Семестр 03 / физика. шпоры по билетам

№1

1) напряж-ь эл поля. эквипотенциальные поверхности. связь между потенциалом и напряж-ю. линии напряж-и эл поля. F=qE; E=[В/м]; F=k(q1q2)er/r^2; Эл поле можно описать с помощью линий Эл поля. Их проводят таким образом, чтобы касательная к ним в каждой т совпадала с напр-ем Е; -dφ=Edl; E=-gradφ; циркуль: int(o)Edl=0; 2) энергия магнитного поля. Плотность энергии. 1) dA=εsIdt=-dψIdt/dt=-Idψ; dA=-LIdI; A=-int(I;0)LIdI=2I^2/2; L=μμ0n^2V; H=nI; W=μμ0H^2V/2; w=HB/2=B^2/2μμ0; 2) w=ΔW/ΔV-плотность энергии. W=1/2 LI^2=1/2IФ=Ф/2L (1) выраж магнит­ную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Но здесь энергию можно выразить непо­средственно через В. Убедимся, на примере длинного соленоида. Подстановка в формулу (1) выражения L=μμ0n^2V дает W=LI^2/2= μμ0n^2I^2V/2; А тк nI=H=B/ μμ0, то W=B^2V/2μμ0= BHV/2 (2); энергию W можно выра­зить через B и H в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле W=int BHdV/2 (3); Подынтегральное выражение в этом ур-ии имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом dV. Отсюда => магнитная энергия также локализована в про­странстве, занимаемом магнитным полем. (2) и (3) => магнитная энергия распределена в пр-ве с объемной плотностью w=HB/2=B^2/2μμ0; полученное выраж-е относится лишь к тем средам, для кот зав-ь B(H) линейная, т. е. μ в со­отношении B= μμ0H не зависит от H. Те (2) и (3) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы.3) уравнения максвелла. токи смещения. 1) [gradE]=-dB/dt; gradB=0; 2) [gradH]=j+dB/dt; gradD=ρ; gradH=j; gradj=-dP/dt; int(S1)[gradH]ds= int(S)jds; int(o) H]dI= int(o)(S1)jds=I; int(o) HdI= int(S2)jds=0; [gradH]=j+jсмещ-полный ток;

№2

1) Энергия заряженного конденсатора. Энергия эл.поля.

2) Явление самоиндукции. Индуктивность соленоида. Ф=LI; ψ=NФ=nlBS=μμ0n^2V; L= μμ0n^2lS= μμ0n^2V; V=IS- V соленоида. εs=-dψ/dt=-d(LI)/dt= -(2dI/dt+Idl/dt); εs=-LdI/dt; При изменении силы тока в контуре согласно εi=-dФ/dt возникает эдс самоиндукции: εs=-dФ/dt=-dLI/dt; Если при изменении тока индуктивность L остается посто­янной (не меняется конфигурация контура и нет ферромагне­тиков), то εs=-LdI/dt (L=const); «-« показывает, что εs всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока — в соответствии с правилом Ленца. Эта эдс стремится сохранить ток неизмен­ным: она противодействует току, когда он увеличивается, и поддерживает ток, когда он уменьшается. В явлениях самоин­дукции ток обладает «инерцией», потому что эффекты индук­ции стремятся сохранить магнитный поток постоянным, точно так же, как механическая инерция стремится сохранить ско­рость тела неизменной.3) Сила Ампера. Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей-е этой силы передается проводнику, по кот заряды движутся. В результате магнитное поле действует с опр силой на сам проводник с током. Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока = ρ. Выделим мыс­ленно элемент объема dV проводника. В нем находится за­ряд - носитель тока, равный ρdV. Тогда сила, действующая на элемент dV проводника, мб записана по формуле Fм=q[vB] в виде dF= ρ[uB]dV; где u-скорость упорядоченного движения зарядов. Тк j= ρu, то dF=[jB]dV (1); если ток течет по тонкому проводнику, то согласно jdV=Idl и dF=I[dl B] (2), где dl-в, совпадающий по напр-ю с током и ха­рактериз элемент длины тонкого проводника. (1) и (2) выражают закон Ампера.

№3.

