55. Математические методы определения полезности, страха риска и премии за риск

Полезность и принятие решения.

Полезность может быть выражена в концептуальных единицах, называемых утилями (от англ. utility – полезность, выгодность). К сожалению, никто не имеет возможности установить стандартный утиль, которым можно было бы производить количественные измерения полезности. Тем не менее это понятие функционально. Менеджеры, принимающие решение интуитивно, используют это понятие, когда они определяют порядок предпочтения альтернатив: т.е. самый высокий уровень полезности ставится первым, следующий уровень идет вторым и т.д. Таким образом, очень практичное порядковое измерение полезности базируется на рейтинговом распределении.

Риск и убывающая предельная полезность.

Здесь необходимо пояснить формальную зависимость между риском и полезностью. Для этого прибыли и убытки должны быть измеримы с точки зрения предельной полезности, а не с точки зрения абсолютной стоимости в рублях. Предельная полезность определяется как изменение общей полезности, которое происходит тогда, когда еще одна денежная единица прибывает или убывает.

Три способа, посредство которых полезность может быть теоретически связана с доходом, представлены на рис 11.4 а, б и в.

Обычный инвестор (рис. 11.4-а) старается избегать риска. Причина стремления избегать риска выражена убывающей предельной полезностью. Предельная полезность убывает по мере увеличения прибыли или дохода.

Прямые линии на рис. 11.4-б имеют постоянные наклоны, характеризующие человека как безразличного к риску, для которого предельная полезность потерянных денег равна предельной полезности полученного.

На рис. 11.4-в предельная полезность становится более высокой по мере увеличения дохода. Это отражает случай с заядлым игроком, который придает более высокую полезность полученным деньгам, а не потерянным. Поднимающаяся вверх кривая, таким образом, описывает поведение тех, кто готов принимать на себя риск.

Премии за риск.

Инвесторы стремятся избегать риска. Почему же они все-таки вкладывают свои деньги в обыкновенные акции, товары, драгоценные металлы, в коллекции и другие рискованные инвестиции? Ответ заключается в том, что они не сделают этого, если не будут получать премию за риск. Инвестор хочет иметь компенсацию не только за использование своих денег, но также и за риск их потери. Другими словами, инвестор требует высокой нормы прибыли, если присутствует риск.

56. Байесовский подход

Принять решение — это решить некоторую экстремальную задачу, т.е. найти экстремум некоторой функции, которую называют целевой, при некоторых ограничениях. Многие задачи, не зависимо от метода их решения обладают общим свойством: до того как получен конкретный набор данных, в качестве потенциально приемлемых, для изучаемой ситуации рассматриваются несколько вероятностных моделей. После того как получены данные, возникает выраженное в некотором виде знание об относительный приемлемости этих моделей. Одним из способов "пересмотра" этой приемлемости является байесовский подход, основой которого выступает теорема Байеса.

Основное отличие байесовского подхода от других статистических подходов состоит в том, что до того, как будут получены данные, лпр рассматривает степени своего доверия к возможным моделям и представляет их в виде вероятностей. Как только данные получены, теорема Байеса позволяет рассчитать новое множество вероятностей, которые представляют собой пересмотренные степени доверия к возможным моделям, учитывающие новую информацию, поступившую благодаря данным.

Имеющаяся в распоряжении информация может содержать только субъективные оценки в виде экспертных оценок и суждений. Более того, ситуация, в которой принимается решение, может быть вообще новой и никогда ранее не анализируемой. Эти особенности могут поставить под сомнение какие-либо вывод и заключения, а потому в подобных ситуациях байесовский подход может оказаться весьма полезным и эффективным.

Основой байесовского подхода является теорема Байеса (или формула Байеса)которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны.

Формула Байеса:

где

— априорная вероятность гипотезы A;

—вероятность гипотезы A при наступлении события (апостериорнаявероятность);

— вероятность наступления события при истинности гипотезы A;

— полная вероятность наступления события ;

В завершении можно отметить, что байесовский подход, может в принципе дать некоторый результат, даже если нет выборочных данных, что обусловлено использованием априорного распределения вероятностей, которое при отсутствии статистических данных не изменяется.