§3. Числовая последовательность и ее предел

О. 1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность { }: ( ).

Другими словами, числовая последовательность — это функция натурального аргумента: .

При этом числа ( ) называются членами последовательности, число — общим или - м членом данной последовательности.

Примеры числовых последовательностей:

2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... (монотонная, неограниченная), (1)

1, 0, 1, 0, ... (не монотонная, ограниченная), (2)

0; , … (не монотонная, ограниченная). (3)

Чаще всего последовательность задается формулой ее общего члена, c помощью которой можно вычислить любой член последовательности. Так равенства: ; ; ; ; .

Задают соответственно последовательности:

(4)

(5)

(6)

(7)

О.2. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует число (число ) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству ( ).

О.3. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. если существуют числа и такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству .

О.4. Последовательность называется неограниченной, если для любого числа существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Легко видеть, что последовательности и – ограничены, а и – неограниченны.

Рассмотрим числовую последовательность

0; , …

Изобразим ее члены точками числовой оси.

Можно заметить, что члены последовательности с ростом близко приближаются к 1. При этом абсолютная ве­тчина разности становится все меньше и меньше. Дейст­вительно: , , , , …, , …. т.е. с ростом величина будет меньше любого очень маленького положительного числа.

О.5. Число называется пределом числовой последо­вательности , если для любого числа , существует такой номер , что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство .

Пример. Показать, что предел

Решение:

Число является пределом последовательности с общим членом .

О.6. Последовательность, имеющая предел, на­зывается сходящейся, в противном случае — расходящейся.

О.7. Последовательность называется возрастающей, если ; неубывающей, если ; убывающей, если ; невозрастающей, если

Все такие последовательности объединяются общим названием монотонные. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.

Свойства сходящихся последовательностей:

1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2.Сходящаяся последовательность ограничена. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.

3. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

О.8. Числом е называется предел числовой последовательности , то есть .

Это равенство называют вторым замечательным пределом.

Число (число Эйлера, неперово число) – иррациональное, его приближенное значение равно 2,72 (2,71828184459…). График функции получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными.