Семестр 03 / «Электрические и магнитные поля»
.doc
Лабораторная работа №3
«Электрические и магнитные поля»
Выполнили студенты группы В3-09
.
Проверил:
Луковников А.И.
Москва 2008
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
- изучить движение зарядов во внешних и внутренних полях;
- познакомиться с особенностями движения зарядов в неоднородных полях;
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
На заряд q в электрическом поле, напряженность которого E, действует сила
F1 = q•E
Со стороны магнитного поля, индукция которого B, на движущийся заряд действует сила Лоренца
F2 = q•[V•B] ,
где V - скорость заряда. Траекторию находим по второму закону Ньютона, считая известными начальное положение и начальную скорость частицы,
m•a = q•E + q•[V•B] .
Уравнение (3) с заданными начальными условиями описывает движение заряда в произвольных электрических и магнитных полях. В некоторых частных случаях уравнение можно решить аналитически, в общем случае требуется построить его численное решение. Решение справедливо, если скорость частицы значительно меньше скорости света. В противном случае нужно применять аппарат специальной теории относительности.
Задание 1. Полет частицы в конденсаторе.
В данный эксперимент входит, электронная пушка, ускоряющая электроны заданным напряжением U, заряженный конденсатор с горизонтальными пластинами, а так же прибор, измеряющий координаты движущегося электрона, в любой момент времени.
Задание 2. Движение в магнитном поле.
Данный эксперимент проводится с пушкой, которая позволяет ускорить ионы заданным напряжением U, магнитом, который создает однородное постоянное магнитное поле, и прибором, измеряющим координаты движущегося иона, в любой момент времени.
Зафиксировали движение иона и протона в магнитном поле.
Упражнение 1.
ДВИЖЕНИЕ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.
ЭЛЕКТРОН В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ.
На заряд q в электрическом поле E действует сила (1). Второй закон Ньютона принимает вид: m•a=q•E .
В постоянном электрическом поле ускорение частицы постоянно. Заряд движется по параболе, как масса – гравитационный заряд - в постоянном поле тяготения. В постоянном гравитационном поле вблизи поверхности Земли напряженностью поля является ускорение свободного падения g = 9.8 м/с2.
Пусть поле направлено по оси Y. В этом случае траектория задается уравнениями:
X = Vox•t + Xo ,
Y = 0.5•a•t2 + Voy•t + Yo ,
где Vox и Voy - проекции начальной скорости на соответствующие оси координат. Если заряд вылетает из начала координат под углом к оси X, то парабола пересечет ось Х в точке
X1 = - 2•Wo•sin(2•)/q•E,
где Wo = m•Vo2/2 - начальная энергия заряда.
В качестве иллюстрации этого простого движения рассматривается движение электрона, вылетевшего из электронной пушки.
В электронной пушке электрон ускоряется разностью потенциалов U и приобретает энергию
m•V2/2 = q•U .
Масса электрона 0.911е-30 кг, его заряд q = -e = -1.60e-19 Кл.
В работе наблюдали, как из электронной пушки частицы вылетают с некоторым разбросом по углу, который зависит от конструктивных особенностей пушки.
Обратили внимание, что электрическое поле может фокусировать поток частиц с одной энергией. Скорости и ускорения заряда увеличивались.
ЗАРЯД В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ
Пусть в начальный момент времени в начале координат находится заряд q1 массой М1 со скоростью V1(t=0) = 0. В это же время в точке (Х,Y) движется со скоростью V2(t=0) = V2o заряд q2 массой M2.
Взаимодействие частиц описывает закон Кулона:
F = k•q1•q2/r2. (4)
Движение частиц описывает второй закон Ньютона: Mi•ai = Fi , где ai, Ri и Fi - ускорение, радиус-вектор частицы и вектор силы. Согласно третьему закону Ньютона F1 = -F2 . Модули этих сил определяются законом (4). При заданных начальных условиях решение в этом упражнении находится численно. (Иногда ошибки бывают велики.)
На систему из двух зарядов не действуют внешние силы. Поэтому центр масс системы движется с постоянной скоростью
Vc = (M1•V1+M2•V2) / (M1+M2) .
Если рассеивающий центр неподвижен, то налетающая частица движется либо по эллипсу, либо по гиперболе, либо по параболе.
Для удобства работы с программой заряд протона e =1.6e-19Кл и его массу Мр=1.67е-27 кг принимаем за единицы измерения заряда и массы. За единицу длины возьмем 1 Ангстрем.
