59. Оптимальность по Парето. Переговорное множество

В. Парето в начале XX в. математически сформулировал один из самых важных критериев оптимальности.

КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ — фундаментальное понятие современной экономики применительно к той или иной экономической системе, это один из возможных критериев (признаков) ее качества, а именно тот признак, по которому производится сравнение вариантов и один, или несколько из них признаются наилучшими из возможных (в данных объективных условиях).

Оптимальность по Парето — такое состояние системы, при котором значение каждого частного показателя, характеризующего систему, не может быть улучшено без ухудшения других.

Множество состояний системы, оптимальных по Парето, называют «множеством Парето», «множеством альтернатив, оптимальных в смысле Парето», либо «множеством Парето-оптимальных альтернатив».

Ситуация, когда достигнута эффективность по Парето — это ситуация, когда все выгоды от обмена исчерпаны.

Оптимум по Парето гласит, что благосостояние общества достигает максимума, а распределение ресурсов становится оптимальным, если любое изменение этого распределения ухудшает благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы.

Парето-оптимальное состояние рынка — ситуация, когда нельзя улучшить положение любого участника экономического процесса, одновременно не снижая благосостояния как минимум одного из остальных.

Согласно критерию Парето (критерию роста общественного благосостояния), движение в сторону оптимума возможно лишь при таком распределении ресурсов, которое увеличивает благосостояние по крайней мере одного человека, не нанося ущерба никому другому.

ПЕРЕГОВОРНОЕ МНОЖЕСТВО в анализе некооперативных игр — совокупность точек Парето-оптимального множества, находящихся одновременно правее прямой x₁F₁ и выше прямой y₁F. В этих точках увеличение выигрыша одного из игроков возможно только за счет уменьшения выигрыша другого, т. е. они оптимальны по Парето. Название исходит из того, что именно между этими точками партнеры могут делать выбор, договариваясь о взаимно выгодных решениях. Одной из них может быть, напр., точка равновесия по Нэшу.

60. Игры с нулевой суммой и их использование в принятии решений

Игры с нулевой суммой — особая разновидность игр с постоянной суммой, то есть таких, где игроки не могут увеличить или уменьшить имеющиеся ресурсы, или фонд игры. В этом случае сумма всех выигрышей равна сумме всех проигрышей при любом ходе. Самый простой случай – парная игра с нулевой суммой – называется антагонистической

Примерами таких игр может служить покер, где один выигрывает все ставки других; реверси, где захватываются фишки противника; либо банальное воровство.

В игре с нулевой суммой при любом варианте ее исхода выигрыш победителя всегда равен убытку проигравшего. Большинство игр в обычном смысле слова, без избирательного вмешательства извне, являются именно такими играми.

Антагонистические игры, в которых каждый игрок имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми. Для задания такой игры достаточно выписать так называемую платежную матрицу, в которой строки соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго игрока. Элементами матрицы служат выигрыши первого игрока.

При решении произвольной конечной игры размера mxn рекомендуется придерживаться следующей схемы.

1. Исключить из платежной матрицы заведомо невыгодные стратегии.

2. Определить верхнюю и нижнюю цены игры и проверить, имеет ли игра седловую точку (элемент матрицы, который является максимальным в столбце и минимальным в строке). Если седловая точка есть, то соответствующие ей стратегии игроков будут оптимальными, а цена игры совпадает с верхней (нижней) ценой.

3. Если седловая точка отсутствует, то решение следует искать в смешанных стратегиях. Игры размера mxn решаются путем сведения к задаче линейного программирования. Для игр размера 2xn или nx2 возможно геометрическое решение.