математичних наук,

професор, Крайчук О.В. — кандидат фізико_математичних наук,

доцент.

Посібник вміщує теоретичний матеріал з курсу логіки,

зразки розв’язування типових завдань до кожної з тем та

систему завдань для самостійних робіт.

Посібник написаний відповідно до чинної програми з

логіки для економічних спеціальностей вищих навчальних

закладів.

3

ПЕРЕДМОВА

Рівень кваліфікації будь_якого спеціаліста визначається знач_

ною мірою рівнем культури його логічного мислення.

Логічно мислити – означає мислити точно, послідовно, пра_

вильно, оперуючи спеціальною термінологією, не допускаючи

підміни понять, суперечностей у судженнях та в міркуваннях.

Вивчення курсу логіки забезпечує оволодіння мислитель_

ними операціями порівняння, аналізу, узагальнення, абстра_

гування, класифікації, необхідними в інтелектуальній діяльності

людини, а отже, знання логіки необхідне кожному спеціалістові

– економістові чи юристові, педагогу чи інженеру, політикові

чи соціологу. Знання логіки не тільки підвищує культуру мис_

лення, а й допомагає орієнтуватися в інформації, критично її

аналізувати, переконливо обґрунтовувати і аргументувати певні

положення, спростовувати хибні судження, інтерпретувати відно_

шення між поняттями, розкривати суперечності в міркуваннях

тощо. Все це має важливе значення в роботі економіста, спря_

мованій на планування та розвиток економічних процесів.

Рекомендований підручник написаний відповідно до про_

грами з логіки для економічних спеціальностей на основі курсу

лекцій, які читались автором в Національному університеті «Ост_

розька академія». Підручник містить основні положення курсу

сучасної логіки і розкриває зміст таких тем:

1) Поняття як форма мислення.

2) Висловлення і дії над ними. Закони алгебри висловлень.

3) Дії над предикатами.

4) Квантори. Відношення логічного слідування і рівносиль_

ності предикатів. Необхідні й достатні умови.

5) Будова теореми. Види теорем.

6) Правильні і неправильні міркування. Структура міркувань.

До кожної з шести тем подається план, тобто перелік пи_

тань, що її вичерпують (в обсязі програми), після якого й у відпо_

відності до якого розкриваються теми в зазначеній вище по_

слідовності, подані зразки розв’язування вправ і системи зав_

дань для самостійної роботи.

Сподіваюсь, що посібник допоможе майбутнім економі_

стам оволодіти основами сучасної математичної логіки.

Висловлюю вдячність усім, хто сприяв виданню цього по_

сібника.

Автор

4

Вступ

Логіка – це наука про закони і форми мислення, якими є

поняття, судження і міркування.

Мислення є предметом дослідження філософії, психології,

фізіології вищої нервової діяльності. Але логіка вивчає цілком інші

аспекти мислення, ніж названі науки. Вона досліджує форми мис_

лення, за допомогою яких відбувається пізнання навколишнього

світу – об’єктів, явищ, закономірностей розвитку, що відобра_

жається в абстрактній узагальненій формі у вигляді понять.

Вона займається дослідженням структури окремих речень (вис_

ловлень, суджень), незалежно від їх змісту, та дослідженням струк_

тури дедуктивних міркувань, що являють собою сукупність речень

(тверджень) і приводять до нових тверджень. А дедуктивні мірку_

вання є знаряддям розвитку не лише математики, а й інших при_

родничих наук.

Творцем логіки є давньогрецький філософ Арістотель (384_

322 рр. до н.е.), який логіку називав аналітикою. Логіку Арісто_

теля називають ще традиційною, класичною.

Класична логіка Арістотеля описувала структуру міркувань і

закони мислення словесно. Протягом двох тисячоліть логіка Арі_

стотеля розвивалась, доповнювалась і удосконалювалась, а для

опису своїх положень почала використовувати математичний

апарат, тобто символіку для позначення основних понять цієї

теорії, для виконання впроваджених алгебраїчних дій над ними,

обгрунтування їх властивостей, ілюстрування зв’язків між по_

няттями. Операція запровадження символів для опису теорії

науки називається формалізацією, а тому й логіку почали нази_

вати формальною. Формалізація призвела до повної матема_

тизації логіки (в ХІХ ст.), до створення самостійної теорії мови,

яка математично описує досліджувані об’єкти і обгрунтовує ма_

тематичні теорії, спираючись на аксіоматично означені понят_

тя, а отже, до створення цілком нової самостійної науки, яка

стала галуззю математики _ математичної логіки.

Нова галузь математики _ математична логіка виникла в се_

редині ХІХ століття. Її творцем є відомий англійський матема_

тик Джордж Буль (1815_1864). Тому й не дивно, що математич_

ну логіку часто називають алгеброю Буля.

Зміст логічної науки становлять поняття, судження, мірку)

вання.

5

Тема 1. Поняття як форма мислення.

План:

1. Логiчні прийоми утворення понять.

2.Змiст i обсяг поняття. Види понять.

3.Вiдношення мiж поняттями.

4.Логiчнi операцiї з поняттями: узагальнення i обмеження

понять; означення понять.

5.Способи означення понять. Правила означення.

6.Подiл обсягу поняття. Класифiкацiя понять.

Логiчнi прийоми утворення понять.

Поняття _ це форма мислення, яка вiдображає предмети в їх

суттєвих ознаках. Ознакою предмета називається те, чим пред_

мети схожi (подiбнi) або чим вони вiдрiзняються.

Будь_якi властивостi, риси, стани предмета,якi характеризу_

ють його i допомагають розпiзнати його серед iнших предметiв,

становлять його ознаки.

Кожен предмет має множину рiзноманiтних ознак. Однi з них

характеризують окремий предмет i є одиничними, а iншi _ нале_

жать певнiй групi предметiв i є загальними.

Крiм одиничних i загальних ознак, логiка видiляє суттєвi

(iстотнi) i несуттєвi ознаки. Тому поняття як форма мислення

вiдображає предмети i їх сукупностi в абстрактнiй,

узагальненiй формi на основi їх суттєвих ознак. Поняття

якiсно вiдрiзняється вiд форм чуттєвого пiзнання _ вiдчуттiв,

сприйняття i уявлень, якi iснують у свiдомостi людини у виглядi

наочних образiв окремих предметiв або їх властивостей.

Для утворення понять необхiдно видiлити суттєвi ознаки

предмета за допомогою таких логiчних прийомiв: порiвняння,

аналiз, синтез, абстрагування, узагальнення.