1) Сила Лоренца; F, действующая на q, зависит не только от поло­жения этого заряда, но и от его v. Поэтому F разделяют на: Эл Fм (не зависит от движения заряда) и магнитную Fм (она зави­сит от v заряда). В люб т пр-ва направле­ние и модуль магнитной силы зависят от скорости v заряда, причем эта сила всегда перпендикулярна в v; кроме того, в любом месте магнитная сила перпендикулярна опреде­ленному в данном месте направлению и, наконец, ее модуль пропорционален той составляющей v, кот перпен­дикулярна этому выделенному напр-ю. эти св-ва можно описать, если ввес­ти понятие магнитного поля. Характеризуя это поле в B, определяющим выделенное в каждой т пр-ва на­п-е, запишем выражение для магнитной силы: Fм=q[vB]. Тогда полная электромагнитная сила, действующая на q: F=qE+ q[vB]- сила Лоренца.

2) Поле вне и внутри Vно заряженного шара. V=(4/3)pir^3; ρ=q/V-Vная плотность заряда; q0= ρV=4/3pir^3 ρ=4/3pir^3q/V0= q (r/R)^3; ES=q0/ε0=> E=q0/ε0S=(r/R)^3 q/(ε04pir^3)=(qr)/(4piε0R^3)=kr(q/R^3); 3) усл-е на границе 2ух магнетиков для B и H. Усл-я получим с помощью т Гаусса и т о цирк. Для векторов В и Н эти теоремы имеют вид: int (o) Bds=0, int(o) Hdl=I; Усл-е для B. Возьмем оч малой высоты цилиндрик, расположенный на границе раздела магнетиков. Тогда поток вектора B наружу из этого цилиндра можно за­писать так: B2ndS+B1n’dS=0; Взяв обе проекции вектора B на общую нормаль n, получим -B1n=B1n’, и предыдущее уравнение после сокращения на dS примет вид: B2n=B1n; т. е. нормальная составляющая вектора B оказывается одина­ковой по обе стороны границы раздела. Эта величина скачка не испытывает. Усл-я для H. Для большей общности будем пред­полагать, что вдоль поверхности раздела магнетиков течет по­верхностный ток проводимости с линейной плотностью i. При­меним т о циркуляции вектора H к оч малому прямо­угольному контуру, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с его длиной l, расположив этот контур так, как на рис. запишем для всего кон­тура: H2tl-H1tl=iNl; где iN — проекция вектора i на нормаль N к контуру (вектор N образует с направлением обхода по контуру правовинтовую сис­тему). Взяв обе проекции вектора H на общий орт касательной t (в среде 2), получим H1t’=-H1t, и после сокращения на l пре­дыдущее Ур-е примет вид H2t-H1t=iN, те тангенциальная составляющая вектора H при переходе границы раздела магнетиков претерпевает ска­чок, связанный с наличием поверхностных токов проводимо­сти. Но если на границе раздела магнетиков токов проводи­мости нет (i=0), то тангенциальная составляющая вектора H оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела: H2t=H1t; Итак, если на границе раздела 2 одн магнетиков тока проводимости нет, то при переходе этой границы состав­ляющие Bn и Ht изменяются непрерывно, без скачка. Составля­ющие же Bt и Hn при этом претерпевают скачок.

№4

1) работа и потенциал эл поля; A12= int(12)Fdl= q’int(12)Edl= U1-U2;A12=q’(φ1-φ2); потенциал поля-потенц энергия единичного заряда, наход в этом поле. φ1-φ2=int(12)Edl; E=-gradφ; Edl=E(er)dl=Edr(q/r^2)dr=-dφ; φ=-(1/4piε0)q*int(dr/r^2)= (1/4piε0)q/r+c; φ= (1/4piε0)q/r; 2) Закон Био-Савара. Поле бесконечно прямого тока. 1)ΔB= μ0IΔlsinα/4pir^2; B=μ0I/2R; B2pir=μ0IN; B=μ0IN/2pir; 2) I=int (S) jnds=Δq/Δt; int(o) Bdl=int(o)B(r)dl; int(o)Bdl=μ0 int jnds=> B(r)2pir= μ0I; B(r)= μ0I/2pir; 3) Поле в центре и на оси кругового тока. H=I/2R; B=μμ0I/1R=μμ0I/D;

