11.Функция распределения Максвелла

Найдем вероятность или относит.число молекул, модуль скорости кот. Закл.в интерв.(V,V+dV). Таким молек. соответ. все точки,попадающ.в шаровой слой с радиус. V и V+dV. Объем этого слоя равен произвед. поверхн.слоя на его толщину,т.е. 4πV^2dV, объемн.плотн.вероят-ти f(V) во всех точках слоя одинакова. След, согласно теореме сложения вероят-тей, вероят-ть попадания в этот слой dP=f(V)* 4πV^2dV. Величина dP/dV – мы ее обозначим F(V) – характеризует искомую вероятность, т.е. F(V)= 4πV^2f(V). Учитывая, что f(V)=((m/2πkT)^3/2 )*exp(-mV[x]^2/2kT) Получим

F(V)=4π((m/2πkT)^3/2 )*V^2 exp(-V[x]^2/2kT). Эта формула представляет собой закон распределения Максвелла по модулю скорости.

12.Ф-ция распред.Для проекций скорости молекул идеального газа.

dPυ_x=φ(υ_x)dυ_x

-m₀υ_x²

dPυ=³√(A)e 2kT *dυ_x*

-“-*dυ_y*-“-*dυ_я

-m₀υ_x²

φ(υ_x)= ³√(A)e 2kT

υ_x2

P(υ_x1≤υ_x≤υ_x2)=∫φ(υ_x)dυ_x

υ_x1

∞ -m₀υ_x²

³√(A)∫e 2kT dυ_x=1

-∞

∞

∫e^-αx2dx=√(α/π)

-∞

A=(m₀/2πkT)^3/2

∞

1)<υ_x>=∫υ_xφ(υ_x)dυ_x=0

-∞

υ_xвер-значение,где ф-ция распред. max

dφ(υ_x)/dυ_x=0 => υ_xвер=0

=> φ(υ_xвер)=(m₀/2πkT)^1/2*

-m₀0

e 2kT =(m₀/2πkT)^1/2~√(m₀/T)

∞

2)<υ_x²>=∫υ_x²φ(υ_x)dυ_x=kT/m₀

13.Распределение Больцмана. Распределение молекул в поле сил тяжести.

Пусть газ находиться во внешнем поле потенциальных (консервативных) сил, действующих для простоты в одном направлении и зависящих только от координаты z. При тепловом равновесии температура Т должна быть одинакова по всей толщине газа, иначе бы возникли потоки тепла, и состояние газа не было бы равновесным.

Для определенности будем считать, что силы внешнего поля направлены вниз, а ось Z- вверх. Выделим мысленно бесконечно узкий слой газа толщиной dz с площадью основания столба, равной единице (S=1). Запишем условие равновесия этого слоя. На слой dz действует направленная вверх сила, обусловленная разностью давлений dp (dp<0), и сила, действующая вниз со стороны внешнего поля. При равновесии должно соблюдаться равенство dp=ndZ*F[z], где F[z] – проекция внешней силы, действующей на каждую молекулу. Заметим, что левая и правая части этого равенства являются отрицательными.

Из механики известно, что F[z]= -∂U/∂z, где U-потенциальная энергия молекулы во внешнем поле→ dp= -ndU. Считая газ идеальным, т.е. подчиняющимся формуле p=nkT, представим левую часть в виде dp=dn*kT. Тогда эта формула примет вид dn*kT= -ndU или dn/n=-dU/kT.

Проинтегрировав последнее уравнение, получим ln(n/n0)= - ((U-U0)/kT). Будем считать, что U0=0, где n=n0, тогда n=n0e^-(U/kT). Этот закон и выражает распределение Больцмана.

Рассмотрим подробнее случай изотермической атмосферы в однородном поле сил тяжести. В этом случае U=mgz, где m-масса молекулы, и распределение Больцмана принимает вид: n=n0e^-(mgz/kT)

14.Распределение Максвелла-Больцмана.

Распред.Максвелла и Больцмана явл.сост. частями единого распред,наз.распред. Гиббса.

Оба распред.можно объединить в один закон распред.Максвелла-Больцмана, согласно кот.число dN молекул, проекции скорости кот.и их координаты лежат в интервалах

(V_x,V_х+dV_x), (V_y,V_y+dV_y), (V_z,V_z+dV_z),(x,x+dx),(y,y+dy),(z,z+dz), определяется выражением dN=A*e(-(mV^2/2+U)/kT)* dVx*dVy*dVz*dx*dy*dz, где нормировочный множитель A=n0(m/2πkT)^3/2, V^2=V_x^2+V_y^2+V_z^2, U=U(x,y,z).