Щоб утворити поняття про предмет, необхiдно видiлити

суттєвi схожi i вiдмiннi ознаки на основi порiвняння предмета з

iншими. Видiлення ознак зв’язане з мисленим розчленуванням

предмета на складовi частини, тобто з логiчним прийомом

аналiзом, та з наступним мисленим вiдкиданням несуттєвих

ознак, яке називається прийомом абстрагування. Пiсля цьо_

го на основi логiчного прийому синтезу, який протилежний

аналiзу, здiйснюється мислене об’єднання видiлених суттєвих

ознак частин предмета, розчленованого аналiзом. Нарештi за

6

допомогою логiчного прийому узагальнення видiленi ознаки

поширюються на всi схожi предмети, якi на основi цих ознак

об’єднуються в групи однорiдних предметiв i становлять обсяг

розглядуваного поняття.

Таким чином, встановлюючи схожiсть або вiдмiннiсть мiж

предметами (порiвняння), розчленовуючи схожi предмети на

елементи (аналiз), видiляючи суттєвi ознаки i вiдкидаючи

несуттєвi (абстрагування), об’єднуючи суттєвi ознаки (синтез) i

поширюючи їх на всi однорiднi предмети (узагальнення), ми

утворюємо одну з основних форм абстрактного мислення _ по_

няття.

Поняття нерозривно зв’язане з основною мовною одиницею _

словом. Поняття виражаються i закрiплюються в словах i словоспо_

лученнях, без яких неможливе нi формування понять, нi оперування

ними. Єднiсть поняття i слова не означає їх повного спiвпадання. В

рiзних нацiональних мовах одне i те саме поняття виражається

рiзними словами. Але i в однiй мовi часто слова мають не одне, а

кілька значень. Наприклад, слово “квадрат” означає: 1) геометрич_

ну фігуру, що є видом прямокутника, тобто прямокутник з рівними

сторонами, і 2) добуток двох однакових чисел.

В різних галузях науки використовується спеціальна термі_

нологія _ система термінів даної науки.

Термін _ це слово або словосполучення, яке позначає стро_

го визначене поняття і характеризується однозначністю в ме_

жах даної науки чи спорідненої групи наук.

Зміст і обсяг поняття. Види понять.

Змістом поняття називається сукупність суттєвих ознак

предметів, охоплених даним поняттям.

Наприклад, зміст поняття “прямокутник” становить сукупність

таких ознак::

1) опуклий чотирикутник; 2) паралельність протилежних

сторін; 3) рівність протилежних сторін; 4) рівність всіх кутів; 5)

рівність діагоналей.

Обсяг поняття _ це множина предметів, які володіють озна_

ками, відображеними у змісті.

Замість терміну “обсяг поняття” в логіці вживаються термі_

ни “клас”, “множина”, “підклас”, ”підмножина множини”, а для

позначення одного предмета з обсягу поняття _ термін “еле_

мент класу”. Вживаючи термін “клас”, розуміють під ним певну

7

сукупність предметів, які мають деякі спільні ознаки. Клас (мно_

жина) може включати в себе підклас (підмножину).

Відношення між класом А і підкласом В називають відношен_

ням включення, яке записують так: В ⊂А (читають: клас В є

підкласом (підмножиною) класу А), або ж А ⊃В (читають: клас А

включає в себе підклас В). Відношення елемента а до класу В

виражають термінами “належить” і “не належить”, що запису_

ють символічно так: а∈В (читають: а належить до класу В) чи

а∉В (а не належить до класу В).

Розрізняють універсальний клас (універсальну множину),

одиничний, порожній, скінченний, нескінченний класи.

Універсальний клас _ це сукупність предметів певної при_

роди, яка вичерпується певним поняттям. Позначають симво_

лом U.

Одиничний клас _ це обсяг поняття, що має лише один еле_

мент. Наприклад, обсяг поняття “натуральне число, яке має

лише один дільник” складається з одного елемента _ числа 1.

Порожній клас (нульовий) _ це клас, який не містить жод_

ного елемента. Наприклад, обсяг поняття “дійсне число, квад_

рат якого є від’ємним числом”, не містить жодного елемента.

Скінченний клас _ це обсяг поняття, число елементів якого

виражається певним натуральним числом. Наприклад, обсяг

поняття “двоцифрове число” складається із 90 елементів, тоб_

то виражається певним натуральним числом, а отже, це скінчен_

ний клас.

Нескінченний клас _ це обсяг поняття, число елементів яко_

го не можна виразити натуральним числом. Наприклад, клас

“простих чисел” _ нескінченний.

Зміст і обсяг поняття зв’язані між собою законом оберне)

ного співвідношення між змістом і обсягом поняття, згідно

якого збільшення змісту поняття веде до утворення поняття з

меншим обсягом і навпаки.

В логіці цей закон формулюють так: чим ширший зміст по)

няття, тим вужчий його обсяг, і навпаки, чим вужчий зміст

поняття, тим ширший його обсяг.

Наприклад, якщо до вище перелічених п’яти ознак, які ста_

новлять зміст поняття “прямокутник”, приєднати ще одну озна_

ку – ”рівність всіх сторін”, то отримана сукупність шести ознак

приведе до утворення поняття “квадрат”, обсяг якого вужчий,

ніж обсяг поняття “прямокутник”.

8

Отже, зміст поняття розширився (збільшився на одну оз_

наку), а обсяг поняття звузився, бо серед усіх прямокутників

виділяються лише ті, які мають рівні сторони, тобто квадрати.

Розглянемо види понять залежно від різних ознак.

1) Поняття поділяються на одиничні і загальні залежно від

кількості елементів, які становлять обсяг поняття. Наприклад,

поняття “натуральне число” _ загальне, а поняття “парне просте

натуральне число” _ одиничне, бо до його обсягу належить один

елемент – число 2.

2) Поняття поділяються на конкретні і абстрактні. Понят_

тя, в яких відображені предмети чи сукупності предметів, як

щось самостійно існуюче, називаються конкретними. Понят_

тя, в яких відображені ознаки, стани предмета, чи відношення

між предметами, називаються абстрактними. Наприклад, по_

няття “число”, “квадрат”, “круг”, “паралелограм”, “вираз”,

“рівняння” _ це конкретні математичні поняття. А поняття

“парність числа”, “рівність”, “більше”, “менше”, “подібність”, “го_

мотетія” і ін. _ це абстрактні математичні поняття.

Або ж поняття “людина”, “комп’ютер”, “книга”, “троянда” є

конкретні. Поняття “тиша”, “братерство”, “голубінь”, “поїздка” є

абстрактними. Абстрактні поняття утворюються шляхом виді_

лення певної ознаки предмета, яка є самостійним об’єктом дум_

ки. Наприклад, поняття “парність” відображає ознаку, яка не

існує сама по собі, відірвано від натуральних чисел, які нею во_

лодіють. А поняття “гомотетія” відображає певне відношення

між предметами, яке характеризує спосіб їх розташування. Так

само поняття “голубінь” відображає ознаку, яка пов’язана з пев_

ним предметом, наприклад, небом, річкою тощо.