№ 5

1) Цирк и ротор магнитного поля ( В и Н ). Поле соленоида, тороида. Цирк B по произ­вольному контуру Г равна произведению μ0 на алгебраиче­скую сумму токов, охватываемых контуром Г: int(o)Bdl=μ0I (1); где I=ΣIk. Ток счита­ется +, если его направление связано с направле­нием обхода по контуру правилом пра­вого винта. Ток противоположного на­правления считается отрицательным. На рис: I1, I3- «+», I2-«-« ; Если I в (1) распределен по V, где расположего контур Г, то его можно представить как I=int jds; в общ случае (1): int(o)Bdl=μ0 int jds; Тк цирк В /=0, поле В не потенциально. Такое поле наз вихревым или соленоидальным. цирк Н. В магнетиках, помещенных во внешнее маг­нитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому цирк вектора В определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания: int (o)Bdl= μ0(I+I’) (1), где I и I’ – токи проводимости и намагничивания, охватываемые зад контуром Г. Int (o)Jdl=I’ (2); Предполагая, что цирк В и J берется по 1 и тому же контуру Г, выразим I’ в (1) по фор­муле (2), тогда: int (o) ((B/ μ0)-J)dl=I; Величина под интегралом в скобках-Н. Н=((B/ μ0)-J), цирк кот = сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром: int (o) Hdl=I; Эта формула выражает т о цирк H: цирк H по произвольному замкнутому кон­туру равна алгебраической Σ I проводимости, ох­ватываемых этим контуром. Дифф форма т о цирк H: ΔH=j; 2) Явление электромагнитной индукции. ЭДС индукции. явление электромагнитной индукции - в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока (В), охватываемого этим контуром, возникает элток — его назва­ли индукционным. согласно закону, какова бы ни была причина изм-я магнитного потока, ох­ватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре эдс. индукция определяется формулой: εi=-dФ/dt; Знак минус в этом уравнении связан с определенным прави­лом знаков. Знак Ф связан с выбором нор­мали к поверхности S, ограниченной рассматриваемым конту­ром, а знак эдc индукции εi - с выбором + на­правления обхода по контуру. Здесь предполагается, что направление норма­ли n к поверхности S и + направле­ние обхода контура связаны др с др прави­лом правого винта. Поэтому, выбирая направление нормали, мы опреде­ляем как знак потока Ф, так и знак эдс индукции εi_; При сделанном нами выборе + направле­ний — в соответствии с правилом правого винта - величины εi и dФ/dt имеют противоположные знаки. Ф=[Вб]. При v изменения Ф 1 Вб/с в контуре индуци­руется эдс, = 1 В.

№6

1) Связь между поляризованностью и поверхн плотностью. int Pnds=int (o)Pds=-q; P2nds-P1nds=σ’ds; P2n-P1n=-σ’; 2) Закон ампера, сила взаимодействия параллельных токов. B1(r)=μ02I1/4pir; dF12=I2dl*B(r); dF12= (μ02I1I2)dl/4pir; F12= μ02I1I2/4pir; Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Дей-е этой силы передается проводнику, по кот заряды движутся. В результате магнитное поле действует с опр силой на сам проводник с током. Пусть объемная плотность заряда, являющегося носителем тока = ρ. Выделим мыс­ленно элемент объема dV проводника. В нем находится за­ряд - носитель тока, равный ρdV. Тогда сила, действующая на элемент dV проводника, мб записана по формуле Fм=q[vB] в виде dF= ρ[uB]dV; где u-скорость упорядоченного движения зарядов. Тк j= ρu, то dF=[jB]dV (1); если ток течет по тонкому проводнику, то согласно jdV=Idl и dF=I[dl B] (2), где dl-в, совпадающий по напр-ю с током и ха­рактериз элемент длины тонкого проводника. (1) и (2) выражают закон Ампера. 3) Цирк и ротор магнитного поля ( В и Н ). Поле соленоида, тороида. Цирк B по произ­вольному контуру Г равна произведению μ0 на алгебраиче­скую сумму токов, охватываемых контуром Г: int(o)Bdl=μ0I (1); где I=ΣIk. Ток счита­ется +, если его направление связано с направле­нием обхода по контуру правилом пра­вого винта. Ток противоположного на­правления считается отрицательным. На рис: I1, I3- «+», I2-«-« ; Если I в (1) распределен по V, где расположего контур Г, то его можно представить как I=int jds; в общ случае (1): int(o)Bdl=μ0 int jds; Тк цирк В /=0, поле В не потенциально. Такое поле наз вихревым или соленоидальным. цирк Н. В магнетиках, помещенных во внешнее маг­нитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому цирк вектора В определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания: int (o)Bdl= μ0(I+I’) (1), где I и I’ – токи проводимости и намагничивания, охватываемые зад контуром Г. Int (o)Jdl=I’ (2); Предполагая, что цирк В и J берется по 1 и тому же контуру Г, выразим I’ в (1) по фор­муле (2), тогда: int (o) ((B/ μ0)-J)dl=I; Величина под интегралом в скобках-Н. Н=((B/ μ0)-J), цирк кот = сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром: int (o) Hdl=I; Эта формула выражает т о цирк H: цирк H по произвольному замкнутому кон­туру равна алгебраической Σ I проводимости, ох­ватываемых этим контуром. Дифф форма т о цирк H: ΔH=j;

