§2. Основные элементарные функции, классификация функций. Преобразование графиков функций

О.1. Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и ко­нечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

К основным элементарным относятся следующие функции: степенная функция у=х^α, α R; показательная функция у=а^х, а › 0, а≠1; логарифмическая функция y=log_ax, а › 0, а≠1; тригонометрические формулы и обратные тригонометрические формулы.

Например, функции ; является элементарной, так как здесь число операций сложения, вычитания, умножения, деления и образования сложной функ­ции конечно.

Примерами неэлементарных функций являются функции у=|х|, у= [х].

Элементарные функции делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргумен­том проводится конечное число алгебраических действий. К чис­лу алгебраических функций относятся:

1) целая рациональная функция (многочлен или полином): ;

2) дробно-рациональная функция — отношение двух многочленов;

3) иррациональная функция (если в составе операций над аргу­ментом имеется извлечение корня).

Любая неалгебраическая функция называется трансцендент­ной. К числу трансцендентных функций относятся функции: по­казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Рассмотрим методику построения графиков функций, основанную на применении некоторых правил построения по уже известным графикам функций.

Правило 1. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вправо, если , или на влево, если .

Правило 2. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции сдвинуть вдоль оси на вверх, если , или на вниз, если .

Правило 3. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 4. Чтобы получить график функции из графика функции , нужно график функции зеркально отразить относительно оси .

Правило 5. Чтобы построить график функции , нужно значение ординаты графика функции умножить на число , а абсциссу оставить без изменения.

При этом от умножения всех значений функции на ординаты графика функции увеличатся в раз и происходит «растяжение» графика функции от оси в раз, а от умножения на при ординаты графика функции уменьшаются в раз и происходит «сжатие» графика функции к оси в раз.

Правило 6. Чтобы построить график функции , нужно значение разделить на число .

При этом от деления всех значений аргумента функции на график функции «сжимается» к оси в 1∕к раз, а от деления на при график функции «растягивается» от оси в 1∕к раз.

Правило 7. Чтобы получить график функции из графика функции , надо участки графика функции , лежащие выше оси , оставить без изменения, а участки ниже оси зеркально отразить относительно этой оси.

Правило 8. Чтобы получить график функции у= f(|х|) из графика функции , надо построить график функции , при и отразить его зеркально относительно оси .