2.1.3. Предварительные выводы.

Можно сказать, что ближе всего к нормальному распределению (визуально) находится пятая выборка.

Режим N3, возможно, лучший по качеству режим, так как имеет намного меньшее СКО, чем N2 (на типе ткани A). После него по качеству стоит режим N2, показавший вдвое худшее СКО при почти равном матожидании на том же типе ткани. Хуже всего показал себя режим N1, имеющий второе по величине отклонение матожидания от номинала с наибольшей дисперсией на том же типе ткани.

Выборки по типу ткани A имеет более-менее близкие значения матожидания, чем B. Соответственно, можно предположить, что тип ткани A не влияет на качество продукции.

Точно можно предположить, что для уверенного контроля качества недостаточно 25-ти элементов выборки, так как при этом даже нельзя подобрать какой либо стабильный закон распределения. Её объём должен быть, предположительно, от 90 элементов и больше (основываясь на видах графиков распределения других, намного больших, выборок).

2.2.1. Расчёты 2 части.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении каждой из выборок вычислим значение χ² для каждого ИВР и сравним с табличным значением при 2-х уровнях значимости.

Таблица 2. Сравнение ИВР и аппроксимирующих гистограмм (по критерию Пирсона χ²).

Номер выборки	1	2	3	4	5
Объём выборки	100	125	90	25	160
Среднее значение	97,42	100,97	101,09	98,4	103
СКО	7,14	6,57	3,33	5,16	6,07
χ2 (вычисленное)	7,8619	21,3124	24,7575	15,7838	11,1087
χ2 при α=0,05	14,0671	14,0671	14,0671	14,0671	14,0671
χ2 при α=0,025	16,0128	16,0128	16,0128	16,0128	16,0128

Красным цветом обозначены табличные значения χ², которые не превосходят вычисленные значения χ² для каждой выборки (соответственно не позволяющие нам назвать данные выборки нормальными). Зелёным – наоборот, по которым гипотеза о нормальном распределении подтверждается.

Как мы видим, не все выборки являются нормальными, как и было сказано в теории. Интересно, что при уровне значимости 0,025 выборка, представленная на гистограмме №4, согласно критерию согласия Пирсона, является нормальной при том, что на взгляд этого подтвердить нельзя (возможно, сказался малый объём выборки – всего 25 элементов, при равном количестве интервалов).

С.Г.№1. «сравнить различные технологические режимы и вы­брать из них тот, который обеспечивает заданный номинал R = 100 Ом с наибольшей точностью».

Будем ориентироваться по номеру выборок по таблице 2.

Вычислим модуль статистики Z:

Z = Z(X) = |(M(X)-100)|/S(X); (|Z_α| = U_n-1,1-α/2, для распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы для каждой выборки, двухсторонняя).

Таблица 3. Сравнение критериальной статистики с критическими значениями.

Номер выборки:	№1	№2	№3	№4	№5
|Z|	3,6	1,66	3,1	1,55	6,23
Z0,05	1,98	1,98	2	2,06	1,98
Z0,025	2,36	2,36	2,39	2,49	2,36

Красным цветом обозначены критические значения Z_кр при различных уровнях значимости, которые были превышены статистикой критерия (соответственно гипотезу H₀ о равенстве матожидания значению 100).

В данном случае режим N2 (№2) и режим N1 (№4) удовлетворяют гипотезе H₀ о равенстве матожидания значению 100. При этом меньшее значение Z дала выборка №4 режима N=1, что идёт вразрез с предварительными выводами. Также стоит вспомнить, что выборка №4 состоит из 25 элементов. Однако согласимся с итогом практической проверки и будем считать режим N1 самым точным.

С.Г.№2. «выбрать тип ткани А или В, который не влияет на точность процесса и заданный номинал».

Здесь нам следует проверить 8 статистических гипотез – 3 на равенство матожиданий выборок ткани A, 3 на равенство их дисперсий, 1 на равенство матожиданий выборок ткани B, 1 на равенство их дисперсий. Напоминаем, что №1, №2, №3 выборки для ткани A, №4, №5 – для ткани B.

