57 Вопрос

Длина дуги прямой в декартовой прямоугольной системе координат.

на отрезке , где функция - непрерывна на отрезке и обладает непрерывной производной.

Соединим выбранные точки хордами, получим ломаную линию, вписанную в дугу .

, определён (4)

Покажем, что предел 4 существует и что

Р ассматриваемая функция удовлетворяет всем условиям теоремы Логранжа: - длина всей ломанной определяется суммой .

Выделенную сумму можно рассматривать как интегральную сумму на отрезке , функция стоящая под знаком суммы также будет непрерывной и следовательно определена определённым интегралом.

(5)

Длина дуги, заданная параметрически.

Пусть кривая задана параметрически.

причем и , обладают непрерывными производными на отрезке , причем , . Ранее было показано, что длина дуги , заданная явным уравнением, определяется интегралом: ,производная -функция заданная параметрическими вычислениями в виде: = , перейдем в определенном интеграле от переменной х к переменной t, в результате получим: = , таким образом, длина дуги заданная параметрически, определяется интегралом: .

Вычисление длины кривой в полярной системе координат.

Кривая в полярной системе координат определяется уравнением: , где , учитывая связь между полярными и декартовыми координатами, уравнение кривой можно записать параметризацию:

, .

Используя определение длины кривой заданной параметрически, найдем выражение для длины кривой, заданной в полярной системе координат.

,

+ = + =

длина дуги кривой в полярной системе координат определяется интегралом

56 Вопрос

Вычисление площадей плоских фигур

Если функция , определена и интегрируема на отрезке , причем на этом отрезке, то площадь криволинейной трапеции определяется определенным интегралом. . Если функция отрицательна на отрезке

, то . Если функция принимает как положительные так и отрицательные значения, то для определения площади криволинейной трапеции в обычном смысле, необходимо разбить отрезок , на части, оответствующие участкам знакопостоянства функции . Площадь криволинейной трапеции будет выражена: . Если требуется вычислить площадь области ограниченной двумя кривыми и на отрезке . Причем , то достаточно представить искомую площадь в виде разности площадей двух криволинейных трапеций.

в случае более сложных областей, искомую площадь разбивают на части и каждую часть рассчитывают по отдельности.

,

В ычисление площади криволинейной трапеции заданной в параметрической форме

, ,

Эллипс-фигура симметричная по всем осям, для вычисления достаточно заштрихованную часть.

П лощадь криволинейного сектора

Положение точки на плоскости определяется парой чисел:

Если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а ось х совпадает с лучом, то между декартовой и полярной системами координат, существует связь. Находясь в полярной системе координат, получим выражение для площади сектора.

-некоторый радиус-вектор, соответствующий углу ,

рассмотрим круговой сектор с радиусом и центральным углом . Площадь кругового сектора равна:

=

дает площадь ступенчатого сектора.

Выписанный интеграл считается: