54. Признаки сходимости несобственных интегралов
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b].
Определение:
Если существует конечный предел
,
то этот предел называется несобственным
интегралом
от функции f(x)
на интервале [a,
).
Обозначение:
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.
Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:
Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.
Пример.
-
не существует.
Несобственный интеграл расходится.
Пример.
- интеграл сходится
Теорема:
Если для всех х (x
a)
выполняется условие
и интеграл
сходится, то
тоже сходится и
.
Теорема:
Если для всех х (x
a)
выполняется условие
и интеграл
расходится, то
тоже расходится.
Теорема:
Если
сходится, то сходится и интеграл
.
этом случае интеграл
называется абсолютно
сходящимся.
55.. Кривизна плоской линии
О
пределение:
Угол
поворота касательной к кривой при
переходе от точки А к точке В называется
углом
смежности.
Соответственно, более изогнута та кривая, у которой при одинаковой длине больше угол смежности.
Определение:
Средней
кривизной
Кср
дуги
называется отношение соответствующего
угла смежности
к длине дуги
.
Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.
О
пределение:
Кривизной
дуги в точке КА
называется предел средней кривизны при
стремлении длины дуги
0.
Легко
видеть, что если обозначить
= S,
то при условии, что угол
- функция, которая зависит от S
и дифференцируема, то
Определение:
Радиусом
кривизны
кривой называется величина
.
Пусть кривая задана уравнением y = f(x).
Kcp
=
;
;
Если
= (x)
и S
= S(x),
то
.
В
то же время
.Для
дифференциала дуги:
,
тогда
Т.к.
.
В
других обозначениях:
.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением: y = f(x).
Если построить в точке А кривой нормаль, направленную в сторону выпуклости, то можно отложить отрезок АС = R, где R – радиус кривизны кривой в точке А. Тогда точка С(a, b) называется центром кривизны кривой в точке А.
Круг радиуса R с центром в точке С называется кругом кривизны.
Очевидно, что в точке А кривизна кривой и кривизна окружности равны.
Можно показать, что координаты центра кривизны могут быть найдены по формулам:
Определение: Совокупность всех центров кривизны кривой линии образуют новую линию, которая называется эволютой по отношению к данной кривой. По отношению к эволюте исходная кривая называется эвольвентой.
Приведенные выше уравнения, определяющие координаты центров кривизны кривой определяют уравнение эволюты.