№7

1) Эл диполь. Диполь в эл поле. Диполь–сист из 2 зарядов = по величине, разн по +/-. Поле диполя обладает осевой симм. φ=(1/4piε0)q/(r+)-(1/4piε0)q/(r-)= (1/4piε0)((r-)+(r+))/(r-)(r+)= (1/4piε0)q/(r^2)lcosθ; p=ql-дипольный момент; напряж-ть поля диполя. E=-gradφ; Er=-(d/dr)(1/4piε0)pcosθ/r^2= (1/4piε0)pcosθ=2/r^3; Eθ=-(d/rdθ)φ=-(1/r)(1/4piε0)(p/r^2)(dcosθ /dθ)= (1/4piε0)(p/r^3)sinθ; E=((Er)^2)+(Eθ^2))^(1/2)= (1/4piε0)(p/r^3) (4cosθ^2+sinθ^2)^(1/2); Закон Био-Савара. ΔB=μ0IΔlsinα/4pir^2; B=μ0I/2R; B2pir=μ0IN; B=μ0IN/2pir;

3) Ток смещения. Полный ток. gradH=j; gradj=-dP/dt; int(S1)[gradH]ds= int(S)jds; int(o) H]dI= int(o)(S1)jds=I; int(o) HdI= int(S2)jds=0; [gradH]=j+jсмещ-полный ток;

№8

2) Явление самоиндукции. Индуктивность соленоида. Ф=LI; ψ=NФ=nlBS=μμ0n^2V; L= μμ0n^2lS= μμ0n^2V; V=IS- V соленоида. εs=-dψ/dt=-d(LI)/dt= -(2dI/dt+Idl/dt); εs=-LdI/dt; При изменении силы тока в контуре согласно εi=-dФ/dt возникает эдс самоиндукции: εs=-dФ/dt=-dLI/dt; Если при изменении тока индуктивность L остается посто­янной (не меняется конфигурация контура и нет ферромагне­тиков), то εs=-LdI/dt (L=const); «-« показывает, что εs всегда направлена так, чтобы препятствовать изменению силы тока — в соответствии с правилом Ленца. Эта эдс стремится сохранить ток неизмен­ным: она противодействует току, когда он увеличивается, и поддерживает ток, когда он уменьшается. В явлениях самоин­дукции ток обладает «инерцией», потому что эффекты индук­ции стремятся сохранить магнитный поток постоянным, точно так же, как механическая инерция стремится сохранить ско­рость тела неизменной.

№9

1) энергия системы точечных зарядов. энергия заряженного проводника. V=(1/4piε0)(q1q2/r12)= (1/2)Σqi-(1/4piε0)(qk/rik)=1/2-Σ(qiφi); φi= (1/4piε0) Σ(qk/rik); w=qφ/2; 2) явление электромагнитной индукции.правило Ленца.эдс индукции. явление электромагнитной индукции - в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока (В), охватываемого этим контуром, возникает элток — его назва­ли индукционным. согласно закону, какова бы ни была причина изм-я магнитного потока, ох­ватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая в контуре эдс. индукция определяется формулой: εi=-dФ/dt; Знак минус в этом уравнении связан с определенным прави­лом знаков. Знак Ф связан с выбором нор­мали к поверхности S, ограниченной рассматриваемым конту­ром, а знак эдc индукции εi - с выбором + на­правления обхода по контуру. Здесь предполагается, что направление норма­ли n к поверхности S и + направле­ние обхода контура связаны др с др прави­лом правого винта. Поэтому, выбирая направление нормали, мы опреде­ляем как знак потока Ф, так и знак эдс индукции εi_; При сделанном нами выборе + направле­ний — в соответствии с правилом правого винта - величины εi и dФ/dt имеют противоположные знаки. Ф=[Вб]. При v изменения Ф 1 Вб/с в контуре индуци­руется эдс, = 1 В.

