2.9. Соотношение неопределенностей Гайзенберга

Поскольку теорема об одновременной определенности двух физических величин, доказанная в предыдущем параграфе, имеет силу необходимости и достаточности, естественно, в противоположной ситуации, т.е. когда

(2.9.1)

соответствующие физические величины не могут иметь одновременно определенные значения. В таком случае встает вопрос, насколько они мешают друг другу быть определенными в том смысле, как это было указано для координаты и импульса при рассмотрении волнового пакета.

Итак, пусть мы знаем, что

(2.9.2)

где , в соответствии с (2.4.20), также Эрмитов оператор. Речь идет о двух физических величинах и , которые не могут одновременно определены и естественно поставить вопрос об отклонении этих величин от своих средних значений.

Введем операторы

(2.9.3)

и вычислим их коммутатор

(2.9.4)

т.е. коммутатор операторов отклонений равен коммутатору самих операторов физических величин

(2.9.5)

Рассмотрим, пока формально, следующую положительно определенную интегральную величину (интеграл берется по всему конфигурационному пространству соответствующей квантовомеханической системы)

(2.9.6)

Здесь – волновая функция некоторого состояния, в котором и в общем случае не определены (в общем случае не является собственной функцией ни для оператора , ни для ), – некоторый, действительный, по определению, параметр. Ввиду положительной определенности подынтегрального выражения величина также положительно определена при любых значениях параметра . Проведем ряд тождественных преобразований выражения (2.9.6)

(2.9.7)

т.е. представляет собой линейную комбинацию среднеквадратичных отклонений и среднего значения . Все эти компоненты действительны ввиду эрмитовости соответствующих операторов. Итак,

(2.9.8)

Выделим в этом выражении полный квадрат

(2.9.9)

При некотором конкретном значении можно добиться, что выражение в фигурной скобке обратится в нуль, и тогда окончательно получаем неравенство

(2.9.10)

известное как соотношение неопределенностей. Как и предполагалось при изучении волн де Бройля, в квантовой физике имеются пары величин, мешающие друг другу быть строго определенными. Чем точнее определена величина , тем хуже определена величина и наоборот.

Свойство (2.9.10) объективно, это свойство природы на уровне микромира, которое было, есть и будет, независимо от того, производит или не производит экспериментатор какие-либо измерения.

В заключение отметим, что в литературе, особенно по экспериментальной физике, соотношение неопределенностей часто записывают в виде

(2.9.11)

которое следует понимать как арифметический корень из выражения (2.9.10). (Линейные соотношения , сами по себе, всегда равны нулю!)