Семестр 03 / физика. шпоры по билетам

№16

1) Электроемкость, Конденсаторы. Рассм какой-либо проводник, т.е. проводник, удаленный от др проводников, тел и зарядов. Опыт показывает, что между зарядом q такого проводника и его потенциалом φ (потенциал на бесконечности будем считать =0) существует прямая пропорциональность: φ~q. => q/φ не зависит от заряда q, для каждого уединенного проводника это отношение имеет свое зн-е. С=q/φ наз электроемкостью проводника. Емкость зависит от размеров и формы проводника. C=[фарад]. Конденсаторы. Если проводник не уединен, то его емкость будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел. Это обусловлено тем, что поле данного проводника вызывает перераспределение зарядов на окружающих телах — появление индуцированных зарядов. Пусть заряд проводника q>0. Тогда - индуцированные заряды оказываются ближе к проводнику, нежели +. Поэтому потенциал проводника, являющийся алгебраической Σ потенциала собственных зарядов и зарядов, индуцированных на др телах, уменьшится при приближении к нему др незаряженных тел. => его емкость увеличится. Это позволило создать систему проводников (конденсатором), кот обладает емкостью, значительно большей, чем уединенный проводник, и притом не зависящей от окружающих тел. Простейший конденсатор состоит из 2 проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии др от др. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, его обкладки располагают так относительно др др, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено практически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора Е, начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т. е. заряды на обкладках должны быть одинаковы по модулю и противоположны по знаку (q и -q). Осн характеристикой конденсатора является его емкость. В отличие от емкости уединенного проводника под емкостью конденсатора понимают отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками (эту разность называют напряжением): C=q/U. Под зарядом q конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на + заряженной обкладке. Емкость плоского конденсатора. Этот конденсатор состоит из 2 параллельных пластин, разделенных зазором шириной h. Если заряд конденсатора q, то напряженность поля между его обкладками E=σ/ε0, где σ =q/S, S — площадь каждой пластины. => напряжение между обкладками U=Eh=qh/ ε0S. C=q/U; получим C= ε0S/h; Емкость сферического конденсатора. Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора = соответствен­но а и b. Если заряд конденсатора q, то напряженность поля между обкладками определяется по т Гаусса: E=q/4pi ε0r^2; Напряжение на конденсаторе U= int(ab)Edr= (q/4piε0)(1/a-1/b), => емкость сферического конденсатора С=4pi ε0[ab/(a-b)]. в случае малого зазора между об­кладками, т. е. при условии (b-a)<<a (или b), полученное вы­ражение переходит в C= ε0S/h — в выражение для емкости плос­кого конденсатора. Емкость цилиндрического конденсатора. как и в случае со сферическим конденсатором, получим C=2pi ε0l/In(b/a), где l — длина конденсатора; a и b — радиусы внутренней и на­ружной цилиндр обкладок. при малом зазоре между обкладками полу­ченное выражение переходит в C= ε0S/h; 2) Ток смещения. Полный ток. gradH=j; gradj=-dP/dt; int(S1)[gradH]ds= int(S)jds; int(o) H]dI= int(o)(S1)jds=I; int(o) HdI= int(S2)jds=0; [gradH]=j+jсмещ-полный ток; 3) Про ускорители