3) усл-е на границе 2ух магнетиков для B и H. Усл-я получим с помощью т Гаусса и т о цирк. Для векторов В и Н эти теоремы имеют вид: int (o) Bds=0, int(o) Hdl=I; Усл-е для B. Возьмем оч малой высоты цилиндрик, расположенный на границе раздела магнетиков. Тогда поток вектора B наружу из этого цилиндра можно за­писать так: B2ndS+B1n’dS=0; Взяв обе проекции вектора B на общую нормаль n, получим -B1n=B1n’, и предыдущее уравнение после сокращения на dS примет вид: B2n=B1n; т. е. нормальная составляющая вектора B оказывается одина­ковой по обе стороны границы раздела. Эта величина скачка не испытывает. Усл-я для H. Для большей общности будем пред­полагать, что вдоль поверхности раздела магнетиков течет по­верхностный ток проводимости с линейной плотностью i. При­меним т о циркуляции вектора H к оч малому прямо­угольному контуру, высота которого пренебрежимо мала по сравнению с его длиной l, расположив этот контур так, как на рис. запишем для всего кон­тура: H2tl-H1tl=iNl; где iN — проекция вектора i на нормаль N к контуру (вектор N образует с направлением обхода по контуру правовинтовую сис­тему). Взяв обе проекции вектора H на общий орт касательной t (в среде 2), получим H1t’=-H1t, и после сокращения на l пре­дыдущее Ур-е примет вид H2t-H1t=iN, те тангенциальная составляющая вектора H при переходе границы раздела магнетиков претерпевает ска­чок, связанный с наличием поверхностных токов проводимо­сти. Но если на границе раздела магнетиков токов проводи­мости нет (i=0), то тангенциальная составляющая вектора H оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела: H2t=H1t; Итак, если на границе раздела 2 одн магнетиков тока проводимости нет, то при переходе этой границы состав­ляющие Bn и Ht изменяются непрерывно, без скачка. Составля­ющие же Bt и Hn при этом претерпевают скачок.

№10

2) энергия магнитного поля. Плотность энергии. 1) dA=εsIdt=-dψIdt/dt=-Idψ; dA=-LIdI; A=-int(I;0)LIdI=2I^2/2; L=μμ0n^2V; H=nI; W=μμ0H^2V/2; w=HB/2=B^2/2μμ0; 2) w=ΔW/ΔV-плотность энергии. W=1/2 LI^2=1/2IФ=Ф/2L (1) выраж магнит­ную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Но здесь энергию можно выразить непо­средственно через В. Убедимся, на примере длинного соленоида. Подстановка в формулу (1) выражения L=μμ0n^2V дает W=LI^2/2= μμ0n^2I^2V/2; А тк nI=H=B/ μμ0, то W=B^2V/2μμ0= BHV/2 (2); энергию W можно выра­зить через B и H в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле W=int BHdV/2 (3); Подынтегральное выражение в этом ур-ии имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом dV. Отсюда => магнитная энергия также локализована в про­странстве, занимаемом магнитным полем. (2) и (3) => магнитная энергия распределена в пр-ве с объемной плотностью w=HB/2=B^2/2μμ0; полученное выраж-е относится лишь к тем средам, для кот зав-ь B(H) линейная, т. е. μ в со­отношении B= μμ0H не зависит от H. Те (2) и (3) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы.3) уравнения максвелла. токи смещения. 1) [gradE]=-dB/dt; gradB=0; 2) [gradH]=j+dB/dt; gradD=ρ; gradH=j; gradj=-dP/dt; int(S1)[gradH]ds= int(S)jds; int(o) H]dI= int(o)(S1)jds=I; int(o) HdI= int(S2)jds=0; [gradH]=j+jсмещ-полный ток; 3) уравнения максвелла; 1) [divE]=-dB/dt; divB=0; 2) [divH]=j+dB/dt; divD=ρ;

№11

1) цирк и ротор электрического поля ( вектора E и D). Цирк Е. любое стационарное поле центральных сил явл потенциальным, т.е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким св-вом обладает электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единичный + заряд, то элементарная работа сил поля на перемещении dl равна Edl, а вся работа сил поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как int (12)Edl_. Этот инт берется по некоторой линии, поэтому его наз лин. Интеграл по замкнутому пути называют циркуляцией вектора Е и обозначают int (o). цирк Е в любом электростатическом поле =0, т.е. int (o)Edl=0_. Это утверждение и наз т о цирк Е. 2) Закон Био-Савара. Поле бесконечно длинного проводника. 1) ΔB=μ0IΔlsinα/4pir^2; B=μ0I/2R; B2pir=μ0IN; B=μ0IN/2pir; 2) I=int (S) jnds=Δq/Δt; int(o) Bdl=int(o)B(r)dl; int(o)Bdl=μ0 int jnds=> B(r)2pir= μ0I; B(r)= μ0I/2pir;

№12

2) Теорема Гаусса для векторов Е и D. Поток Е сквозь произвольную замкнутую поверх­ность S зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно int(0)Eds=qвнутр/ε0. – суть теоремы Гаусса: поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность = алгебраической Σ зарядов внутри этой поверхности, деленной на ε0; D=εε0E; Nd=int(o)Dnds; Ne=int(o)Ends=Σqi/εε0; int(o)Dds=Σqi; 3) Мощность и удельная мощность тока. dA=(φ1-φ2)dq=dφIdt=UIdt; U=IR|*Idt; RI^2dt= UIdt= dA; dQ=I^2Rdt; P=dA/dt=UI=I^2R=U^2/R;

№13

1) диполь в эл поле; Диполь–сист из 2 зарядов = по величине, разн по +/-. Поле диполя обладает осевой симм. φ=(1/4piε0)q/(r+)-(1/4piε0)q/(r-)= (1/4piε0)((r-)+(r+))/(r-)(r+)= (1/4piε0)q/(r^2)lcosθ; p=ql-дипольный момент; напряж-ть поля диполя. E=-gradφ; Er=-(d/dr)(1/4piε0) pcosθ/r^2= (1/4piε0)pcosθ= 2/r^3; Eθ=-(d/rdθ)φ=-(1/r)(1/4piε0)(p/r^2)(dcosθ /dθ)= (1/4piε0)(p/r^3)sinθ; E=((Er)^2)+(Eθ^2))^(1/2)= (1/4piε0)(p/r^3) (4cosθ^2+sinθ^2)^(1/2); 2) энергия магнитного поля. Плотность энергии. 1) dA=εsIdt=-dψIdt/dt=-Idψ; dA=-LIdI; A=-int(I;0)LIdI=2I^2/2; L=μμ0n^2V; H=nI; W= μμ0H^2V/2; w=HB/2=B^2/2μμ0; 2) w=ΔW/ΔV-плотность энергии. W=1/2 LI^2=1/2IФ=Ф/2L (1) выраж магнит­ную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Но здесь энергию можно выразить непо­средственно через В. Убедимся, на примере длинного соленоида. Подстановка в формулу (1) выражения L=μμ0n^2V дает W=LI^2/2= μμ0n^2I^2V/2; А тк nI=H=B/ μμ0, то W=B^2V/2μμ0= BHV/2 (2); энергию W можно выра­зить через B и H в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле W=int BHdV/2 (3); Подынтегральное выражение в этом ур-ии имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом dV. Отсюда => магнитная энергия также локализована в про­странстве, занимаемом магнитным полем. (2) и (3) => магнитная энергия распределена в пр-ве с объемной плотностью w=HB/2=B^2/2μμ0; полученное выраж-е относится лишь к тем средам, для кот зав-ь B(H) линейная, т. е. μ в со­отношении B= μμ0H не зависит от H. Те (2) и (3) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы.3) уравнения максвелла. токи смещения. 1) [gradE]=-dB/dt; gradB=0; 2) [gradH]=j+dB/dt; gradD=ρ; gradH=j; gradj=-dP/dt; int(S1)[gradH]ds= int(S)jds; int(o) H]dI= int(o)(S1)jds=I; int(o) HdI= int(S2)jds=0; [gradH]=j+jсмещ-полный ток; 3) поле прямого тока и закон Био-Савара. 1) I=int (S) jnds=Δq/Δt; int(o) Bdl=int(o)B(r)dl; int(o)Bdl=μ0 int jnds=> B(r)2pir= μ0I; B(r)= μ0I/2pir; 2) ΔB=μ0IΔlsinα/4pir^2; B=μ0I/2R; B2pir=μ0IN; B=μ0IN/2pir;

