25. Задача о планировании мощности предприятия: постановка, платежная матрица, матрица рисков, поиск оптимальной стратегии.

26. Многокритериальные задачи: постановка, граница и множество Парето, математическая модель. Примеры.

Что такое многокритериальные задачи принятия решений

Суть многокритериальных задач принятия решений: варианты-"кандидаты" сравниваются по двум или более критериям, чтобы найти оптимальный вариант (или один из оптимальных, если "первое место" делят разные "кандидаты"). Пример: выбираем, какой вид танка выбрать на вооружение войск, критерии - защищённость, удобство экипажа, эффективность вооружения, скорость.

G – область допустимых решений окрестности ε.

1. Точки внутренние: все точки ∈ ε и ∈ G.

2. Точки граничные: точки ∈ ε и часть ∉ G. Их совокупность – граница G.

Оптимальное решение всегда надо искать среди граничных точек.

1. Точки, при движении которых значения x₁ и x₂ возрастают одновременно

2. Точки, при движении которых одна координата возрастает, другая постоянна(const)

3. Точки, при движении которых одна координата возрастает, а другая убывает.

Граница из точек 3-го типа – граница Парето.

Границы Парето:

Многокритериальные оценки для сравнения n пер-к.

{a} = {a₁, a₂, …, a_n} – множество альтернатив

{F} = {f₁, f₂, …, f_n}- критерии (множество оценочных функций)

Все f_i(i = 1,m) определены на шкалах

a₁ – оценки первой альтернативы и т.д.

Каждую альтернативу мы можем описать оценкой, состоящей из m функций.

Все критерии независимы друг от друга

1. f_i(a_j) > f_i(a_k), i = 1,m; (j; k) = 1,n

Все значения j альтернатив по оценочным функциям больше k.

a_j доминирует a_k

a_j – доминирующая альтернатива

a_k – доминируемая альтернатива

a ≤ G (осталось подмножество с лучшей альтернативой)

2. f_i(a_j) ≥ f_i(a_k), f_e(a_j) ≥ f_e(a_k)

a_j не лучше a_k

a_j >(PAR) a_k не хуже ни по одной из оценок. >(PAR) означает, что над знаком > надо писать PAR

3. Несравнимые альтернативы (не выполняется условие доминирования)

Они образуют множество альтернатив 3-го типа не доминируемой ни одной из альтернатив всего множества – множество Парето.

Алгоритм формирования множества Парето:

1. {a} {F}

Q – множество Парето

a_j >(PAR) a_k

a_j ⊂ Q

a_k ⊂(перечёркнутая) G (исключается из множества)

a_k >(PAR) a_j

a_j ∉ G

a_k ∈ Q

a_j и a_k не сравниваются → a_k ∈ Q

2. Следующая альтернатива a_l и пополняется множество Q

3. Сравнение альтернативы из множества Q. Выбрасываем доминируемые. В итоге получаем Q несравнимых альтернатив – эффективные альтернативы.

Принцип Парето:

Q ≤ G

Оптимальная альтернатива всегда находится среди альтернатив Паретова множества .

Недостаток – сглаживание критериев. Следовательно привлечение новой дополнительной информации от лица, принимающего решение.

Подходы к решению задач в рамках множества Парето - оптимальных исходов.

Методы сравнения альтернатив из множества Парето.

1. Метод главного критерия

2. Методы лексико – графической оптимизации

2.1. Метод нижних границ

2.2. Субоптимизация

2.3. Метод лексико - графического моделирования

2.3.1. Метод уступок

2.3.2. Метод точек безразличия

3. Метод обобщённого критерия

4. Метод анализа иерархии

5. Метод различия и сходства.

Метод главного критерия

1. Все критерии упорядочиваются по важности:

f_i, I = 1,m – упорядочиваем

f₁, f₂, …, f_m

2. Все альтернативы упорядочиваются по значению главного критерия (f₁)

a_i(f₁^max) – оптимальный

Если a_i(f₁^max) = a_k(f₁^max), то Q* = {a_i, a_k} … f₂^max

Недостаток: не учитывает важность остальных критериев.

