21. Классификация оптимизационных задач принятия решений.

Классификацию задач оптимизации можно проводить по нескольким признакам в зависимости от вида функции _f(x) и множества _X:

1) детерминированные, стохастические, задачи оптимизации с неопределенностями;

1. Детерминированная модель отражает поведение системы с позиции полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, программы обработки деталей и т.д.

2. Вероятностная модель учитывает влияние случайных факторов на поведение системы и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

3. Игровая модель дает возможность изучать конфликтные ситуации, в которых каждая из конфликтных сторон придерживается своих взглядов, старается получить информацию о намерениях «противника» и действует в соответствии складывающейся обстановке.

2) статические, динамические (например, задачи управления). Математические модели могут отражать состояние, в котором находится исследуемая система в какой-то момент времени, или отражать изменения во времени. Модели первого типа являются статическими, второго – динамическими. Если состояние системы описывается в каждый данный момент времени, то модели именуются непрерывными, если в некоторые фиксированные моменты времени, то – дискретными.

3) безусловной и условной оптимизации. Если имеются ограничения на вектор X, то задача называется задачей оптимизации с ограничениями или задачей условной оптимизации.

4) однокритериальные и многокритериальные;

5) линейные и нелинейные. Задача условной оптимизации, в которой все функции линейны, называется задачей линейного программирования. Задачи с нелинейными целевой функцией или ограничениями- нелинейного. 

6) одномерные и многомерные. Если размерность вектора X равна 1 (n=1), то задача называется однопараметрической задачей оптимизации (одномерной). Если размерность вектора Xбольше 1 (n>1), то задача называется (многомерной).

7) одноэкстремальные и многоэкстремальные.

22. Линейное программирование в принятии решений. Классические примеры.

Среди оптимизационных задач в теории принятия решений наиболее известны задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(X) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами.

Методы решения задач линейного программирования:

-Простой перебор.

-Направленный перебор.

-Симплекс-метод.

Общая задача линейного программирования заключается в отыскании вектора (u1, u2, ..., un) максимизирующего критерий оптимальности (функцию цели задачи)

Q (u) = C1u1 + C2u2 + ... +

при ограничениях линейного типа в виде равенств:

в виде неравенств:

и ограничениях на переменные состояния

23. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

Этот один из первых методов оптимизации, нацеленный на решение задач линейного программирования, в то время как методы простого и направленного перебора могут быть применены для  решения практически любой задачи оптимизации. Он был предложен американцем Г. Данцигом в 1951 г. Симплекс-метод состоит в продвижении по выпуклому многограннику ограничений от вершины к вершине, при котором на каждом шаге значение целевой функции улучшается до тех пор, пока не будет достигнут оптимум. Переменные (u1, u2, ..., un), удовлетворяющие условиям общей задачи линейного программирования называются планом задачи линейного программирования.

План (u1, u2, ..., un) = U называется опорным, если в разложении при , , – линейно независимы.

План, максимизирующий линейный критерий оптимальности называется оптимальным планом или решением задачи линейного программирования.

В теории линейного программирования строго доказывается, что множество всех планов задачи

линейного программирования выпукло. Критерий оптимальности достигает своего максимума в

крайней точке этой выпуклой области.

Каждой крайней точке выпуклой области соответствует m линейно независимых векторов из системы , , ..., .

Симплексный метод позволяет, отталкиваясь от известного опорного плана задачи линейного программирования, за конечное число итераций получить ее решение. Так как оптимальный план связан с

системой m линейно независимых векторов – базисами плана, то поиски разумно ограничить опорными планами, число которых конечно и равно числу сочетаний из n по m.

Симплексный метод упорядочивает переход от одного опорного плана к другому таким образом, чтобы критерий оптимальности принимал значение большее или равное предыдущему. Суть алгоритма симплексного метода сводится к следующему.

1. Определяется некоторый опорный план, которому соответствует вершина области допустимых решений ( ).

2. Найденный опорный план (вершина) проверяется на оптимальность. Пусть этот план не оптимален.

3. Определяется следующий опорный план (вершина) лучший по отношению к предыдущему в результате движения по ребру. Найденная таким образом вершина проверяется на оптимальность.

4. Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не будет найдена оптимальная вершина, т.е. решение задачи линейного программирования.