52 Вопрос. Возрастание и убывание функции в точке.

53 Вопрос. Понятие локального экстремума функции. Необходимое условие.

Локальный экстремум функции.

DEF. Точка называется точкой строгого локального Максимума (минимума) функции f(x), если для всех X из некоторой дельта окрестности точки выполняется неравенство

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный (от латинского слова locus - место) характер в том смысле; что неравенство может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки . На множестве Х функция может иметь несколько локальных минимумов, причем может случиться так, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

Необходимое условие локального экстремума Теорема. Если функция f(х) имеет в точке локальный.экстремум И дифференцируема в этой точке, то f'( )= 0. Доказательство Так как в точке функция f(x) имеет локальный экстремум, то существует такой интервал ( -дельта; +дельта, в котором значение f( )является наибольшим или наименьшим среди всех других значений этой функции. Тогда по теореме Ферма производная функции в точке равна нулю, т.е. f'( ) = 0.

Эта теорема имеет следующий геометрический смысл. Если точки Х1,Х2, точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти Х касательные параллельны оси OX.

Точки, в которых f'(x) = 0 называют стационарными или точками возможного экстремума- Если точка является точкой возможного экстремума, т.е. f'( ) = 0, то она может и не быть точкой •локального максимума или минимума.

54 Вопрос. Теорема Ролля.

Теорема (теорема Ролля). Пусть на [a,b] определена функция f(x), причем:

1) f(x) непрерывна на [a,b];

2) f(x) дифференцируема на (a,b)

3)f(a)=f(b)

Тогда существует точка-спринадлежит(а,b), в которой f'(c) =0-

Доказательство.

Так как функция f{x) непрерывна на [а, b], то она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение т, т.е. существуют такие точки х1,х2[а,b], что f(х1)=m, f(x2)=М, и вьполняются неравенства .

Возможны два случая: 1) т = М ; 2) т < М .

.В первом случае f(x)=const = m = М . Поэтому производная f’(х) равна нулю в любой точке [а, b], и теорема доказана.

Во тором случае так как f(а) = f(b), то хотя бы одно из двух •значений М и m, не принимается на концах отрезка [а, b], т.е. существует точка с принадлежит (а,b), в которой функция f(х) принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале (а, b). В этом случае, так как f(x) дифференцируема в точке С, из теоремы ферма следует, что f'(с) =0. Теорема доказана.

Теорема Ролия имеет простое геометрическое истолкование:

Между двумя точками кривой, заданной уравнением у = f(x) (где функция f(x) непрерывна на отрезке (a,b) и дифференцируема внутри этого отрезка), с равными ординатами всегда найдется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная к кривой параллельна оси OX .

Следует отметить, что в теореме Ролля требуется, чтобы. функция у = f(x) была непрерывна на отрезке [а, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Так как из дифференцируемости функции f(x) в интервале (а,b) вытекает непрерывность ее в этом интервале, то по существу вместо непрерывности на отрезке [а,b] можно было бы потребовать непрерывность, функции у =f(x) в точке а справа и в точке b слева.

Следствие : Если функция f(x) определена, непрерывна на отрезке [а,b], дифференцируема, по крайней мере, в интервале (а,b), то между двумя нулями функции лежит хотя бы один нуль производной.