Тому не слід змішувати абстрактні поняття з загальними, так

само як і конкретні з одиничними. Наприклад, поняття “парне

число” _ конкретне, але поняття “парність числа” _ абстрактне.

3) Поняття поділяються на позитивні і негативні залежно

від наявності чи відсутності певної суттєвої ознаки, яка визна_

чає зміст поняття.

Наприклад, поняття “парне число” _ позитивне, а “непарне

число” _ негативне.

Отже, якщо зміст поняття становлять ознаки, притаманні

предмету, то поняття позитивне. Поняття, в змісті яких вка_

зується на відсутність у предмета певних ознак, називаються

негативними. В українській мові негативні поняття позначають_

9

ся термінами з негативними префіксами “не”, “без”, а в словах

іншомовного походження з негативним префіксом “а”.

Наприклад, поняття “непарне число”, “нерівобедрений три_

кутник”, “нерівнобедрена трапеція”, “асиметрія” _ негативні.

4) Залежно від структури елементів поняття поділяються на

збірні і незбірні. Збірне – це поняття, в якому відображаються

ознаки сукупності однорідних предметів, які являють собою

єдине ціле. Наприклад, поняття “полк”, “сім’я”, “сузір’я”, “ор_

кестр”, “ліс” – збірні. В математиці поняття “система”, “сім’я

кривих” – збірні.

Незбірні _ це такі поняття, в яких відображені ознаки окре_

мих предметів. Наприклад, поняття “студент”, “книжка”, “мно_

гокутник” – незбірні.

Збірні поняття позначають не окремі предмети, а їх сукуп_

ності, які в логіці називають агрегатами (лат. aggregatus _ при_

єднаний). Отже, “оркестр” – це агрегат музикантів, “ліс” – агре_

гат дерев, “система двох рівнянь” – це агрегат двох рівнянь.

Не слід змішувати збірні поняття із загальними. Збірні по_

няття відрізняються від загальних тим, що їх зміст не можна за_

стосовувати до окремого предмета, а лише до їх сукупності.

Загальні поняття можна застосовувати до кожного окремого

предмета того класу, який визначається цим поняттям.

Наприклад, зміст загального поняття “музикант” стосуєть_

ся кожного окремого музиканта, тобто логічно правильно ска_

зати: “музикант Петренко”. Але зміст збірного поняття “оркестр”

не може бути застосований до кожного окремого музиканта,

що є членом оркестру, тобто логічно неправильно сказати: “ор_

кестр Петренко”.

5) Поняття поділяються ще на реєструючі та нереєструючі.

Реєструючим називається поняття, елементи обсягу яко_

го піддаються обліку, реєструються. Наприклад, поняття “пла_

нета”, “учасники конкурсу” – реєструючі, оскільки можна вка_

зати чи мислимо уявити чисельність множини, що є обсягом

поняття.

Нереєструючим є поняття, яке стосується невизначеної

кількості предметів. Наприклад, поняття “людина”, “школа”, “де_

рево”, “многокутник”, “число” – нереєструючі .

6) Поняття поділяються на співвідносні і неспіввідносні

залежно від того, чи в них відображені предмети, які існують

окремо чи у відношенні з іншими предметами.

10

Неспіввідносні _ це поняття, в яких відображені предмети,

що існують окремо, і можна уявити їх поза відношенням до інших

предметів. Наприклад, поняття “трикутник”, “точка”, “пряма”,

“число” _ неспіввідносні. Поняття, які вміщують ознаки, що вка_

зують на відношення одного поняття до іншого, називаються

співвідносними. Наприклад, поняття “перпендикуляр”, “сумі_

жний кут”, “вертикальний кут”, “симетрична точка”, “кратне чис_

ло” _ співвідносні.

Для того, щоб встановити, до якого виду належить те чи інше

поняття, треба дати йому логічну характеристику.

Наприклад, даючи логічну характеристику поняття “медіа_

на”, слід вказати, що це поняття загальне, конкретне, позитив_

не і співвідносне.

Логічна характеристика понять допомагає уточнити їх зміст

і обсяг, виробляє навички більш точного вживання понять в

процесі міркування.

Зв’язок між видами понять можна проілюструвати схемою:

Поняття

Одиничні Загальні

Конкретні Абстрактні

Позитивні Негативні

Неспіввідносні Співвідносні

Реєструючі Нереєструючі

Відношення між поняттями.

Перш, ніж говорити про відношення між поняттями, слід

розрізняти поняття зрівнювані і незрівнювані.

Зрівнювані _ це такі поняття, які мають деякі спільні ознаки,

що дозволяють співставляти ці поняття одне з одним. Наприк_

лад, поняття “трикутник” і “трапеція” _ зрівнювані, оскільки ма_

ють спільні ознаки, які характеризують поняття “многокутник”.

11

Незрівнювані _ це поняття, які не мають спільних ознак, а

тому порівнювати ці поняття неможливо. Наприклад, поняття

“многокутник” і “число” _ це незрівнювані поняття.

Зрозуміло, що терміни “зрівнювані” та “незрівнювані” понят_

тя стосуються не окремого поняття, а пари понять.

Логічні відношення можна встановлювати лише між зрівню_

ваними поняттями. Зрівнювані поняття поділяються на сумісні

і несумісні.

Поняття, обсяги яких частково або повністю співпадають,

називаються сумісними.

Існують три види відношення сумісності понять:

а) рівність обсягів понять; б) переріз обсягів; в) підпоряд)

кованість обсягів .

а) У відношенні рівності (співпадання, тотожності) обсягів

перебувають поняття, які характеризують одні й ті самі предмети.

Наприклад, поняття “ромб з прямими кутами” (А) і “прямокутник з

рівними сторонами” (В) перебувають у відношенні співпадання

обсягів, бо відображають один предмет думки _ квадрат.

Відношення між поняттями зображають за допомогою кругів

Ейлера (чи діаграм Ейлера_Венна), де кожний круг зображає

обсяг певного поняття, а кожна внутрішня точка круга _ елемент,

що належить до обсягу даного поняття.

Тому відношення між поняттями А і В у вище на_

веденому прикладі можна зобразити з допомогою

такої діаграми, на якій обидва круги, що зобража_

ють обсяги понять А і В, співпадають. У цьому ви_

падку поняття А і В називають тотожними.

б) Якщо обсяги понять А і В мають деякі спільні елементи, то

говорять, що поняття перебувають у відношенні перерізу, або

часткового включення, а поняття називають перехресними.

