§4. Предел функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки . Возьмем из этой окрестности последовательность точек, отличных от : сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность , и можно говорить о существовании ее предела.

О.1. (по Коши). Число называется пределом функции при , стремящимся к (или в точке ), если для любого, даже очень малого числа , найдется такое число ( ), что для всех и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Обозначается .

Смысл определения предела функции в точке состоит в том, что для всех значений , достаточно близких к , значения функции мало отличаются от числа (по абсолютной величине).

О.2. (по Гейне). Число называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента , сходящейся к последовательность соответствующих значений функции сходится к числу .

Определение предела не требует существования функции в самой точке . То есть, рассматривая , мы предполагаем, что , но не достигает значения . Поэтому наличие или отсутствие предела при определяется поведением функции в окрестности точки , но не связано со значением функции (или его отсутствием) в самой точке .

В определении предела функции считается, что любым способом: оставаясь меньшим, чем (слева от ), большим, чем (справа от ) или колеблясь около точки .

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

О.3. Число называется пределом функции слева в точке , если для любого числа , существует число ( ), такое что при , выполняется неравенство

Предел слева записывают так: .

Аналогично определяется предел функции справа: .

Пример. Найти правосторонний предел и левосторонний предел функции .

Решение: и

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем . Если же , то не существует.

О.4. Число называется пределом функции при , если для любого числа , найдется такое число ( ), что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Примеры функций имеющих пределы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. не существует.

§5. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Сравнение бесконечно малых функций, эквивалентные функции

О.1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А (сколь большим бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | х_п| › А, т.е. какое бы большое число А мы не взяли, найдется такой номер, начиная с которого все члены последовательности окажутся больше А.

Определение 6. Последовательность {α_п} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ε (сколь малым бы мы его не взяли) существует номер N такой, что при n›N выполняется неравенство | α_п| ‹ε.

Примеры.

1. Последовательность {п} является бесконечно большой.

2. Последовательность { } является бесконечно малой.

Теорема 1. Если {х_п} - бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от нуля, х_п ≠0, то последовательность {α_п}= - бесконечно малая, и, обратно, если {α_п} бесконечно малая последовательность, α_п≠0, то последовательность {х_п}= бесконечно большая.

Сформулируем основные свойства бесконечно малых последовательностей в виде теорем.

Теорема 2. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малые последовательности.

Пример 2. Последовательность с общим членом бесконечно малая, т.к. т.е заданная последовательность является суммой бесконечно малых последовательностей и и поэтому является бесконечно малой.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема 3. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть любой последовательностью и может не иметь смысла.

Например, если , , то все элементы последовательности равны 1 и данная последовательность является ограниченной. Если , , то последовательность - бесконечно большая, и наоборот, если , а , то - бесконечно малая последовательность. Если начиная с некоторого номера элементы последовательности равны нулю, то последовательность не имеет смысла.

Теорема 4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.

Пример 3. Последовательность бесконечно малая, т.к. и последовательность { }- бесконечно малая, последовательность - ограничена, т.к. ‹ 1. Следовательно, - бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.

Определение. Функция f(x) называется бесконечно большой при , если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, δ=δ(М)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Записывают: или при .

Например, функция есть бесконечно большая функция при ; функция при .

Если f(x) стремится к бесконечности при и принимает лишь положительные значения, то пишут , если лишь отрицательные значения, то .

Определение. Функция f(x), заданная на всей числовой прямой, называется бесконечно большой при , если для любого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от М, N=N(М)), что при всех х, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Например, функция у=2^х есть бесконечно большая функция при ; функция является бесконечно большой функцией при .

Свойства бесконечно больших функций:

1. Произведение б.б.ф. на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б.б.ф.

2. Сумма б.б.ф. и ограниченной функции есть б.б.ф.

3. Частное от деления б.б.ф. на функцию, имеющую предел, есть б.б.ф.

Например, если функция f(x)=tgx есть б.б.ф. при , функция φ(х)=4х-3 при имеет предел (2π-3) отличный от нуля, а функция ψ(х)=sinx – ограниченная функция, то

f(x) φ(х)=(4х-3) tgx; f(x) + ψ(х)= tgx + sinx; есть бесконечно большие функции при .

Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при , если

. (1)

По определению предела функции равенство (1) означает: для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х, не равных х₀ и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Теорема. Для выполнения равенства необходимо и достаточно, чтобы функция была бесконечно малой при . При этом функция может быть представлена в виде .

Аналогично определяется б.м.ф. при , - 0, , во всех случаях f(x) 0.

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами α, β и т.д.

Например, у=х² при х→0; у=х-2 при х→2; у=sinx при х→πк, - бесконечно малые функции.

Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая;

2. Произведение конечного числа бесконечно малых функций, а также бесконечно малой функции на ограниченную функция, есть величина бесконечно малая;

3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нолю, если величина бесконечно малая.

Рассмотрим последнее свойство при если функции и являются бесконечно малыми (Сравнение бесконечно малых функций):

1). Если , то называется бесконечно малой, более высокого порядка малости, чем .

Пример. При х→2 функция (х — 2)³ бесконечно малая более высокого порядка, чем (х -2), так как .

2). Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка (имеют одинаковую скорость стремления к нолю);

Пример. При х→0 функции 5х² и х² являются бесконечно малыми одного порядка, так как .

3). Если ,то и называются эквивалентными бесконечно малыми, обозначаются ~ .

Эквивалентные бесконечно малые при :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Теорема. Если существует предел отношения двух беско­нечно малых α и β, то он равен пределу отношения соответству­ющих им эквивалентных бесконечно малых.

Пример:

Определить порядок малости можно по следующему правилу:

4). Если , то называется бесконечно малой -го порядка малости относительно от .

Пример:

Определить порядок малости при , относительно бесконечно малой .

.

Таким образом, бесконечно малая является бесконечно малой третьего порядка относительно .

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями: функция обратная бесконечно малой является бесконечно большой (и наоборот), т.е. если - бесконечно малая функция, то - бесконечно большая.