Метод уступок

Δ f₁^max – уступка 1-го критерия

Q’ ⊂ Q – увеличивается важность критерия f₂

Δ – компенсация для 2-го критерия

f₂^max(a_i) → Q’’

Δ₂ – уступка по 2-му критерию . Увеличивается важность f₃. И так далее до f_n

Получаем Δ_{1 ,} Δ_{2 , …,} Δ_n-1 – ряд уступок

Лицо, принимающее решение, выбирает окончательные уступки (оптимальные). Таким обрахом выбирается та альтернатива, которая остаётся.

Метод точек безразличия

Метод нижних границ

Задаём границы

Грубый и жёсткий метод

Метод субоптимизации (строгое упорядочивание альтернатив)

Выбирается 1 главный критерий, а для остальных критериев назначаются границы. Упорядочиваем альтернативы по главному критерию.

Метод лексико - графического моделирования

Все критерии строго упорядочиваются по важности

f₁, f₂, …, f_n

Все альтернативы упорядочиваются по критерию f₁ и выбирается наилучшая. После упорядочиваем по критерию f₂.

Недостатки: независимость критериев. Используя метод главного критерия, мы сводим задачу к однокритериальной, а значит получаем неадекватный результат.

Метод обобщённого критерия (многокритериальная оценка)

– векторное значение

Переводим в скалярное значение.

Оптимизация осуществляется на скалярных значениях векторной функции альтернатив.

Правило Борда:

1) Все критерии ранжируются на одной однородной шкале

2) Каждой альтернативе по каждому из критериев f_i ставится в соответствующее значение ранга

3) Наилучшей считается та альтернатива, где сумма ранговых оценок по всем критериям получается максимальной.

ПРИМЕР

27. Доминирование по Парето, Парето – оптимальность. Необходимое условие оптимальности исхода. Примеры.

28. Подходы к сужению множества Парето – оптимальных исходов. Достоинства и недостатки подходов. Пример.

29. Лексикографическая оптимизация Парето – оптимальных исходов. Метод главного критерия. Субоптимизация Парето – оптимальных исходов..

30. Методы построения обобщённого критерия: постановка задачи, метод нормализации, правило БОФФа и другие.

31. Многокритериальные задачи принятия решений с субъективными моделями: типы; постановки. Этапы решения. Метод аналитической иерархии.

32. Метод парных сравнений для многокритериальной оценки альтернатив: шкала отношений, матрицы парных сравнений; собственный вектор и собственные значения; решающее правило, определение наилучшей альтернативы.

33. Метод многокритериальной оценки альтернатив на основе индексов согласия и несогласия (метод Electre): этапы решения; индексы согласия и несогласия; выделение ядер, сходимость процедуры оценки.

34. Дискретное программирование: задача целочисленного программирования, Постановка, математическая модель. Метод ветвей и границ: математическая модель, алгоритм решения.

35. Задача булевского программирования (БП): постановка, связь с транспортной задачей ЛП.

36. Задача о закреплении транспортных средств и её решение модифицированным методом Фогеля.

37. Приближенный метод решения задачи коммивояжера, как задачи БП.

38. Задача выпуклого программирования: математическая модель, функция Лагранжа.

Для решения используется функция Лагранжа

Функция:

– множество Лагранжа.

L(x1..xn,m)- функция Лагранжа

При выполнении всех условий может быть найден глобальный мин(выпуклая ф-ция) и макс(вогнутая ф-ция).

Схема алгоритма решения нелинейных задач.

1. Составим функцию Лагранжа

2. Найти частные производные по всем параметрам x, , приравнять их к 0. Получить систему из (n+m) уравнений. Если возможно решаем эту задачу(если возможно найти всестационарные точки ф-ции Лагранжа).

3. Из стационарных точек выбрать те в которых функция Z(x) ( ) ( и при ограничениях (Локальные экстремумы)

Задача квадратичного программирования.

Квадратичное слагаемое

max f(x)=∑cj xj+ ∑i∑ j dij xi xj

При условии ∑aij xj≤bi (хз от куда это взялось)

xj≥0

D= d11 d12

dn1 dnn Симметричная матрица

Стахастическое программирование

aij, cj-неизвестные,известные только вероятно

параметрическое программирование

aij, cj-могут быть функциями(параметрами)