3. Описание содержания регрессионного анализа (формулировка проблемы, необходимые формулы).

В данной работе нам надо определить лучшее уравнение регрессии (функцию отклика), объясняющую вариацию сопротивления стеклоткани Y от вариации сопротивления X1 смолы и зазором валика X2.

Всего в данной работе мы рассмотрим 8 различных 8 уравнений регрессии вида:

1)Y=b0 + b1*x1;

2)Y=b0 + b1*x2;

3)Y=b0 + b1*x1 + b2*x2;

4)Y=b0 + b1*x1 + b2*x1*x2;

5)Y=b0 + b1*x1*x2 + b2*x2;

6)Y=b0 + b1*x1 + b2*x1^2;

7)Y=b0 + b1*x2^2 + b2*x2;

8)Y=b0 + b1*x1^2*x2^2.

Уравнения 1, 2, 8 отражают парную регрессию вида:

Y = b0 + b1*P;

Формулы расчёта коэффициентов регрессии для них следующие:

где P – единственный фактор формулы, M(P) – математическое ожидание:

Таблица 2. Интерпретация значений P

Номер формулы №	1	2	8
Значение P	X1	X2	X1*X2

Уравнения 3, 4, 5, 6, 7 отражают множественную регрессию от 2-х факторов вида:

Y = b0 + b1*P + b2*Q;

Для них уже следует вывести формулы коэффициентов регрессии.

Воспользуемся методом наименьших квадратов (МНК).

Функция потерь Q(b0,b1,b2) есть сумма квадратов отклонений переменной Y от функции отклика согласно модели. Наша задача – сделать её значение минимальным, что выполняется в точке её экстремума. Сама она ограничена снизу, значит, нужно построить множество формул производных Q(b0,b1,b2) от каждого из коэффициентов регрессии (по количеству этих коэффициентов). Каждая производная будет приравнена к нулю. После чего решаем полученную СЛАУ и находим b0, b1 и b2.

В нашем случае СЛАУ состоит из 3-х уравнений:

b0 + b1*M(P) + b2*M(Q) = M(Y);

b0*M(P) + b1*M(P^2) + b2*M(Q*P) = M(Y*P);

b0*M(Q) + b1*M(P*Q) + b2*M(Q^2) = M(Y*Q);

Таблица 3. Интерпретация значений под коэффициентами регрессии и их производных.

№	3	4	5	6	7
P	X1	X1	X1*X2	X1	X22
Q	X2	X1*X2	X2	X12	X2
P2	X12	X12	X12*X22	X12	X24
Q2	X22	X12*X22	X22	X14	X22
P*Q	X1*X2	X12*X2	X1*X22	X13	X23
Y	Y
Y*P	Y*X1	Y*X1	Y*X1*X2	Y*X1	Y*X22
Y*Q	Y*X2	Y*X1*X2	Y*X2	Y*X12	Y*X2

Переведём её в упрощённый вид:

b0 + b1*m1 + b2*n1 = z1;

b0*k2 + b1*m2 + b2*n2 = z2;

b0*k3 + b1*m3 + b2*n3 = z3;

Таблица 4. Перевод упрощённых значений в формуле.

Значение	m1	n1	z1	k2	m2	n2	z2	k3	m3	n3	z3
Перевод	M(P)	M(Q)	M(Y)	M(P)	M(P2)	M(Q*P)	M(Y*P)	M(Q)	M(P*Q)	M(Q2)	M(Y*Q)

Не будем вкладывать вывод формул, сразу выпишем решение коэффициентов:

Для дисперсионного анализа по всем 8-ми функциям отклика f составим некоторые уравнения:

TSS = Σ( (Y – f)² )/n;

RSS = Σ( (f – M(Y))² )/n;

ESS = Σ( (Y – M(Y))² )/n;

Тогда коэффициент детерминации равен

R² = 1 – ESS/TSS;

Коэффициент детерминации R² как критерий точности (относительно функции отклика) показывает отношение части вариации переменной Y за счёт воздействия вариации факторов, входящих в уравнение регрессии, к общей вариации переменной Y относительно математического ожидания.

Для проверки статистической значимости уравнений регрессии воспользуемся критерием Фишера.

H₀: R² = 0; - незначимость модели

H₁: R² > 0; - значимость модели

k – количество параметров модели, в случаях линейной регрессии

(парной – 1, множественной от трёх – 2);

N – количество измерений (во всех случаях 30);

Сравним полученное значение с Fкрит (1-α квантилем Распределения Фишера):

Если F >= Fкрит _1-α(k,n-k-1), то гипотеза H₀ «отвергается», и уравнение регрессии считаем статистически значимым, а значит в достаточной степени объясняющую зависимость.