15. Интервальная оценка математического ожидания. Распределение Стьюдента. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Интервальная оценка математического ожидания для случая известной дисперсии. Точечная оценка не позволяет определить, с какой вероятностью полученная величина оценки соответствуют истинному значению характеристики генеральной совокупности. Чтобы ответить на этот вопрос вводят понятие интервальной оценки.

Пусть - истинное среднее генеральной совокупности, - точечная оценка Error: Reference source not found. Введем доверительный интервал

(0.0)

где - некоторое произвольное число, назначенное исследователем. Введем также доверительную вероятность как вероятность того, что истинное значение среднего попадет в записанный выше доверительный интервал, т.е.

(0.0)

 Чтобы вычислить перейдем от абсолютных величин и к ошибкам в определении среднего для чего вычтем из всех частей неравенства (0.0). В результате получим

(0.0)

Подставим в последнее соотношение и с учетом того, что величина выборочного среднего распределена по нормальному закону ,

. (0.0)

Отсюда

(0.0)

Здесь - интеграл вероятности, который имеет вид

(0.0)

Доверительные интервалы некоторых выборочных распределений.

1. Доверительный интервал для выборочного среднего арифметического значения измеряемой величины при известной дисперсии .

а) Случайная величина Х (результат наблюдения) имеет нормальное распределение с параметрами m_X и Выборочное распределение оценки среднего значения , также нормально распределено и имеет те же мат. ожидание и дисперсию.

Если границы доверительного интервала , то доверительный интервал , где Z – квантиль нормированного распределения Лапласа. Результат измерения: = .

б) Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

При возрастании объема выборки n выборочное распределение среднего значения выборки стремится к нормальному распределению независимо от вида распределения исходной величины.

2. Доверительный интервал для выборочного среднего значения измеряемой величины при неизвестной дисперсии.

Результаты Х – распределены по нормальному закону со средним значением m_X. Дисперсия неизвестна.

Выборочное распределение среднего значения имеет распределение Стьюдента:

Доверительный интервал определяется через квантиль Стьюдента в заданном интервале, а результат записывается в виде:

3. Доверительный интервал для выборочной дисперсии и среднего квадратичного отклонения результатов наблюдений.

Случайная величина Х – распределена по нормальному закону со средним значением m_X и дисперсией

Дисперсия выборки объема n независимых значений случайной величины Х.

– распределение Пирсона с k степенями свободы. .

Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.