37. Многокритериальные задачи принятия решений: различные методы свертки критериев

Пусть требуется принять некое решение, выбрав один из возможных вариантов как "оптимальный", при этом есть несколько критериев эффективности решения.

Один из подходов к многокритериальным задачам принятия решений - так называемая свёртка по критериям. Кроме оценки вариантов по каждому из критериев, она требует знания о приоритетах критериев.  Пусть у нас есть n критериев, при этом для варианта x оценки по критериям следующие:

Если по i-ому критерию x - безукоризненный вариант (по крайней мере, другие варианты выбора не лучше его по данному критерию), то оценка = 1, если отвратительный, то 0, если "так себе" - где-то между 0 и 1. Приоритеты критериев следующие:

Их же иногда именуют весами критериев. Приоритеты одинаковы для всех вариантов выбора. Оператор свёртки критериев для варианта x имеет вид:

Функция g должна быть конкретизирована. Важное условие: она должна давать значения на отрезке [0; 1] при любых допустимых приоритетах и критериальных оценках.

Примеры функции g: 1) Простейший пример - линейная свёртка (она же аддитивная свёртка):

Аддитивная свёртка особо хороша, когда уменьшение оценки по какому-то одному критерию компенсируется увеличением оценки по какому-то другому критерию (или нескольким критериям). 2) Мультипликативная свёртка :

Такая свёртка удачна, когда низкие оценки даже по одному-двум критериям в принципе нежелательны.

Приемы определения весов критериев: 1. Упорядочивание критериев по важности. Например, методом нормирования. 2. Определение отношений весов критериев. При этом ЛПР определяет в числовом виде не абсолютное значение веса, а относительное Wi/Wj 3. Определение весов критериев методом парных сравнений. Для этого строится матрица парных сравнений

38. Задачи оптимизации и нечеткие переменные

НЕЧЕТКАЯ ПЕРЕМЕННАЯ- это одно из понятий нечеткой логики .Нечёткая логика и теория нечётких множеств — раздел математики, являющийся обобщением классической логики и теории множеств. Понятие нечёткой логики было впервые введено профессором Лютфи Заде в 1965 году. В его статье понятие множества было расширено допущением, что функция принадлежности элемента к множеству может принимать любые значения в интервале [0...1], а не только 0 или 1. Такие множества были названы нечёткими.

Нечеткая переменная характеризуется тройкой  (X,U,R(X;u)) где X — название переменной, U — универсальное множество (конечное или бесконечное), u— общее название элементов множества U, R(X,u) — нечеткое подмножество множества U, представляющее собой нечеткое ограничение на значения переменной u, обусловленное X.

Под нечётким множеством A понимается совокупность

где X — универсальное множество, а µ_A(x) — функция принадлежности (характеристическая функция), характеризующая степень принадлежности элемента x нечёткому множеству A.

Использование категории нечеткости может дать новый взгляд на решение задач оптимизации. Рассмотрим это на примере определения наибольшего значения функции y = f(x) при ограничении на переменную x: x≤c. Видно, что при заданном виде целевой функции решение достигается в точке c.

Обсудим ограничение x≤c. Иногда оно носит объективный характер (например, обусловлено законами природы, ограниченными ресурсами и т.д.) и, безусловно, должно соблюдаться. Нередко же его наличие связано с субъективными причинами, в частности нежеланием лица, поставившего задачу, выйти за определенные пределы (в данном случае превысить число c).

В этом случае более реалистичным является подход, когда ограничение формулируется нечетким образом: “переменная x не должна быть существенно больше числа c”