№ 17

1) дипольный момент системы зарядов. |r-ri|=ab; φ=(1/4piε0)Σqi/|r-ri|= (1/4piε0)Σ(qi/r)(1+rier/r)|= (1/4piε0)Σqi/r+(1/4piε0)(1/r^2)Σqirier; p=Σqiri-дипольный момент системы зарядов; Диполь–сист из 2 зарядов = по величине, разн по +/-. Поле диполя обладает осевой симм. φ=(1/4piε0)q/(r+)-(1/4piε0)q/(r-)= (1/4piε0)((r-)+(r+))/(r-)(r+)= (1/4piε0)q/(r^2)lcosθ; p=ql-дипольный момент; напряж-ть поля диполя. E=-gradφ; Er=-(d/dr)(1/4piε0)pcosθ/r^2=(1/4piε0)pcosθ=2/r^3; Eθ=-(d/rdθ)φ=-(1/r)(1/4piε0)(p/r^2)(dcosθ /dθ)= (1/4piε0)(p/r^3)sinθ; E=((Er)^2)+(Eθ^2))^(1/2)= (1/4piε0)(p/r^3) (4cosθ^2+sinθ^2)^(1/2); 2) теорема гаусса для Е и поле диполя. Поток Е сквозь произвольную замкнутую поверх­ность S зависит только от алгебраической суммы зарядов, охватываемых этой поверхностью. А именно int(0)Eds=qвнутр/ε0. – суть теоремы Гаусса: поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность = алгебраической Σ зарядов внутри этой поверхности, деленной на ε0; Поле диполя. Диполь–сист из 2 зарядов = по величине, разн по +/-. Поле диполя обладает осевой симм. φ= (1/4piε0)q/(r+)-(1/4piε0)q/(r-)= (1/4piε0)((r-)+(r+))/(r-)(r+)= (1/4piε0)q/ (r^2)lcosθ; p=ql-дипольный момент; напряж-ть поля диполя. E=-gradφ; Er=-(d/dr)(1/4piε0)pcosθ/r^2= (1/4piε0)pco sθ=2/r^3; Eθ=-(d/rdθ)φ=-(1/r)(1/4piε0)(p/r^2)(dcosθ /dθ)= (1/4piε0)(p/r^3)sinθ; E=((Er)^2)+(Eθ^2))^(1/2)= (1/4piε0)(p/r^3) (4cosθ^2+sinθ^2)^(1/2); 3) Закон Ома; Ом в дифф. I=U/R Для однор. цилиндр. проводника: R=ρl/S, где ρ - удельное эл. сопрот. Возьмем цилин. с образ. dl паралл. j и Е. Ток через попер. сеч: jdS. U=Еdl; jdS = dSEdl/ ρdl => j=E/ρ= σE, σ- удельная эл проводимость; Неоднородным называют участок цепи, на котором действуют сторонние силы. Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда электрический ток течет вдоль тонких проводов. В этом случае направление тока будет совпадать с направлением оси провода и плотность тока j может считаться одинаковой во всех точках сечения провода. Пусть площадь сечения провода равна S, при­чем S может быть и не одинаковой по длине провода.Разделим уравнение j=σ(E+E*) на σ, полученное выражение ум­ножим скалярно на элемент оси провода dl, взятый по направ­лению от сечения 1 к сечению 2 (его мы примем за положитель­ное), и затем проинтегрируем по длине провода от сечения 1 до сечения 2: int(12) jdl/ σ.=int(12)Edl+int(12)E*d l(3);Преобразуем подынтегральное выражение у первого интег­рала: заменим σ на 1/ρ и jdl на j(l)dl, где j(l) — проекция вектора j на направление вектора dl. Далее учтем, что j(l) — величина ал­гебраическая; она зависит от того, как направлен вектор j по отношению к dl: если j сонапр l, то j(l)>0, если же j не сонапр l, то j(l) <0. И последнее, заменим j(l) на I/S, где I — сила тока, величина тоже алгебраическая (как и j(l)). Поскольку для постоянного тока I одинаково во всех сечениях цепи, эту величину можно вынести за знак интеграла. В результате получим int (12) jdl/σ=I int (12) ρdl/S; Выражение ρdl/s определяет не что иное, как сопротивле­ние участка цепи длиной dl, а интеграл от этого выражения — полное сопротивление R участка цепи между сечениями 1 и 2.Теперь обратимся к правой части (3). Первый интеграл здесь — это разность потенциалов φ1- φ2, а второй интеграл представляет собой электродвижущую силу (э.д.с.) ε, действующую на данном участке цепи: ε12=int(12)E*dl; Эта величина, как и сила тока I, является алгебраической: если э.д.с. способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то ε12>0, если же препятству­ет, то ε12<0; После всех указанных преобразований уравнение (3) бу­дет иметь следующий вид: RI=φ1- φ2+ε12; где + считается направление от т 1 к т 2.3)теорема гаусса для вектора В. Ф(B)= int (o)(S) Bds=0; int (V) divBdv=0; div=(d/dx+d/dy+d/dz); divB=0;

№19

Законы Ома и Джоуля-Ленца в диффер.и интегр. формах; Ом в дифф. I=U/R Для однор. цилиндр. проводника: R=ρl/S, где ρ - удельное эл. сопрот. Возьмем цилин. с образ. dl паралл. j и Е. Ток через попер. сеч: jdS. U=Еdl; jdS = dSEdl/ ρdl => j=E/ρ= σE, σ- удельная эл проводимость;