Наприклад, поняття “ромб” і “прямокутник” перебувають у відно_

шенні перерізу, оскільки до обсягу кожного з цих понять нале_

жать спільні елементи, які є квадратами. Відношення між пере_

хресними поняттями зображають двома круга_

ми, що перетинаються. Заштрихованій частині

діаграми відповідає сукупність тих елементів, які

належать одночасно до обсягів обох понять.

Наприклад, якщо круг А _ обсяг поняття “ромб”, а круг В _

обсяг поняття “прямокутник”, то заштрихованій частині діагра_

ми відповідає множина квадратів.

А В

А В

12

в)Якщо обсяг поняття В повністю включається в обсяг по_

няття А, але в класі А є ще інші елементи, які не належать до

підкласу В, то говорять, що поняття В і А перебувають у відно)

шенні підпорядкованості. Наприклад, у цьому відношенні

перебувають поняття “прямокутник” і “паралелограм”, бо по_

няття “прямокутник” має обсяг, який є частиною обсягу понят_

тя “паралелограм”, тобто обсяг поняття “прямокутник” (В) вклю_

чається в обсяг поняття “паралелограм”(А). Відношення підпо_

рядкованості зображається діаграмою, на якій круг В розташо_

ваний всередині круга А.

В розглянутому прикладі круг А зображає обсяг

поняття “паралелограм”, круг В _ обсяг поняття

“прямокутник”, а частині круга А, що лежить поза

кругом В, відповідають ті види паралелограмів, які

не є прямокутниками.

Поняття (А), яке має більший обсяг і включає в себе обсяг

іншого поняття (В), називається підпорядковуючим. Поняття

(В), яке має менший обсяг, що становить частину обсягу іншо_

го поняття (А), називається підпорядкованим. Якщо у відно_

шенні підпорядкованості перебувають два загальні поняття, то

підпорядковуюче поняття називається родом, а підпорядко_

ване _ видом.

Наприклад, поняття “паралелограм” є родом, а поняття “пря_

мокутник” є видом. Поняття “рід” і “вид” мають відносний харк_

тер, оскільки одне й те саме поняття може бути одночасно ви_

дом по відношенню до більш загального поняття і родом по відно_

шенню до менш загального. Наприклад, поняття “прямокутник”

(В) _ це вид по відношенню до поняття “паралелограм” (А), але

це рід по відношенню до поняття “квадрат” (С). Відношення між

трьома підпорядкованими поняттями зображається діаграмою.

Поняття, обсяги яких не співпадають ні повністю,

ні частково, називаються несумісними. Існує 3

види відношення несумісності: а) співпідпорядко)

ваність (координація); б) протилежність (кон)

трарність); в) суперечливість (контрадик)

торність).

а) У відношенні співпідпорядкованості (координації)

перебувають два чи більше неперехресних понять, які підпо_

рядковані спільному для них поняттю. Наприклад, поняття

“трикутник”(В), “чотирикутник”(С), “п’ятикутник” (D) підпо_

А

В

А

С В

13

рядковані спільному поняттю “многокутни_

к”(А). Поняття, які підпорядковані спільному по_

няттю, називаються співпідпорядкованими.

Відношення співпідпорядкованості можна

зобразити діаграмою.

б)У відношенні протилежності (контрар)

ності) перебувають поняття, зміст одного з яких вміщує певну

ознаку, а зміст другого вміщує ознаку, несумісну їй. Такі поняття

називаються протилежними. Об’єднання обсягів двох проти_

лежних понять становить лише частину обсягу спільного для

них родового поняття, видами якого вони є і якому підпоряд_

ковані. Наприклад, відношення між поняттями кожної пари _ “тра_

пеція” і “паралелограм”, “просте число” і “складене число” є

відношенням протилежності (контрарності), бо поняття “тра_

пеція” і “паралелограм” підпорядковані родовому поняттю “чо_

тирикутник”, але об’єднання їх обсягів не вичерпує обсяг понят_

тя “чотирикутник”, оскільки існують ще чотирикутники з непара_

лельними сторонами. Так само поняття “просте число” і “скла_

дене число” є протилежними, оскільки вони підпорядковані

поняттю “ціле невід’ємне число” і об’єднання їх обсягів не ви_

черпує обсягу останнього, родового для них поняття.

Діаграма має вигляд, як і в попередньому ви_

падку, або ж у вигляді круга, розділеного на три

частини, з яких дві відповідають названим понят_

тям, а решта обсягу родового поняття _ не вказа_

на. Кругові відповідає родове поняття.

в)У відношенні суперечливості (контрадикторності) пе_

ребувають поняття, одне з яких характеризується наявністю, а

друге _ відсутністю однієї і тієї самої ознаки.

Обсяги двох супепречливих понять вичерпують обсяг ро_

дового поняття, якому вони підпорядковані. Наприклад, поняття

“парне число” і “непарне число”_ суперечливі, оскільки їх обся_

ги вичерпують обсяг родового поняття “натуральне число”.

Відношення між суперечливими поняттями зображаються

діаграмою, на якій круг, який відповідає родово_

му поняттю, поділяється на 2 частини, одна з яких

зображає обсяг позитивного поняття, а друга _

обсяг негативного поняття.

Відношення між поняттями можна зобразити

схематично.

А

В

D

C

А В

А не-А

14

Логічні операції з поняттями: узагальнення і обмеження

понять; означення понять.

Над поняттями можна виконувати певні логічні операції, в

основі яких лежить закон оберненого співвідношення між

змістом і обсягом поняття, а саме: узагальнення і обмеження,

означення понять та поділ понять.

Узагальнити поняття _ означає перейти від поняття з мен_

шим обсягом і більшим змістом до поняття з більшим обсягом

і меншим змістом.

Наприклад, узгальнюючи поняття “квадрат”, ми перейдемо до

родового для нього поняття “прямокутник”, якщо відкинемо ту

суттєву ознаку, яка є видовою для поняття “квадрат”. Очевидно,

що при цьому кількість ознак зменшилася, тобто _ зміст поняття

звузився, а обсяг розширився до обсягу поняття “прямокутник”.

