27 Вопрос. Теорема об арифметических свойствах непрерывных ф-циях.

Теорема об арифметических свойствах непрерывных функций Пусть функции f(X) и g(x) непрерывны в точке . Тогда функции , , также непрерывна в этой точке (частное при )

Доказательство:

Так как .функция f(x) непрерывна в точке , то , аналогично, для непрерывной функции g(x-): .

Тогда по теореме о пределах функции, , , существуют и равны соответственно , , . Но эти величины равны соответствующим значениям функции в точке . Следовательно, по 1 определению непрерывной функции , , непрерывны в точке .

28 Вопрос. Теорема об устойчивости знаков непрерывной функции.

Пусть функция у = f(х) задана на множестве Х, непрерывна в точке и значение в точке f( )не равно 0. Тогда существует положительное число дельта такое, что для всех х принадлежит функция имеет тот же знак, что и в точке .

Доказательство. (график см. Тетрадь тема: основные св-ва непрерывной ф-ции, 1 вопрос)

Пусть для определения f( ) >0. Тогда, в силу определения непрерывности функции для любого эпсилон > 0 можно найти такое дельта >0 , что для всех х, удовлетворяющих неравенству |Х-Х(0) |<дельта выполняется .неравенство |f(x)—f(Xo)|<эпсилон.

Запишем последнее неравенство в виде f( )-эпсилон < f(x)< f(Xo) +эпсилон, оно вьполняется для всех .Возьмем , тогда получим, что для всех f(x) > 0. Что и требовалось доказать.

Если f(хо)<0, то рассмотрим функцию -f(x). Тогда -f(Хо)>0 И по только что доказанному существует дельта — окрестность точки , в которой — f(x) > 0. Следовательно f(х) < 0. Теорема доказана.

29 Вопрос. Первая теорема Больцано-Коши.

(теорема о прохождении функции через нулевое значение при смене знаков).

Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [а,b] и на концах сегмента имеет значения разных знаков (F(a)*f(b) < 0). Тогда существует точка с принадлежит (a, b) в которой f(c) =0.

Доказательство.

Пусть для определенности f(а)<0 и f(b)> 0, Разделим сегмент [а,b] пополам. Если значение функции в середине сегмента [а,b} равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных сегментов, на концах которого функция имеет значения разных знаков. Обозначим его через [a1,b1}. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на К-том шаге значение функции в середине сегмента [ak,bk] окажется равным нулю и теорема доказана. Либо получим последовательность ]--' вложенных сегментов, причем и на концах каждого сегмента [аn,bn] функция имеет значения разных знаков. По теореме о вложенных отрезках существует точка с принадлежащая всем сегментам.

Докажем, что f(с)=О. Предположим противное. Пусть f(с) > 0, тогда по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует дельта - окрестность точки с, в которой f(с) > 0, В эту окрестность при достаточно большом n в эту окрестность попадает сегмент [an„ bn]. Следовательно, на [an,bn] будет выполняться неравенство f(x)>0, a это противоречит тому, что на концах [an,bn] функция имеет значения разных знаков- Мы пришли к противоречию. Аналогично, показывается, что f(с) не может иметь отрицательное значение. Следовательно f(с)= 0.