№15

1) Связь поляризованности диэлектрика с объёмной плотностью; а) Под действ. внешн. электр. поля заряды в неполярной мол. смещ. относит. друг друга. Результир. Дипольный момент молекулы станов /= 0. Рассм. един. объем и сумму моментов р, заключ. в него молекул: P=(1/ΔV)Σ(ΔV)p, где Р-поляризованность диэлектрика. Для изотроп. диэлектриков: P=kε0E, где k-безразм диэлек восприимч; б)Т Гаусса: int (o) Pds=-q’ внут, где q’ внут - связанный заряд диэлектрика в объеме, охват. поверхностью S. В дифф. форме – ρ’=-divP; Для однор: k int(o)ε0Eds=-q’=k(q+q’)=> q’=-kq/(1+k) => ρ’=-k ρ/(1+k), те Объемная плотность связан. зарядов =0, когда плотность сторонних зарядов в нем = 0; 2) Контур в магнитном поле, однородном и неоднородном (энергия, сила, работа); работа, которую совершают амперовы силы при элементарном перемещении контура с то­ком I: δA=IdФ (1), где dФ - приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении. Вращающий момент действующий на плоский контур в магнитном поле N=pmBsinα; чтобы увеличить угол между векторами магнитного момента и индукции, нужно совершить работу, которая пойдет на увеличение потенциальной энергии: dW= dA= Ndα= pmBsinαdα; Интегрируя, находим W=-pmBcosα=-pmB; На элемент контура действует сила dF=I[dl;B]; Результирующая таких сил равна F=int(o)I[dl;B]; В случае однородного поля F=I[(int(o)dl;B)]; Но, на контур действует вращающий момент N=int[r;dF]; N=int I[nB]dS=I[nB] int dS=I[nB]S=[pmB]; В неоднородном магнитном поле на контур действует сила, затягивающая в поле, если контур ориентирован по полю, и выталкивающая, если контур ориентирован против поля. Проекция этой силы может быть найдена как Fx=-dW/dx=pm (dB/dx) cosα, где α -угол между pm и B; в неоднородном магнитном поле на контур также действует вращающий момент. ИЛИ Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле F=I int(o) [dl;B]; Если магнитное поле однородно, то B можем вынести, надо вычислить лишь int (o) dl, кот представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов dl, поэтому он =0 =>F=0. Магнитное поле неоднородно, т.к. F/=0 Pm=ISn; Сила, действующая на электрический контур с током в неоднородном магнитном поле: F=Pm dB/dn;

3) Какая-та теория проводимости. Закон Ома; Ом в дифф. I=U/R Для однор. цилиндр. проводника: R=ρl/S, где ρ - удельное эл. сопрот. Возьмем цилин. с образ. dl паралл. j и Е. Ток через попер. сеч: jdS. U=Еdl; jdS = dSEdl/ ρdl => j=E/ρ= σE, σ- удельная эл проводимость; Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы. Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда электрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока j может считаться одинаковой во всех точках сечения провода. Пусть площадь сечения провода равна S, при­чем S может быть и не одинаковой по длине провода.Разделим уравнение j=σ(E+E*) на σ, полученное выражение ум­ножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направ­лению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положитель­ное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2: int(12) jdl/ σ.=int(12)Edl+int(12)E*d l(3);Преобразуем подынтегральное выражение у первого интег­рала: заменим σ на 1/ρ и jdl на j(l)dl, где j(l) — проекция вектора j на направление вектора dl. Далее учтем, что j(l) — величина ал­гебраическая; она зависит от того, как направлен вектор j по отношению к dl: если j сонапр l, то j(l)>0, если же j не сонапр l, то j(l) <0. И последнее, заменим j(l) на I/S, где I — сила тока, величина тоже алгебраическая (как и j(l)). Поскольку для постоянного тока I одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла. В результате получим int (12) jdl/σ=I int (12) ρdl/S; Выражение ρdl/s определяет не что иное, как сопротивле­ние участка цепи длиной dl, а интеграл от этого выражения — полное сопротивление R участка цепи между сечениями 1 и 2.Теперь обратимся к правой части (3). Первый интеграл здесь — это разность потенциалов φ1- φ2, а второй интеграл представляет собой электродвижущую силу (э.д.с.)ε, действующую на данном участке цепи: ε12=int(12)E*dl; Эта величина, как и сила тока I, явл алгебраической: если э.д.с. способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то ε12>0, если же препятству­ет, то ε12<0; После всех указанных преобразований уравнение (3) бу­дет иметь следующий вид: RI=φ1- φ2+ε12; где + считается направление от т 1 к т 2.