Далі, продовжуючи операцію узагальнення, відкинемо суттєву,

видову ознаку прямокутника _ “рівність усіх кутів” і прийдемо до

поняття “паралелограм”, яке є родовим для прямокутника. При

цьому зміст ще більше звузився, а обсяг розширився. Поступово

цим способом можна узагальнити поняття до понять “чотирикут_

ник”, потім _ “многокутник”, потім _ “геометрична фігура” і т.д. Кожне

наступне поняття є родом по відношенню до попереднього. Із на_

П а р и п о н я т ь

З р ів н ю в а н і п о н я т т я Н е з р ів н ю в а н і п о н я т т я

С у м іс н і Н е с у м іс н і

П р о т и л е ж н і

п о н я т т я

(К о н т р а р н і)

А В

С п ів п ід п о -

р я д к о в а н і

п о н я т т я

А

В

D

C

П е р е х р е с н і

п о н я т т я ( В ід н о -

ш е н н я п е р е р із у

о б с я г ів п о н я т ь )

А В

Т о т о ж н і

п о н я т т я

( В ід н о ш е н н я

с п ів п а д а н н я

о б с я г ів п о н я т ь )

А В

П ід п о р я д к о в а н і

п о н я т т я (В ід н о - ш е н н я

в к л ю ч е н н я о б с я г у

о д н о г о п о н я т т я в

о б с я г ін ш о г о )

А

В

С у п е р е ч л и в і

п о н я т т я

(К о н т р а д и к т о р н і)

А н е А

15

веденого прикладу очевидно, що для утворення довільного ново_

го поняття шляхом узагальнення необхідно зменшити зміст вихід_

ного поняття, тобто відкинути видові ознаки.

Узагальнення поняття не може бути нескінченним процесом.

Найбільш загальними є поняття з гранично широким обсягом,

найчастіше це неозначувані поняття, які не мають родового по_

няття і які не можна узагальнити.

В розглянутому вище прикладі поняття “геометрична фігу_

ра” можна узагальнити до найширшого за обсягом, неозначу_

ваного поняття “множина точок”.

Друга операція _ обмеження поняття _ є операцією, проти_

лежною (зворотною) до операції узагальнення.

Обмежити поняття _ означає перейти від поняття з більшим

обсягом, але меншим змістом, до поняття з меншим обсягом,

але більшим змістом. Іншими словами, щоб обмежити поняття,

треба перейти від роду до виду, а отже, збільшити його зміст

шляхом приєднання видових ознак. Наприклад, обмежуючи по_

няття “многокутник”(А), ми переходимо до поняття “чотирикут_

ник”(В), а обмежуючи його, в свою чергу, переходимо до понят_

тя “паралелограм”(С), яке внаслідок обмеження приводить до

поняття “ромб”(D), а останнє після обмеження дає поняття “квад_

рат”(К). На кожному етапі обмеження до змісту поняття, що об_

межують, приєднується одна суттєва видова ознака, яка дозво_

ляє з родового поняття виділити видове. Шлях обмеження по_

няття є зворотнім до шляху уза_

гальнення поняття. Це очевид_

но і з діаграми, яка ілюструє

зв’язки між поняттями, по_

слідовно утвореними внаслідок

названих логічних операцій.

Логічні операції узагальнення і обмеження понять не слід

змішувати з мисленим переходом від частини до цілого та з

виділенням з цілого його частини. Наприклад, іноді допуска_

ють помилку, вважаючи, що внаслідок обмеження поняття “квад_

рат” дістанемо поняття “сторона” чи “кут”. Але кожне з цих по_

нять не є видом попереднього, яке в свою чергу не є родом для

виділених понять.

Крім узагальнення та обмеження понять, найбільш пошире_

ною є логічна операція означення понять. Це операція, яка

розкриває зміст поняття. Її називають ще дефініцією.

A

B Шлях обмеженння понять

C

D

K

Шлях узагальнення понять

16

Оскільки зміст поняття _ це сукупність суттєвих ознак пред_

метів, об’єднаних певним поняттям, то розкрити зміст поняття

або ж виконати логічну операцію означення поняття означає

вказати всi його суттєвi ознаки.

Поняття, змiст якого потрiбно розкрити, називається озна)

чуваним (дефiнiєндум). Поняття, через яке розкривається

змiст означуваного поняття, називається означаючим

(дефiнiєнс).

Означуване поняття символічно позначають Dfd (лат.

definiendum), а означаюче – Dfn (definience).

Означення, яке розкриває суттєві ознаки предмета і скла_

дається з означуваного та означаючого понять, називають яв)

ним (реальним). До явних означень належать атрибутивно)

реляційні (лат. attribution – ознака, relativus _ відношення), ге)

нетичні та операційні.

Крім явних означень, в логіці виділяють неявні означен_

ня, до яких належать звичайні контекстуальні, остенсивні

та аксіоматичні.

Всі види означень характеризуються способами, які дозво_

ляють розкрити зміст поняття.

Способи означення понять. Правила означення.

Найпоширенiшим способом означення понять є означен_______)

ня через рід i видову вiдмiннiсть.

Цей спосiб означення включає в себе два прийоми:

1) пiдведення означуваного поняття пiд ширше за обсягом _

родове поняття (рiд) i 2)видiлення видової ознаки, тобто

такої ознаки, яка дозволяє вiдрiзнити означуваний предмет (вид

цього роду) вiд iнших видiв, якi входять до даного роду.

Наприклад: “Ромбом називається паралелограм, в якого всi

сторони рiвнi”. В цьому означеннi поняття “ромб” _ означуване

(дефiнiєндум), а поняття “паралелограм” _ означаюче

(дефiнiєнс), i є родовим поняттям вiдносно поняття “ромб”. А

поняття “ромб” є видовим вiдносно поняття “паралелограм”,

яке в змiстi мiстить деякi ознаки поняття “ромб”. Ознака “всi

сторони рiвнi” _ є видовою ознакою поняття “ромб”, яка вiдрiзняє

ромби вiд нерiвностороннiх прямокутникiв та вiд

нерiвностороннiх нерiвнокутних паралелограмiв.

Означення через рiд i видову ознаку (вiдмiннiсть) символiчно

записують так: A=Bc, де A _ означуване поняття (Dfd), B _ родове

17

поняття, тобто означаюче (Dfn), а с _ видова ознака. Тому це

означення записують ще так:

Dfd≡Dfn⋅c.

Iнодi при означеннi понять цим способом вказують не одну,

а двi чи бiльше ознак. Це буває тодi, коли вказується в означеннi

не найближче родове поняття, а бiльш вiддалене. Наприклад,

якщо поняття “ромб” означити через бiльш вiддалене родове

поняття “чотирикутник”, то необхiдно вказати двi ознаки:

1)наявнiсть двох пар паралельних сторiн та 2)наявнiсть всiх

рiвних сторiн. Внаслiдок чого означення ромба матиме вигляд:

“Ромб _ це чотирикутник, в якого протилежнi сторони по_

парно паралельнi i всi сторони рiвнi”.

Однак логiчно правильне означення цим способом повинно

вмiщувати найближче родове поняття, з якого за однiєю видо_

вою ознакою видiляють нове, видове, поняття. Означення че_

рез рiд i видову вiдмiннiсть називають класичним i широко зас_

тосовують в усiх науках, i, в першу чергу, в математицi.

