1. Итерационное улучшение плана перевозок

Нахождение опорного плана

Требуется определить опорный план и путём последовательных операций найти оптимальное решение. Опорный план можно найти следующими методами: «северо-западного угла»,«наименьшего элемента», двойного предпочтения и аппроксимации Фогеля.

Итерации

После нахождения опорного плана перевозок, нужно применить один из алгоритмов его улучшения, приближения к оптимальному.

• Метод падающего камня (нем.)

• Метод потенциалов.

2. Решение с помощью теории графов

Рассматривается двудольный граф, в котором пункты производства находятся в верхней доле, а пункты потребления — в нижней. Пункты производства и потребления попарно соединяются рёбрами бесконечной пропускной способности и цены за единицу потока C_ij.

К верхней доле искусственно присоединяется исток. Пропускная способность рёбер из истока в каждый пункт производства равна запасу продукта в этом пункте. Цена за единицу потока у этих рёбер равна 0.

Аналогично к нижней доле присоединяется сток. Пропускная способность рёбер из каждого пункта потребления в сток равна потребности в продукте в этом пункте. Цена за единицу потока у этих рёбер тоже равна 0.

Дальше решается задача нахождения максимального потока минимальной стоимости (mincost maxflow).

28. Алгоритм метода северо-западного угла.

Метод «северо-западного угла» — метод (правило) получения допустимого начального решения транспортной задачи. Этот метод был предложен Данцигом в 1951 г. и назван Чарнесом и Купером «правилом северо-западного угла».

Суть метода.

Метод состоит в последовательном переборе строк и столбцов транспортной таблицы, начиная с левого столбца и верхней строки, и выписывании максимально возможных отгрузок в соответствующие ячейки таблицы так, чтобы не были превышены заявленные в задаче возможности поставщика или потребности потребителя. На цены доставки в этом методе не обращают внимание, поскольку предполагается дальнейшая оптимизация отгрузок (например, методом потенциалов).

Числовой пример.

В этом примере в условиях задачи заданы возможности поставщиков a_i и потребности потребителей b_j. Требуется найти допустимые объемы перевозки от каждого поставщика к каждому потребителю X_ij.

			30		80	20		30		90
120		30		80		10	-		-
30		-		-		10	20		-
40		-		-		-	10		30
60		-		-		-	-		60

При построении плана должны учитывать, что сумма перевозок в столбце должна оказаться равной потребностям в данном пункте, а сумма перевозок в строке запасу в пункте, соответствующем данной строке.

Заполнение начинается с верхнего левого угла таблицы. Величина перевозки устанавливается равной минимальной из величин: величины остатка запасов в пункте i или величины еще неудовлетворенного спроса в пункте j.

• Если ресурс в данной строке исчерпан, то переходим к перевозке в следующей строке текущего столбца (на одну строку вниз).

• Если потребности для данного пункта (столбца) удовлетворены, то переходим к следующей перевозке текущей строки в следующем столбце и т.д.

Дальнейшая оптимизация решения.

Полученное методом северо-западного угла решение транспортной задачи, скорее всего, окажется не оптимальным, поскольку в нем не учитываются цены доставки. Для его проверки на оптимальность и дальнейшей пошаговой оптимизации используют метод потенциалов. Для получения начального решения можно также использовать метод минимальных тарифов или метод Фогеля, которые чаще выдают более оптимальное решение, но также требуют проверки на оптимальность и оптимизации методом потенциалов.