24. Статистические игры: постановка задачи; критерии оптимизации стратегий принятия решений - Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Статистические игры (игры с природой)

Постановка задачи.

Задачей является определение и выбор наиболее рациональной стратегии при неопределённой рыночной конъюнктуре с помощью специального критерия выбора стратегии, отобранного из множества существующих критериев выбора оптимальной стратегии. Причём выбрать следует тот критерий, который наиболее точно подходит к сложившейся конкретной ситуации.

Подвид игр, в котором мы не знаем, как ведёт себя второй игрок. Будем считать его природой (средой). Игра также задаётся платёжной матрицей, где вместо стратегий игрока В у нас будут состояния природы Sj.

	S1	S2	S3	…	Sm
A1	A11
A2
An
Q	Q1	Q2	Q3

Qj – вероятность нахождения в состоянии j

Критерий Байеса:

Применяется, если известны значения q1..qm. В качестве оценки альтернативы используем её математическое ожидание:

B(i) =

Оптимальной по критерию Байеса является та альтернати­ва, которая максимизирует оценку B(i).

B=max B(i)=max , i=1..n

В случае когда величины вероятностей q1..qm неизвестны используют критерии Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Критерий Лапласа:

Основан на гипотезе равновозможности (равновероятности). При принятии данной гипотезы в качестве оценки i-й альтернативы выступает среднеарифметичес­кое выигрышей, стоящих в i-й строке матрицы выигрышей. Таким образом, оценка по критерию Лапласа имеет вид

L(i)=

Оптимальной по критерию Лапласа является та альтернати­ва, которая максимизирует оценку L.

L=max L(i)=max

Критерий Вальда

Основан на гипотезе антагонизма, кото­рая может быть сформулирована в следующем виде: «При выборе решения надо рассчитывать на самый худший возможный вари­ант»-

При принятии данной гипотезы оценкой альтернативы i слу­жит число W(i)=min aij, j=1..m (минимум в строке) и сравнение любых двух альтернатив производится по величине критерия W. Оптимальной в этом слу­чае является альтернатива, максимизирующая W, т.е. альтернатива i*, для которой выполняется условие

W = max W(i) = max min aij , i=1..n, j=1..m

Число W(i) характеризует гарантированный уровень аль­тернативы i (так как при выборе альтернативы i выигрыш прини­мающего решение — независимо от состояния среды — не может быть меньше, чем W(i)). Таким образом, принцип максимина основан на макисимизации минимального возможного (т. е. га­рантированного) выигрыша; поэтому иногда этот принцип назы­вают также принципом максимального гарантированного результата.

Критерий Гурвица

Связан с введением показателя 0 < альфа < 1, называемого показателем пессимизма. Гипотеза о поведении природы состоит в этом случае в том, что при любом выборе альтер­нативы наихудший для принимающего решения вариант реализу­ется с вероятностью а, а наилучший — с вероятностью 1-альфа. Тогда оценкой альтернативы г является взвешенная сумма

H(i) = альфа*min аij + (1-альфа)*max аij. i=1..n, j=1..m

При альфа = 1 этот критерий превращается в «критерий крайнего пессимизма» (т.е. в критерий Вальда), а при а = 0 — в крите­рий крайнего оптимизма.

Критерий Сэвиджа

Основан на преобразовании первоначаль­ной матрицы выигрышей А в матрицу R — матрицу рисков (матрицу сожалений). Риском при выборе альтернативы i в со­стоянии j называется число rij= bj - аij, где bj = max аij, i=1..n.

Для критерия Сэвиджа оптимальной, считается альтернатива, минимизирующая максимальный риск (т. е. здесь используется минимаксный критерий для матрицы сожалений).

S=min S(i)=min max rij , i=1..n,j=1..m. i* - оптимальная альтернатива