Оскільки в таких означеннях видовою ознакою виступає пев_

не відношення між елементами об’єкта, то ці означення прий_

нято називати атрибутивно)реляційними. Так у вище наведе_

ному означенні ромба видовою ознакою є “відношення рівності

його сторін”.

Iнший спосiб означення понять, який широко використовуєть_

ся в математицi, — це генетичний (вiд грецького слова генеуйт _

походження, джерело).

Генетичне означення ______ це таке означення, в якому вказуєть_

ся на походження предмета чи спосiб його утворення.

Наприклад: “Конус _ це геометричне тiло, утворене обертан_

ням прямокутного трикутника навколо свого катета”. Аналогiчно

означають в геометрiї цилiндр, кулю.

Генетичне означення, як i означення через рiд i видову

вiдмiннiсть, має таку саму логiчну структуру i пiдлягає тим са_

мим правилам.

Крім означень через рід і видову відмінність та генетичних

означень, у математиці та інших природничих науках викори_

стовують операційні означення. В операційних означеннях

понять вказують, яку операцію слід виконати, щоб розпізна_

ти предмет.

Наприклад: “Кислота – це рідина, при зануренні в яку лакму_

совий папірець набуває червоного кольору”.

18

В математиці є ряд понять, означення яких є операційними.

Наприклад: “Коренем n_го степеня з числа а називається таке

число в, яке при піднесенні до n_го степеня дає число а”.

Символічно записують так:

na=b⇔bn =a

Аналогічно означають поняття логарифма:

logab=c⇔ac=b;

В гуманітарних науках широко використовуються звичайні

контекстуальні означення, тобто такі, коли з деякого уривка кон_

тексту певного тексту можна судити про предмет і його ознаки.

Остенсивне (лат. ostendo _ показую) – це означення, яке

розкриває значення чи суть терміну, що позначає поняття, шля_

хом демонстрації відповідного предмета.

Наприклад, при ознайомленні з креслярським інструментом

циркулем демонструють циркуль, вказують його будову і спосіб

роботи з ним. Або ж при ознайомленні з криміналістичною тех_

нікою демонструють слідчі комплекти_прилади для виявлення,

фіксації і зняття слідів, відбитків пальців, інструменти для фото_

графування тощо.

І в природничих, і в гуманітарних науках остенсивні означен_

ня (демонстрування предметів) використовують досить часто.

Аксіоматичні – це такі означення, коли зміст деякого понят_

тя розкривається шляхом формулювання системи аксіом.

Наприклад, поняття “натуральне число” означається в ариф_

метиці системою чотирьох аксіом, сформульованих італійсь_

ким математиком Д. Пеано.

Так само в геометрії відомі системи аксіом Евкліда, Вейля,

Лобачевського.

Зауважимо, що в математицi, крiм класичних способiв

означення понять, iснує спосiб означення через узгоджен_

ня, який використовують в алгебрi та в арифметицi i який

має вигляд певних формул.

Наприклад:

1) означення нульового степеня, вiд’ємного степеня числа a:

a0=1 (a≠0); a

a

n

n

− = 1

(a≠0);

19

2)означення n_факторiал: n!=1•2•3• .... •n; 0!=1.

Отже, класифікацію означень понять залежно від способів

означення можна проілюструвати схемою:

Iстиннiсть означення обумовлюється вiдповiднiстю вказаних

в ньому ознак дiйсним ознакам означуваного предмета.

Є чотири логiчнi правила означення понять, дотримання

яких забезпечує правильнiсть структури означення.

Розглянемо цi правила.

1) Означення повинно бути вичерпним: А=Вс. Це означає,

що обсяг (А) означуваного поняття вичерпує обсяг предметiв

означаючого поняття (В), яким притаманна видова ознака с.

2) Означення понять не повинно мiстити тавтологiї,

тобто означаюче поняття не може повторювати означу_

ване поняття. Наприклад:“Прямим кутом називається кут,

утворений перпендикулярними прямими” i “Прямi нази_

ваються перпендикулярними, якщо вони утворюють пря_

мий кут”.

3) Означення повинно бути ясним, тобто в ньому ма_

ють бути вказанi вiдомi ознаки, якi не потребують озна_

чення чи роз’яснення i не мiстять двозначностi.

4) Означення не повинно бути запереченням.

Дотримання вказаних правил забезпечує створення

системи структурно логiчно правильних означень понять.

Однак, оскiльки кожна математична теорiя, як i кожна на_

ука, оперує скiнченним числом понять, то всi поняття не

можуть бути означуваними, бо в протилежному разi мали

б нескiнченну кiлькiсть понять. Тому є сукупнiсть понять,

якi вважаються початковими (вихiдними) i не означають_

ся через iншi вiдомi вже поняття. Такi поняття називають_

ся неозначуваними або первiсними. Змiст таких понять

розкривається описом на конкретних прикладах, i засво_

юються вони iнтуїтивно, на основi повсякденного досвiду.

Означення

Явні Неявні

атрибу_

тивно_

реляційні

генетичні операційні

звичайні

контексту_

альні

остен_

сивні

аксіома_

тичні

20

Прикладами неозначуваних понять є поняття “точка”,

“пряма”, “площина”, “множина”, “величина” та iн.

Подiл обсягу поняття. Класифiкацiя понять.

Подiл обсягу поняття (лат. devisio) _ це логiчна операцiя,

яка полягає в тому, що предмети, вiдображенi в даному

поняттi, дiляться на види.

Мислена операцiя, в результатi якої розбивається об_

сяг поняття, називається подiлом обсягу поняття. Те по_

няття, обсяг якого дiлять, називається дiленим (totum

dividendum), а тi поняття, якi дiстаємо в результатi подiлу,

називаються членами подiлу (membra divisionis). Поняття,

обсяг якого дiлиться, є родовим, а новi поняття, утворенi в

результатi подiлу, є видовими вiдносно даного роду.

Коли проводимо подiл обсягу родового поняття на

видовi поняття, то шукаємо тi ознаки, якi притаманнi од_

ним видам i якi не зустрiчаються в iнших видах.

Ознака, за якою проводять подiл обсягу родового понят_

тя на види, називається основою подiлу (principium divisionis).

Видове поняття, отримане в результатi подiлу обсягу понят_

тя, в свою чергу можна дiлити на пiдвидовi поняття.

Узагальненням операцiї подiлу обсягу понять є

операцiя класифiкацiя. Класифiкацiя (лат. _ classis _ роз_

ряд, faсio _ роблю) _ це розподiл предметiв певного роду

на класи за суттєвими ознаками, притаманними предме_

там даного роду, причому кожен клас займає в отриманiй

системi певне мiсце i, в свою чергу, дiлиться на пiдкласи.