A:

1) H₀: D(X1) = D(X2); H₁: D(X1) ≠ D(X2);

2) H₀: D(X2) = D(X3); H₁: D(X2) ≠ D(X3);

3) H₀: D(X3) = D(X1); H₁: D(X3) ≠ D(X1);

4) H₀: M(X1) = M(X2); H₁: M(X1) ≠ M(X2);

5) H₀: M(X2) = M(X3); H₁: M(X2) ≠ M(X3);

6) H₀: M(X3) = M(X1); H₁: M(X3) ≠ M(X1);

B:

1) H₀: D(X4) = D(X5); H₁: D(X4) ≠ D(X5);

2) H₀: M(X4) = D(X5); H₁: M(X4) ≠ D(X5);

Начнём с проверки гипотез о равенстве дисперсий. Пользуясь данными таблицы 2 вычислим модуль значения статистики критерия и границы критической области (результаты уже приведены ниже):

Таблица 4. Проверка гипотез о равенстве дисперсий.

Гипотеза H0	Z=S12/ S22 (|S1|>|S2|)	F1-α/2(N1-1,N2-1)	Решение
D(X1) = D(X2);	1,18	1,25	Принять
D(X2) = D(X3);	3,89	1,25	Отвергнуть
D(X3) = D(X1);	4,6	1,25	Отвергнуть
D(X4) = D(X5);	1,38	1,73	Принять

Таблица 5. Проверка гипотез о равенстве матожиданий.

Гипотеза H0	S0	N1+N2 - 2	k	Z (σ1=σ2)	Z (σ1≠σ2)	T(N1+N2-2)	T(k)	Решение
M(X1) = M(X2);	6,83	213	-------	0,56	-----------	1,96	-------	Принять
M(X2) = M(X3);	------	--------	193,88	-----------	0,18	------------	1,28	Принять
M(X3) = M(X1);	------	--------	34,46	-----------	4,61	------------	2,04	Отвергнуть
M(X4) = M(X5);	5,96	188	-------	0,68	-----------	1,96	-------	Принять

Красным цветом обозначены опровергнутые гипотезы, зелёным – принятые.

Пустые ячейки предполагают, что в данном случае оценка некоторого значения не нужна.

Как мы видим, выборки по ткани B (№4 и №5) равны и по дисперсиям, и по матожиданию.

В то же время выборки по ткани A (№1, №2 и №3) имеют 2 опровергнутые гипотезы о равенстве дисперсий и 1 о равенстве матожиданий.

Будем считать, что ткань B не влияет на точность процесса и заданный номинал.

С.Г.№3. «определить, сколько опытов достаточно проводить, чтобы уверенно контролировать качество продукции.».

При α=0,05, μ = 100 (Ом) и | M(X) - μ |<=0,5 должно выполняться условие:

|корень(N)*|M(X) - 100|/S(X_ch)| > U_1-α/2;

Правая часть неравенства – расстояние границы доверительного интервала от центра распределения (в виде стандартного нормального распределения), предполагается, что при увеличении объёма выборки с некоторого минимального значения доверительный интервал также будет увеличиваться начиная с квантилей α/2 и 1-α/2.

Выборка №1: корень(N)*|100,5-100|/7,14 > 1,96.

N > ( 1,96*7,14/|100,5-100| )^2;

N > 784.

Выборка №2: корень(N)*|100,5-100|/6,57 > 1,96.

N > ( 1,96* 6,57/|100,5-100| )^2;

N > 664.

Выборка №3: корень(N)*|100,5-100|/3,33 > 1,96.

N > ( 1,96*3,33/|100,5-100| )^2;

N > 171.

Выборка №4: корень(N)*|100,5-100|/5,16 > 1,96.

N > ( 1,96*5,16/|100,5-100| )^2;

N > 410.

Выборка №5: корень(N)*|100,5-100|/6,07 > 1,96.

N > ( 1,96*6,07/|100,5-100| )^2;

N > 567.

Таблица 8. Минимальный объём выборки при α = 0,05 и отклонением матожидания от номинала - 0,5 Ом.

Номер выборки	1	2	3	4	5
Дисперсия S(X)	7,14	6,57	3,33	5,16	6,07
Рекомендуемый минимальный объём выборки	784	664	171	410	567

Зелёным цветом обозначено максимальное значение.

Учитывая, что в разных случаях значения объёма выходят разные (а ответ нужно выбрать один) возьмём за ответ максимальное из полученных значений, то есть 784.