1.3. Описание задачи статистического анализа (формулировка проблем, необходимые формулы, соответствующие варианту задания).

«По данным таблиц наблюдений для каждого ряда распределения необходимо:

1 Часть

1.1.Вычислить статистики (оценки) положения, рассеяния; коэффициенты асимметрии, эксцесса.

1.2.Подобрать аппроксимирующие кривые распределе­ния, используя нормальный закон распределения (дополнительно: используя любой другой закон распределения);

1.3.Проанализировать исходные данные и результаты расчётов, сделать предварительные (интуитивные) выводы, основываясь на практических вопросах задания.

2 Часть

2.1.Провести проверку статистических гипотез для всех статистик (оценок) и кривых распределения;

2.2.Провести сравнение результатов расчётов;

2.3.Ответить на практические вопросы задания (сделать выводы).»

В данной работе для расчёта характеристик выборки использовались встроенные средства Excel.

Мат. Ожидание (СРЗНАЧ()): M(X) = ( Σ(X_i) ) / n;

Дисперсия (ДИСП()): D(X) = Σ( (X_i-M(X))^2 ) / n-1;

Средне - Квадратичное Отклонение - СКО (КОРЕНЬ(ДИСП()): S(X) (иногда σ(X)) = КОРЕНЬ( D(X) );

Медиана (МЕДИАНА()): «значение в средине сортированной по возрастанию (убыванию) выборки при нечётном количестве элементов или среднее значение двух срединных при чётном»;

Размах: max(X)-min(X);

Коэффициент асимметрии: γ1=μ³/σ³;

Коэффициент эксцесса (ЭКСЦЕСС()): γ2=μ⁴/σ⁴-3;

(где μ^k – k-й центральный момент, ,

A – массив, N – частота, k - степень);

Мода – значение с максимальной частотой появления (согласно интервальному вариационному ряду выборки, в данном случае - её аналогу в excel-файле с результатами наблюдений) .

Для критерия согласия Пирсона (проверка выборки на нормальность) значение χ²: χ2 = Σ( ((P_i - Pn_i)^2)/Pn_i ),

где P_i – вероятность попадания в i-й интервал для распределения выборки, Pn_i – для нормального распределения, при равных матожиданиях и дисперсии.

Для проверки гипотезы о равенстве матожидания выборки некоторому значению A воспользуемся определением статистического критерия Z согласно Центральной Предельной Теореме (Ц.П.Т.)

Z(X)=корень(n)*(Xср-A)/СКО(X),

где Xср – выборочное среднее.

Составление статистических гипотез (С.Г.)

С.Г.№1. «сравнить различные технологические режимы и вы­брать из них тот, который обеспечивает заданный номинал R = 100 Ом с наибольшей точностью».

Заранее отметим, что если не все выборки окажутся нормальными, то мы сможем воспользоваться критерием Стьюдента с большой натяжкой.

Прежде всего, выясним, какие выборки удовлетворяют гипотезе о равенстве математического ожидания значению 100, для этого воспользуемся критерием Стьюдента для неизвестной (но вычислимой) несмещённой дисперсии.

Альтернативная гипотеза – о неравенстве этих значений.

H₀: M(X) = 100;

H₁ = ¬H₀: M(X) ≠ 100;

Если выяснится, что ни у одной выборки нет подавляющего большинства по количеству выборок, удовлетворяющих нулевой гипотезе (или ни одной из таких не окажется), то для оставшихся выборок с помощью того же критерия вычислим выборку с наименьшим Z(X).

С.Г.№2. «выбрать тип ткани А или В, который не влияет на точность процесса и заданный номинал» - при данной формулировке мы будем пользоваться двумя гипотезами: о равенстве матожиданий и дисперсий (внутри выборок для одной ткани).

Равенство матожиданий:

H₀: M(X1) = M(X2);

H₁ = ¬H₀: M(X1) ≠ M(X2);

Равенство дисперсий:

H₀: D(X1) = D(X2);

H₁ = ¬H₀: D(X1) ≠ D(X2);

Учтём, что точных оценок матожидания и дисперсий генеральных выборок (к которым принадлежат генеральные совокупности) мы не имеем (есть лишь их оценки). Поэтому сначала мы будем проверять сначала гипотезу о равенстве дисперсий, а затем (по итогам проверки) гипотезу о равенстве матожиданий.

Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий выборок (при оценочных матожиданиях) статистикой Z критерия выберем выражение (S1^2)/(S2^2) (большее делим на меньшее), с распределением «Z: f(z / H₀)» Фишера F(N₁-1,N₂-1). Примем гипотезу о равенстве дисперсий, если выполняется условие (S1^2)/(S2^2) < F_1-α/2(N₁-1,N₂-1). Во всех случаях будем рассматривать критерий как двухсторонний с уровнем значимости α=0.05.

Для проверки гипотезы о равенстве матожиданий выборок будем пользоваться двумя разными методами в зависимости от того, будет ли «доказано» равенство дисперсий выборок или нет. Во всех случаях критерий двухсторонний.

1. В случае принятия гипотезы о равенстве дисперсий статистика Z критерия будет равна:

(X1_ср-X2_ср)/(S0*корень(1/N1+1/N2)),

где S0 = корень( (N₁-1)*(S₁^2)/(N₁+N₂-2) + (N₂-1)*(S₂^2)/(N₁+N₂-2) ).

Распределение «Z: f(z / H₀)» - Стьюдента T(N₁+N₂-2).

Примем гипотезу, если:

(X1_ср-X2_ср)/(S0*корень(1/N1+1/N2)) < T_1-α/2(N₁+N₂-2).

2. В противном случае дисперсий статистика Z критерия будет равна:

|(X1_ср-X2_ср)|/( корень(1/N1+1/N2)),

Распределение «Z: f(z / H₀)» - Стьюдента T(k),

где k = ((S₁^2)/N₁ + (S₂^2)/N₂)^2 / ((S₁^2/N₁)^2/(N₁+1) + (S₂^2/N₂)^2/(N₂+1))

Примем гипотезу, если

|(X1_ср-X2_ср)|/( корень(1/N1+1/N2)) < T_1-α/2(k).

Значение α в обоих случаях зададим равным 0.05.

Ответом будет тип ткани, при котором выборки имеют большую долю равенств по дисперсиям и матожиданиям.

С.Г.№3. «определить, сколько опытов достаточно проводить, чтобы уверенно контролировать качество продукции.» - Здесь поступим следующим образом:

Примем условие, согласно которому матожидание выборки находится в пределах [99,5; 100,5] Ом. Статистический критерий Z(X) при выполнении условия равенства имеет нормальное распределение с нулевым матожиданием и единичной дисперсией.

Примем несмещённую оценку дисперсии выборки как истинную для генеральной совокупности, так как иначе критерий будет рассматриваться на подобие Т-распределения, для которого уже должен быть известен объём выборки.

Зная уровень значимости α, нам нужно из условия U_α/2<Z(X)<U_1-α/2 найти нужный целочисленный диапазон для n.

Фактически нам нужно найти такое n, чтобы выполнилась гипотеза H₀ при условии что критическая область матожидания содержит значения, отличающиеся от номинала 100 Ом не более чем на 0.5 Ом:

H₀: M(X) = 100;

H₁ = ¬H₀: M(X) ≠ 100;

Ответом будет максимальное значение из полученных (от всех выборок).