В символiчнiй формi означення класифiкацiї можна пода_

ти з теоретико_множинних позицiй так: класифiкацiя )

це розбиття множини M на непорожнi пiдмножини (кла_

си) К1, К2, ..., Кn, якi попарно не перетинаються, але в

об’єднаннi становлять дану множину. Це означає, що

класифiкацiя є процесом утворення непорожнiх пiдмножин

множини М, якi задовольняють таким вимогам:

1) K1⊂M, K2⊂M, ... , Kn⊂M, або коротше, Кi⊂М, де

i=1,2,...,n;

2) Кi≠∅, i=1,2,...,n;

3) Кi∩Кj=∅, де i≠j; i, j=1,2,...,n;

4) K1∪K2∪...∪Kn=M, або Ki M

i

n

=

=

1

U .

21

Наприклад, за ознакою(S) _ “парнiсть натурального

числа” _ множину натуральних чисел (N) можна розбити

на 2 класи _ парних (P) i непарних ( P ) чисел. Цю

класифiкацiю можна зобразити деревовидною схемою:

На схемi виконуванiсть ознаки S (натуральне число х

дiлиться без остачi на 2, тобто парнiсть числа) позначають

стрiлкою, яка супроводжується знаком “+”, а невиконуванiсть

ознаки _ стрiлкою iз знаком “−“.

Якщо класифiкацiя виконана за однiєю ознакою, то схема,

яка її iлюструє, _ одноярусна. Якщо виконують розбиття за дво_

ма ознаками, то вiдповiдна їй схема _ двоярусна, причому спо_

чатку виконують розбиття за першою ознакою (S1), а потiм ко_

жен, або деякi чи хоча б один з утворених внаслiдок першого

розбиття класiв, розбивають за другою ознакою (S2). Класи,

одержанi пiсля другого розбиття, характеризуються двома оз_

наками одночасно.

Якщо в результатi розбиття отримують два класи, то

класифiкацiю називають дiхотомічною (грец. dicha _ два, tome

_ роздiляю). Якщо ж отримують три i бiльше класiв, то

класифiкацiя недiхотомiчна.

Схема дiхотомiчної класифiкацiї,

виконаної за двома ознаками S1 та S2

має вигляд:

1) A⊂M,A⊂M,AIA=∅,AUA=M,

A={xx∈M,S1(x)},

A={xx∈M,S1(x)}.

2) K1 ⊂A, K2 ⊂A,

K1 ∩K2 = ∅, K1 ∪K2 = A;

S

+ −

Натуральні числа (x∈N)

Парні числа (P) Непарні числа (P )

S 1

+ −

S 2 S 2

+ − + −

M

A A

K 1 K2 K 3 K4

22

М

В

B

K3⊂A,K4⊂A;

K3∩K4=∅,K3∪K4=A.

Класи К1, К2, К3, К4 при цьому задаються описом так:

{ } { }

{ } { }

K xx M S x S x K xx M S x S x

K xx M S x S x K xx M S x S x

1 1 2 2 1 2

3 1 2 4 1 2

= ∈ ∧ = ∈ ∧

= ∈ ∧ = ∈ ∧

, ( ) ( ) , , ( ) ( ) ,

, ( ) ( ) , , ( ) ( ) .

Класифiкацiю, виконану за двома ознаками, зображають

таблицею з двома входами, в якiй у верхньому горизонтальному

рядi записують класи, утворенi в результатi розбиття множини

М за першою ознакою, а в лiвому вертикальному стовпцi _ класи,

утворенi в результатi розбиття множини М за другою ознакою.

В клiтинах таблицi записують класи, утворенi внаслiдок попарних

перерiзiв класів, виділених за кожною з ознак S1 і S2.

Якщо б таку класифікацію зобразити діаграмами Ейлера_Венна,

то побудову діаграми слід виконувати в такій послідовності:

а) спочатку круг М, який зображає обсяг родового поняття М,

розділяють на дві частини за ознакою S1 так, що

частині А відповідають ті елементи з множини М, які

володіють ознакою S1, а частині A −ті елементи з

множини М, які не володіють ознакою S1. Таким чином

за ознакою S1 утворюють два видові поняття А і A .

б) Потім круг М розділяють по_іншому на дві

частини В і B за ознакою S2, тобто, не зважаючи на

результати попереднього розбиття, розбивають

множину М за ознакою S2 на класи B і B .

в) Нарешті, накладаючи одну діаграму на другу,

отримують 4 частини круга М, тобто чотири класи, які є

попарними перерізами класів, утворених в результаті двох

попередніх класифікацій. Кожен з класів характеризується двома

ознаками S1 і S2 одночасно _ відсутністю чи наявністю кожної з

них. Діаграма має вигляд:

S 1

S2

A A

B K 1=A∩ B K 3= A ∩ B

B K2=A∩ B K4= A ∩ B

М

А A

23

Класи записують так:

К1=А∩B={xx∈M, S1(x)∧S2(x)},

K2,K3,K4 −можна записати

аналогічно.

Побудову діаграми класифікації за

двома ознаками можна виконувати в

іншій послідовності, внаслідок чого

діаграма матиме інший вигляд. Для

цього

1) спочатку із обсягу поняття М (круга М) за першою ознакою

(S1) виділяють клас А тих елементів, яким притаманна ознака S1,

і зображають круг А всередині круга М. Очевидно, що доповнення

круга А до круга М зображає обсяг поняття A – клас елементів,

яким ознака S1 не притаманна. A = М\А (Читають: “М без А”.)

2) Не звертаючи уваги на круг А, із обсягу поняття М (круга М)

виділяють за другою ознакою (S2) клас В, яким притаманна

ознака S2. Круг В зображають на тій самій діаграмі так, щоб він

перетинався з кругом А, оскільки існують елементи, які

володіють ознакою S1 і ознакою S2.

Доповнення круга В до круга М ілюструє обсяг поняття B –

клас елементів, яким ознака S2 не притаманна: B = М\В.

3) Аналізують отриману діаграму: кожній

окремій частині круга М ставлять у

відповідність клас елементів, який

характеризується обома ознаками S1 та S2.

Наприклад, частина К2 ілюструє клас тих

елементів з множини М, які володіють

ознакою S1 і не володіють ознакою S2.

Символічно записують так: К2 = {x/x є М, S1(x) ∧S2(x)}

Аналогічно записують інші класи К1, К3, К4.

Зразки розв’язування вправ з теми: “Поняття як форма

мислення”.

Завдання 1. Перелічити деякі властивості (ознаки), які ста_

новлять зміст поняття “прямокутник”.

