Двойственные злп: математические модели прямой и двойственной задач, взаимосвязи между ними. Свойства двойственных оценок (4 свойства).
Понятие двойственности позволяет унифицированным образом установить взаимосвязи для всех приѐмов и методов анализа модели на чувствительность. Основной идеей теории двойственности является то, что для каждой задачи линейного программирования существуют другие задачи линейного программирования, решение которых тесно связано с решением первой задачи.
Для любой задачи ЛП можно составить двойственную к ней задачу по следующим правилам.
Привести исходную задачу ЛП к стандартной форме.
Ввести новые переменные по числу основных ограничений исходной задачи.
Составить новые ограничения из новых переменных в виде линейных неравенств, знаки которых противоположны знакам неравенств исходной задачи, коэффициентами которых служат элементы транспонированной матрицы исходной задачи, а свободными членами - коэффициенты при целевой функции исходной задачи.
Для новых переменных написать условия неотрицательности.
Прямая задача - состоит в нахождении максимального значения функции Y вида:
При ограничениях
при условиях:
Эти задачи в линейном программировании называются двойственной парой.
Двойственная задача относительно исходной образуется следующим образом:
Целевая функция исходной задачи задаѐтся на максимум, а целевая функция двойственной задачи - на минимум.
Матрица коэффициентов исходной задачи имеет вид:
Матрица коэффициентов двойственной задачи будет являться транспонированной по отношению к матрице исходной задачи.
Число переменных двойственной задачи равно числу ограничений исходной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу переменных исходной задачи.
Коэффициентами при неизвестных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены ограничений исходной задачи, а правыми частями ограничений двойственной задачи - коэффициенты при неизвестных целевой функции исходной задачи.
Если переменная Xj исходной задачи может принимать только лишь положительные значения, то j-е условие в двойственной задачи является неравенство вида ≥, если же переменная Xj может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то j-ое ограничение двойственной задачи представляет собой равенство. Аналогичные связи существуют между ограничениями исходной задачи и переменными двойственной задачи. Если i-ое ограничение исходной задачи является неравенством, то i-ая переменная двойственной задачи yi ≥0, в противном случае yi может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Двойственные пары задач разделяют на симметричные и несимметричные.
В симметричной паре ограничения и прямой и двойственной задачи являются неравенствами вида ≥, т.е. переменные обеих задач могут принимать только неотрицательные значения.
Для практических целей рассмотренные правила позволяют составить следующую схему соответствия:
1.Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение ЦФ, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу. (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи). Это свойство позволяет выявить основные направления расшивки узких мест в производственной деятельности. 2.Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитны и какие совсем не дефицитны. 3.Двойственные оценки позволяют определять нормы заменяемости ресурсов (предполагается неабсолютная заменяемость, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения критерия оптимальности). 4.Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений. С их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов. ЕСЛИ ∆j = ∑ AijYi*- Cj ≤ 0 то выгодно, ЕСЛИ ∆j > 0 то невыгодно.