Формальные определения

Говорят, что стратегия игрока слабо доминирует стратегию , если

, причем хотя бы одно неравенство выполнено строго.

Здесь представляет собой прямое произведение стратегических множеств всех игроков, кроме -го.

Стратегия строго доминирует , если

23. Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.

Игра m × n в общем случае не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко при больших m и n, однако принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть сведено к решению задачи линейного программирования. Покажем это. Пусть игра m × n задана платежной матрицей p = (a_ij ), i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. Игрок А обладает стратегиями A₁ , A₂ , ..., A_m , игрок В — стратегиями B₁ , B₂ , ..., B_m . Необходимо определить оптимальные стратегии S*_A = ( p*₁ ,  p*₂ , ... ,  p*_m ) и S*_B = ( q*₁ , q*₂ , ... ,  q*_n ), где p*_i, q*_j — вероятности применения соответствующих чистых стратегий A_i , B_j,   p*₁  + p*₂ +...+ p*_m =1, q*₁ + q*₂ +...+ q*_n = 1.

Оптимальная стратегия S*_A удовлетворяет следующему требованию. Она обеспечивает игроку А средний выигрыш, не меньший, чем цена игры v, при любой стратегии игрока В и выигрыш, равный цене игры v, при оптимальной стратегии игрока B. Без ограничения общности полагаем v > 0: этого можно добиться, сделав все элементы a_ij ≥ 0. Если игрок А применяет смешанную стратегию S*_A = ( p*₁ ,  p*₂ , ... ,  p*_m ) против любой чистой стратегии B_j игрока В, то он получает средний выигрыш, или математическое ожидание выигрыша a_j = a_1j p₁ + a_2j p₂ +...+ a_m j p_m , о = 1, 2, ..., n (т.е. элементы j-го столбца платежной матрицы почленно умножаются на соответствующие вероятности стратегий A₁ , A₂ , ..., A_m и результаты складываются).

Для оптимальной стратегии S*_A все средние выигрыши не меньше цены игры v, поэтому получаем систему неравенств:

(3.11)

Каждое из неравенств можно разделить на число v > 0. Введем новые переменные:

x1 =  p1/v, x2 = p2/v , ...,  pm/v

(3.12)

Тогда система (11) примет вид:

(3.13)

Цель игрока А — максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. цену игры v. Разделив на v ≠ 0 равенство p₁ + p₂ + ...+ p_m = 1 , получаем, что переменные x₁ (i = 1, 2, ..., m) удовлетворяют условию: x₁ + x₂ + ...+ x_m = 1/v. Максимизация цены игры v эквивалентна минимизации величины 1/v, поэтому задача может быть сформулирована следующим образом: определить значения переменных x_i ≥ 0, i = 1, 2, ..., m, так, чтобы они удовлетворяли линейным ограничениям (13) и при этом линейная функция

Z = x1 + x2 + ...+ xm,

(3.14)

обращалась в минимум. Это задача линейного программирования. Решая задачу (3.13)—(3.14), получаем оптимальное решение p*₁ + p*₂ + ...+ p*_m и оптимальную стратегию S_A . Для определения оптимальной стратегии S*_B = (q*₁ + q*₂ + ...+ q*_n) следует учесть, что игрок В стремится минимизировать гарантированный выигрыш, т.е. найти . Переменные q₁ , q₂ , ..., q_n удовлетворяют неравенствам:

(3.15)

которые следуют из того, что средний проигрыш игрока В не превосходит цены игры, какую бы чистую стратегию не применял, игрок А. Если обозначить

yj =  qj/v, j = 1, 2, ..., n,

(3.16)

то получим систему неравенств:

(3.17)

Переменные y_j (1, 2, ..., n) удовлетворяют условию . Игра свелась к следующей задаче Определить значения переменных y_j ≥ 0, j = 1, 2, ..., n,  которые удовлетворяют системе неравенств (3.17) и максимизируют линейную функцию

Z' = y1 + y2 + ...+ yn,

(3.18)

Решение задачи линейного программирования (3.16), (3.17) определяет оптимальную стратегию S*_B = (q*₁ + q*₂ + ...+ q*_n) . При этом цена игры

v =  1 / max, Z' = 1 / min Z

(3.19)

Составив расширенные матрицы для задач (3.13), (3.14) и (3.17), (3.18), убеждаемся, что одна матрица получилась из другой транспонированием:

Таким образом, задачи линейного программирования (3.13), (3.14) и (3.17), (3.18) являются взаимно-двойственными. Очевидно, при определении оптимальных стратегий в конкретных задачах следует выбрать ту из взаимно-двойственных задач, решение которой менее трудоемко, а решение другой задачи найти с помощью теорем двойственности. Приведем примеры экономических задач, которые описываются игровыми моделями т х п и могут быть решены методами линейного программирования.