Д-Л; а) dq =Idt; δА= dq(φ1- φ2)= I(φ1- φ2)dt; δА= Qdt; Q= I(φ1- φ2); φ1-φ2= RI, то Q= RI^2; б) δQ=RI^2dt= (ρdl/dS)(jdS)^2dt= ρj^2dVdt, где dV=dSdl; - V цилиндра. : Ур-е на dVd: Qуд=ρj^2 - закон Д-Л в локальной форме: удельная тепловая мощность тока пропорциональ­на квадрату плотности Эл тока и удельному сопротивлению среды в данной т. Qуд=ρj^2 - общ форма закона Д-Л. Если на носители тока дей­ствуют только эл силы, то по закону Ома j=(1/ρ)E=σE: Qуд=jE=σE^2;

хз

3) Цирк и ротор магнитного поля ( В и Н ). Поле соленоида, тороида. Цирк B по произ­вольному контуру Г равна произведению μ0 на алгебраиче­скую сумму токов, охватываемых контуром Г: int(o)Bdl=μ0I (1); где I=ΣIk. Ток счита­ется +, если его направление связано с направле­нием обхода по контуру правилом пра­вого винта. Ток противоположного на­правления считается отрицательным. На рис: I1, I3- «+», I2-«-« ; Если I в (1) распределен по V, где расположего контур Г, то его можно представить как I=int jds; в общ случае (1): int(o)Bdl=μ0 int jds; Тк цирк В /=0, поле В не потенциально. Такое поле наз вихревым или соленоидальным.

цирк Н. В магнетиках, помещенных во внешнее маг­нитное поле, возникают токи намагничивания, поэтому цирк вектора В определяться не только токами проводимости, но и токами намагничивания: int (o)Bdl= μ0(I+I’) (1), где I и I’ – токи проводимости и намагничивания, охватываемые зад контуром Г. Int (o)Jdl=I’ (2); Предполагая, что цирк В и J берется по 1 и тому же контуру Г, выразим I’ в (1) по фор­муле (2), тогда: int (o) ((B/ μ0)-J)dl=I; Величина под интегралом в скобках-Н. Н=((B/ μ0)-J), цирк кот = сумме токов проводимости I, охватываемых этим контуром: int (o) Hdl=I; Эта формула выражает т о цирк H: цирк H по произвольному замкнутому кон­туру равна алгебраической Σ I проводимости, ох­ватываемых этим контуром. Дифф форма т о цирк H: ΔH=j; 3) закон джоуля-ленца; Одн участок цепи. Пусть интересующий нас участок заключен между сечениями 1 и 2 проводника. Найдем работу, которую совершают силы поля над носителями тока на участке 12 за время dt. Если сила тока в проводнике равна I, то за время dt через каждое сечение проводника пройдет заряд dq = Idt. такой заряд dq войдет внутрь участка через сечение 1 и такой же заряд выйдет из этого участка через сечение 2. Тк распределение зарядов в проводнике остается при этом неизменным, то весь процесс эквивалентен непосредственному переносу заряда dq от 1 к 2, имеющих потенциалы φ1 и φ2, поэтому δА=dq(φ1- φ2)=I(φ1- φ2)dt; δА=Qdt, где Q-теплота, выделяемая в ед времени (тепловая мощность). Q=I(φ1- φ2); φ1-φ2=RI, то Q=RI^2 – закон Джоуля-Ленца(диф форма); Выделим в данной среде элементарный V в виде цилиндра с образующими, // вектору j — плотности тока в данном месте. Поперечное сечение цилиндра dS, а его длина dl. Тогда по Д-Л в этом V за время dt выделяется δQ=RI^2dt=(ρdl/dS)(jdS)^2dt=ρj^2dVdt, где dV=dSdl; - V цилиндра. : Ур-е на dVd: Qуд=ρj^2 - закон Д-Л в локальной форме: удельная тепловая мощность тока пропорциональ­на квадрату плотности Эл тока и удельному сопротивлению среды в данной т. Qуд=ρj^2 - общ форма закона Д-Л, применимую к любым проводникам вне зависимости от их формы, однородности и от природы сил, возбуждающих эл ток. Если на носители тока дей­ствуют только эл силы, то по закону Ома j=(1/ρ)E=σE: Qуд=jE=σE^2; Неодн участок цепи. RI= φ1-φ2+ε12 на I: RI^2= (φ1-φ2)I+ε12I; Слева – тепловая мощность Q. Последнее слагаемое справа – собой мощность, развиваемую сторонними силами на данном участке. (εI) изменяет знак при изменении направления I. Применив RI^2= (φ1-φ2)I+ε12I ко всей неразветвленной цепи (тогда φ1=φ2), получим Q=εI, т.е. общее кол-во выделяемой за ед времени во всей цепи джоулевой теплоты = мощности только сторонних сил. Значит, теплота производится только сторонними силами. Роль же эл поля сводится к тому, что оно перерас­пределяет эту теплоту по различным участкам цепи. Получим RI^2= (φ1-φ2)I+ε12I в локальной форме. * обе части j=σ(E+E*) на j, а также учтем, что σ =1/ρ и ρ j^2=Qуд. Тогда удельная тепловая мощность тока в неодн проводящей среде Qуд=ρ j^2= j(E+E*).