Розв’язування. В зміст поняття “прямокутник” входять, по_

перше, ті ознаки, які вказані в його означенні: “Прямокутником

М

K1= K3=

= A∩B = A ∩B

K2= K4=

= A∩ B = A ∩B

М

А В

К1

К2 К3

К4

24

М

Т

називається паралелограм, в якого є прямий кут”. Отже, видо_

ва ознака прямокутника, яка виділяє його серед усіх паралелог_

рамів, є “наявність прямого кута в паралелограма”. По_друге,

оскільки родовим поняттям для поняття “прямокутник” є по_

няття “паралелограм”, то всі суттєві ознаки його входять в зміст

поняття “прямокутник”, зокрема, ознака, вказана в означенні

паралелограма, та ознаки, які доводяться як теореми: “пара_

лельність протилежних сторін”, “рівність протилежних сторін”,

“рівність протилежних кутів”, “рівність суми кутів, що приляга_

ють до однієї сторони 1800”, “поділ пополам діагоналей пара_

лелограма точкою їх перетину”, “рівність трикутників, на які діа_

гональ поділяє паралелограм”, “наявність центра симетрії”, “на_

явність чотирьох кутів, сторін, вершин” і ін. Отже, перелічені оз_

наки становлять зміст поняття “прямокутник”.

Завдання 2. Обгрунтувати, що поняття “многокутник” є уза_

гальненням поняття “трикутник”.

Розв’язування. Позначимо обсяг поняття “трикутник” буквою

Т, а обсяг поняття “многокутник” буквою М. З’ясуємо, чи обсяг

поняття “трикутник”_ множина Т −є власною підмножиною обсягу

поняття “многокутник” −множини М. За означенням власної

підмножини треба, щоб кожен елемент множини Т був і

елементом множини М. Оскільки висловлення “Кожний

трикутник є многокутником” істинне, то і висловлення “всі

трикутники є многокутниками”_ істинне. Отже, Т⊂М.

З другого боку, оскільки висловлення “Не кожен многокутник

є трикутником” також істинне, то це означає, що обсяг поняття

“многокутник” є ширшим, ніж обсяг поняття “трикутник”, а отже,

поняття “многокутник” є узагальненням поняття “трикутник”.

Співвідношення між обсягами цих понять ілюструється

діаграмою Ейлера_Венна:

З неї очевидно, що

1) кожний трикутник є многокутником, але

не кожний многокутник є трикутником;

2) обсяг поняття “трикутник” вужчий, ніж

обсяг поняття “многокутник”;

3) у зв’язку з цим зміст поняття “трикут_

ник” ширший, ніж зміст поняття “многокутник”;

4) поняття “многокутник” є узагальненням поняття “трикут_

ник” (стрілка йде в напрямі від центра круга назовні).

25

Завдання 3. Наведіть означення бісектриси кута. Вкажіть

родове поняття і видову ознаку.

Розв’язування: Означення: “Бісектрисою кута називається

промінь, який виходить з вершини кута і ділить його пополам.”

В цьому означенні родове поняття _ “промінь”, а видова оз_

нака _ “виходить з вершини кута і ділить його пополам.”

Видова ознака має кон’юнктивну структуру, тобто являє

собою кон’юнкцію двох ознак S1: “виходити з вершини кута” і

S2: “ділити кут пополам”. S1∧S2.

Завдання 4. В якому відношенні перебувають поняття “рівно_

сторонній трикутник” і “правильний трикутник”. Зобразіть відно_

шення між обсягами цих понять діаграмою Ейлера_Венна.

Розв’язування_______. Ці поняття тотожні або еквівалентні, бо в зміст

кожного поняття входять одні й ті самі ознаки: “наявність трьох

рівних сторін”, “наявність трьох рівних кутів” і т.д. Обсяги цих

понять співпадають. Отже, діаграма Ейлера_Венна має вигляд:

де Р _ обсяг поняття “рівносторонній трикутник”,

а S _ обсяг поняття “правильний трикутник”.

Завдання для самостійної роботи:

1. Зобразіть відношення між обсягами вказаних понять за

допомогою діаграм Ейлера_Венна:

а) натуральне число; ціле число; від’ємне число;

б) квадрат; ромб з прямим кутом;

в) трапеція; прямокутна трапеція; рівнобедрена трапеція;

нерівнобедрена непрямокутна трапеція.

2. Назвіть родове поняття для кожної групи понять:

а) квадрат, ромб, трапеція;

б) коло, круг, відрізок, многокутник;

в) пряма, крива, ламана;

г) дерева, кущі, трави.

3. Назвіть три поняття, кожне з яких є родовим поняттям до

поняття “прямокутник”. Яке з них є найближчим родом?

4. З’ясуйте, в якому з наведених нижче випадків істинне вис_

ловлення: “поняття В є узагальнення поняття А”

а) А _ “відрізок”; В _ “пряма”;

б) А _ “промінь”; В _ “пряма”;

P S

26

в) А _ “птах”; В _ “тварина”;

г) А _ “коло”; В _ “круг”;

д) А _ “многокутник”; В _ “прямокутник”;

е) А _ “прямокутник”; В _ “паралелограм”.

5. Чи тотожні поняття:

а) число і цифра;

б) коло і круг;

в) пряма і відрізок;

г) вираз і значення виразу;

д) коло і межа круга?

6. Наведіть означення понять:

а) чотирикутник; б) ромб; в) прямокутник; г) квадрат; д)

рівнобедрений трикутник; е) рівносторонній трикутник; є) тра_

пеція; ж) неперервна функція; з) диференціал; и) первісна; і)

еластичність функції.

Вкажіть спосіб означення кожного з понять.

Виділіть в тих означеннях, де це можливо, родове поняття і

видову ознаку.

7. Дайте означення квадрата і назвіть кілька властивостей, які вхо_

дять в зміст його і випливають з означення та з родового поняття.

8. Перелічіть ознаки, спільні для поняття “прямокутник” та

поняття “квадрат”.

9. В якому відношенні перебувають обсяги понять “прямокут_

ник” і “квадрат”? В якому відошенні перебуває зміст цих понять?

10. Які з понять є сумісними, а які несумісними: А _ парне

число, В _ непарне число, С _ число, кратне трьом, Д _ одноциф_

рове число, Е _ двоцифрове число?

11. Наведіть приклади понять таких, що одне поняття є ро_

довим по відношенню до другого і видовим по відношенню до

третього.

12. За властивістю “мати прямий кут” виділіть підмножину із

множини всіх трикутників.

13. Зобразіть діаграмою Ейлера_Венна відношення між об_

сягами понять: А _ рівнобедрений трикутник;

В _ прямокутний трикутник; С _ тупокутний трикутник.

14. Виконайте класифікації понять за певними ознаками: а)

класифікацію трикутників за кутами; б) класифікацію трикутників

за сторонами; в) класифікацію паралелограмів за рівністю

сторін та наявністю прямих кутів; г) класифікацію чисел за по_

дільністю їх на 3; 5; 7; 10.

27