В качестве примера рассмотрели движение легкой частицы M2 = Mp с зарядом q2 = -e в поле тяжелого положительного центра М1=81•Mp, q1 = +e
Упражнение 2.
ДВИЖЕНИЕ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
ЗАРЯД В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ.
В магнитном поле на частицу действует сила Лоренца (2).
В однородном магнитном поле, перпендикулярном скорости заряда, частица движется по окружности. Движение описывается вторым законом Ньютона:
m•V2/R = q•V•B .
Отсюда находим радиус и период обращения заряда в однородном поле:
R = m•V / q•B и T = 2•3.14•R / V = 6.28•m / q•B .
Период обращения не зависит от скорости частицы.
В масс-спектрометре по радиусу траектории определяют массу ядер. Если частица ускоряется напряжением U, то она приобретает энергию m•V2/2 = q•U .
ЗАРЯД В НЕОДНОРОДНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
В неоднородном поле радиус кривизны меняется от точки к точке. Орбита не будет замкнутой кривой, возникает "дрейф" частицы.
В этом упражнении предлагается посмотреть дрейф в слабо неоднородном поле, меняющемся по линейному закону вдоль одной оси: В = Во•( 1 + с•х/R ), где Bo, c и R - постоянные, x - текущая координата.
При выполнении упражнения особое внимание уделили параметру с характеризующему скорость изменения магнитного поля вдоль оси Х.
Наблюдая за рисунками на экране, определили, что с увеличением поля, радиус кривизны траектории точки тоже увеличивается.
СТАБИЛИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИИ
Ускоренные некоторым напряжением ядра влетают в магнитное поле и движутся по окружности. Ее радиус зависит от величины магнитного поля, от скорости, заряда и массы ядра.
В реальной установке частицы имеют некоторый разброс угла влета и величины скорости. Магнитное поле тоже трудно сделать одинаковым во всех точках. В ускорителях это приводит к отклонению частиц от расчетных траекторий и выходу их на стенки камеры. Для стабилизации траектории создают меняющееся вдоль радиуса магнитное поле.
В этом упражнении показан принцип стабилизации траектории в неоднородном поле. При выполнении упражнения обратите внимание на стабилизацию траектории частицы при возрастании поля вдоль радиуса.
Упражнение 3.
ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ.
ЗАРЯД В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ В И Е ПОЛЯХ
Считая поля B и E направленными вдоль оси Y, из второго закона Ньютона (3) находим траекторию заряда:
X = R•cos(ωt) + Xo ,
Z = R•sin(ω) + Zo,
Y = 0.5•a•t2+ Voy•t + Yo ,
где радиус вращения R=Voz/ω определяется составляющей скорости Voz, нормальной к магнитному полю, и частотой вращения ω= q•B/m. Ускорение вдоль электрического поля a=q•E/m .
Обратили внимание на:
- частица движется по поверхности цилиндра,
- шаг спирали меняется,
- частица может изменить направление движения по оси Y.
Для упрощения работы с программой всегда предполагается, что частица влетает под углом 30° к магнитному полю В и имеет составляющую скорости вдоль оси Z.
ЗАРЯД В СКРЕЩЕННЫХ В И Е ПОЛЯХ
В этом упражнении предполагаем поле В направленным по оси Z, электрическое поле имеет компоненты Еу и Еz. Электрон с энергией W влетает в поле под некоторым углом к оси Х в плоскости ХZ.
Движение частицы определяет второй закон Ньютона (3). Задача решается аналитически. Траектория движения электрона задается уравнениями
X = R•sin(ωt) + Ey/B•t , Y = R•cos(ωt) ,
Z = 0.5•a•t2 + Voz•t ,
где радиус вращения R = (Vox - Ey/B)/ω определяется составляющей скорости Vox, нормальной к магнитному полю, частотой вращения ω = q•B/m и полями Ey и B. Ускорение по оси Z: a = q•Ez / m .
При своем движении частица вращается по окружности радиуса R в плоскости XY, а центр окружности движется по параболе в плоскости XZ.
Обратили внимание на то, что случай параллельных полей В и Е можно рассмотреть и в этой задаче. Только по методическим соображениям параллельные поля вынесены в отдельное упражнение.
Вывод: В проделанной лабораторной работе мы определяли напряженность поля в конденсаторе, исследуя траекторию движения электрона, исследуя движение в магнитном поле однозарядного иона, находили его массу. Так же изучили движение зарядов во внешних и внутренних полях и познакомились с особенностями движения зарядов в неоднородных полях; Посмотрели на движение заряда при совместном действии электрического и магнитного полей.