Хз

1) Условие на границе D и E. А) Т о циркуляции вектора Е: int(o)Edl=0; E2tdl-E1tdl=0; Et1=Et2; Б) Гаусса для вектора D: int(o)Dds=q; D2nds-D1nds=σds; Dn2-Dn1=σ=0; D1n=D2n; Усл-е на границе проводник - диэлектрик. 1 — проводник, 2 — диэлектрик. В состоянии равновесия Е=0 => P=0. D=ε0E+P; => D=0 внутри проводника, т.е. D2n=σ; (n-внешняя нормаль). Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает одн диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды плотности σ’. По Т Гаусса к Е, имея в виду, что на границе есть как сторонние, так и связанные заряды (σ и σ’): En=(σ+σ’)/ε0; С др стороны, En=Dn/εε0=σ/ εε0; находим: σ/ε=(σ+σ’), откуда σ’=-(ε -1)σ/ ε.

Хз

1) Законы Ома и Джоуля-Ленца в диффер.и интегр. формах; Ом в дифф. I=U/R Для однор. цилиндр. проводника: R=ρl/S, где ρ - удельное эл. сопрот. Возьмем цилин. с образ. dl паралл. j и Е. Ток через попер. сеч: jdS. U=Еdl; jdS = dSEdl/ ρdl => j=E/ρ= σE, σ- удельная эл проводимость;

Д-Л; а) dq =Idt; δА= dq(φ1- φ2)= I(φ1- φ2)dt; δА= Qdt; Q= I(φ1- φ2); φ1-φ2= RI, то Q= RI^2; б) δQ=RI^2dt= (ρdl/dS)(jdS)^2dt= ρj^2dVdt, где dV=dSdl; - V цилиндра. : Ур-е на dVd: Qуд=ρj^2 - закон Д-Л в локальной форме: удельная тепловая мощность тока пропорциональ­на квадрату плотности Эл тока и удельному сопротивлению среды в данной т. Qуд=ρj^2 - общ форма закона Д-Л. Если на носители тока дей­ствуют только эл силы, то по закону Ома j=(1/ρ)E=σE: Qуд=jE=σE^2; 2) Условие на границе D и E. А) Т о циркуляции вектора Е: int(o)Edl=0; E2tdl-E1tdl=0; Et1=Et2; Б) Гаусса для вектора D: int(o)Dds=q; D2nds-D1nds=σds; Dn2-Dn1=σ=0; D1n=D2n; Усл-е на границе проводник - диэлектрик. 1 — проводник, 2 — диэлектрик. В состоянии равновесия Е=0 => P=0. D=ε0E+P; => D=0 внутри проводника, т.е. D2n=σ; (n-внешняя нормаль). Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает одн диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды плотности σ’. По Т Гаусса к Е, имея в виду, что на границе есть как сторонние, так и связанные заряды (σ и σ’): En=(σ+σ’)/ε0; С др стороны, En=Dn/εε0=σ/ εε0; находим: σ/ε=(σ+σ’), откуда σ’=-(ε -1)σ/ ε. 3) Ток смещения. Полный ток. gradH=j; gradj=-dP/dt; int(S1)[gradH]ds= int(S)jds; int(o) H]dI= int(o)(S1)jds=I; int(o) HdI= int(S2)jds=0; [gradH]=j+jсмещ-полный ток;